Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Выходной сигнал ШИМ-элемента при» ) 0 описывается суммой и(») = ~ е(» — »Т). е.=е Найдем реакцию непрерывной части на воздействие»-го импульса. Пусть Ь„(») обозначает переходную функцию непрерывной части. При входной переменной и(») = 1(» — »Т) ее выходная переменная у(») = Ь,„(» — »Т), а при входной переменной и(») = 1[» — (» + у,)Т', выходная переменная у(») = Ь„[» — (1 + »,)Т[ (рис.
6.16). В силу прин- Рис. 6.15. К описанию реакции на ступенчатые воздействия ципа суперпозиции, если на входе непрерывной части действует импульс и(») = е(» — »Т) (см. (6.46)), то на ее выходе д(») = А„з»бп с[»Т[[йи(» — »Т) — Ь„(» — (» + »»)Т[; если на входе непрерывной части действует сигнал и(») = ~ е(» — »Т), то па ес выходе е=е у(») = ~~ А„з»8пе[»Т[[Ь„(» — »Т) — Ь„(» — (»+ у,)Т)[.
(6.48) е=е Итак, мы получили описание разомкнутой ШИМ-системы. Оно зависит от нелинейных функций з»яп с[»Т[ и [с[»Т[[. Линеаризация. Если выполняется условие уТ((1 или Т е»: 1 (у; (1), то можно произвести линеаризацию и избавиться от указанных нелинейностей. 221 6.7. ШИМ-еиетелем управления Разложим функцию П„[1 — [1+ у, ) Т] в ряд Тейлора в точке 1 — 1Т и отбросим члены, содержащие квадрат и более высокие степени 7еТ: Ьн[1 (1 + ~~)Т] — Ьн[1 1Г) Ан[1 17) Учитывая, что производная от переходной функции равна весовой функции [6„[1 — 1Т) = ю„[1 — еТ)), можем записать Ь„[г — (1+ 7,)Т] = Ь„[1 — 1Т) — ю„(г — гТ)7,Т. Подставив это выражение в [6.48), получим у[в) = ~~ А„з18п е[гТ]ю„[1 — аТ)7йТ. ~=-0 И так как [см.
(6.47)) 76 = х[е[еТ][ и [е[1Т][з18пе[1Т] = е[еТ], .то уЯ = 1еА„Т ~~ ю„[С вЂ” ъТ)е31Т]. и=а Если ограничиться рассмотрением процессов в дискретные моменты времени, положив 1 = 1Т, то получим у[1Т] = уА„Т ~~~ ю„[[1 — 1)Т]е[1Т]. Отсюда, учитывая, что весовая функция при отрицательных аргумен- тах равна нулю, находим у[оТ] = 1еА„Т ~ ~ю„[[Š— 1)Т]е[1Т]. Произведем я-преобразование. По теореме о свертке получим У'[я) = ХА„ТИе„*[я)Е*[е), где :[ ) = (и.[ ]) = '( .[в) Э. В соответствии с определенном дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид И" [я) = И'„*[я) = = ~А„ТИ'„*[я). [6.49) В случае ШИМ-системы приведенную непрерывную часть можно определить как звено с передаточной функцией И'„[,) = ХА ТИ'„[в).
Тогда, очевидно, как и в случае АИМ-системы, И"[ ) = И'„'[я) = ~т1И'[в)1 222 Гл. 6. Маьпематььчесноо описатье. диснретньья сльстем Рис. б.18. Модели ШИМ-системы: а — дискретно-непрерывная модель; б- дискретная модель По полученным передаточным функциям можно построить структурные схемы дискретно-непрерывной и дискретной моделей ШИМ- системы (рис.
6.16). Пример 6.9. ЛанаШИМ-систсмауправления. Амплитуда А„= 1, коэффициент модуляции т = 0,05, период следования импульсов Т = 200 = 0,1 и передаточная функция непрерывной части Ин(в) = в(в + 1) Требуется определить передаточную функцию замкнутой системы относительно входа у(1) и выхода у(1). Решение. По формуле (6.4Ц находим 200 я(1 — е т) Ит„*(я) = Хт(И1н(в)) = Хтз( ( ) ) = ( После подстановки этого выражения и численных значений в формулу (6.49) получим в(1 — е ) 0 1 в о — (в 1)(в р — о.ь) (в 1)(я 0 9) ' Искомая передаточная функция имеет вид И'„*(я) 0,1 я 1 ~- И'„*(я) вь — 1,8 в -~- 0,9 6.8.
Вычисление передаточных функций дискретных систем в обц1ем случае Выше мы рассмотрели вычисление передаточных функций дискретных систем, когда их эквивалентная схема за простейшим импульсным звеном содержит одно непрерывное звено приведенную Рис, б.17, Обобщенная эквивалентная схема дискретной системы непрерывную часть. Однако может потребоваться вычисление передаточных функций, эквивалентная схема которых имеет более общий вид (рис.
6.17). 6.У. Вычисление передаточных функций дискретньлх систем 223 Найдем сначала передаточные функции И',* (г) и И'„' (г). Используя полученную выше зависимость между входом простейшего импульсного звона и выходом следующего за ним непрерывного звена (ПНЧ) в дискретные моменты времени, можем записать Х (х) = Хт(ЬЪг(в))Е (х), Хг1г) — лт(ЪЪг(в)ЪЪг(в))Е 1х) Е*(г) = С*(г) — Х;(г). Исключим из этой системы Хг (г): Х'(х) = Хт(ЪЪг1в))Е" (х), Е'(г) = С (г) ~т(ЪЪг(в)ЪЪг(в))Е'(г).
Из второго уравнения, а также исключив из двух уравнений Е*(г), получим соответственно т() ЕЧх) б*Ф 1 + 2т(И'Нв)ЪЪ'гав)) ' 16.50) ХЧ,) гт(И Н )) 16 51) л Ф 1 + от (ИЗ 1в)ЪРг1в)) Теперь найдем передаточную функцию относительно выхода У 1г). Лля этого заменим в полученной выше системе из двух уравнений первое уравнение уравнением для У*(х): 1 (г) — от(ЪЪ г 1в) ЪЪ з 1в) ) Е (г) Е*(г) = С'(г) — Ят(ЪЪг(в)ЪЪг(в))Е'(х). Исключив из этой системы уравнений Е*(х), получим У" 1х) Ят(И'Нв)Из(в)) И'* (г)— 16.
52) С" (х) 1+ от(ЪЪНв)И'г1в)) Из полученных формул (6.50) (6.52) вытекает следующее правило: передаточная функция относительно входа д11) и какого-либо выхода равна передапючной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс (а при иолоикительиой обратной связи минус) передаллочная функции разомкнутой системы. Это правило совпадает с правилом вычисления перадаточных функций одноконтурной непрерывной системы.
Только следует иметь в виду, что при вычислении передаточной функции прямой цепи и передаточной функции разомкнутой системы непрерывные звенья, расположенные за простейшим импульсным звеном, нужно рассматривать как одно объединенное звено. Нельзя находить Хт-преобразования от передаточных функций отдельных звеньев, а затем полученные результаты перемножать. 224 Гль 6. Математическое оппсаньье доокретнььх систем Вычисление передагпочной функций системы, содерэьсащий дискрептно-непрерывный фильтр. Звено, которое описывается уравнением аохЯ + азх(ь — Т) +... + а„х11 — пТ) = = Ьои1ь1) + Ььи 1 ь — Т) +... + Ь„,, ььЬЬ вЂ” тпТ), называют дискретно-непрерывным фильтром.
Переходя к изображениям Лапласа, для дискретно-непрерывного фильтра, получим передаточную функцию И» ь ) Х(в) Ьо -е Ьье ' + ... + Ь е " ' ьб 3) Ь»1в) ао -Ь аье т' Е .. Е а„е Пусть дискретно-непрерывный фильтр 1ЛНФ) включен за дискретным (импульсным или цифровым) элементом. В этом случае по Рис. 6.18. Эквивалентная схема дискретной системы с ЛНФ эквивалентной схеме 1рис.
6.18) для дискретной передаточной функции разомкнутой системы имеем И'„*( ) = ~т(И».( )) = ~т(И»,,( )И»„„< )И;Ж. Здесь И' „1в) является дробно-рациональной функцией от е т" 1см. выражение 16.53)). И, как покажем ниже, в этом случае И»„'(в) = Хт(И»о(в)) = И»,*„(х)Хт(И»ф(в)И»ь(в)), (6.54) где Ь +Ьь '+.,.еь, лвЬв ао -Ь аьв ' + ..-Ь аов Лискретная передаточная функция И'„*„(в) получается из передаточной функции И' „1в) при подстановке е ' = ьп И *„(г) = И» „1в) ~ Лля вывода формулы 16.54) соотношение для передаточной функции ПНЧ, которое имеет вид И»„1в) = И»е1в)И» „1в)И»ь1в), подставив сюда выражение для И' „1в) из 16.53), представим в виде о т ~аье ' 'И»о1в) = ~ ~Ь;е ' 'И»Е1в)И»ь1в). ь=е 6.6.
Вычисление псредатаочных функций дискретных систем 225 Произведем в обеих частях Хт-преобразование. Используя свойство линейности Хт-преобразования и формулу 1см. 16.44)) Хт(е ттьХЯ) = х 'Хт(Хт1з)), находим ю а,х тХт(И'„1з)) = ~ ~Ь~х Хт(У'ф1з)Итт1в)). ь Отсюда, разделив обе части на сумму 2, а;х ', получим 16.54).
т=.о Итак, мы установили следующее свойство Хт-преобразования: если ориеинал в Хт-преобразовании содержит множитель, представляюитий дробно-рациональную функцию от е т', то этот множтхтель можно вынесто, за знак оператнора Хг, произведя подстаановку ет' = х. Если ДНФ включен перед дискретным элементом, то, учитывая, что на работу последнего влияют значения его входной переменной только в дискретные моменты, в уравнении для ДНФ можно положить С = 1Т. Тогда получим дискретный фильтр, передаточная функция И'* 1х) которого совпадает с полученной выше дискретной передаточной функцией дискретно-непрерывного фильтра И'*„(х).
Из Рис. 6.19. Эквивалентная схема дискретной системы с ДНФ перед дискрет- ным элементом эквивалентной схемы 1рис. 6.19) следует, что дискретная передаточная функция разомкнутой системы получается такой же, как и в предыдущем случае 1см. 16.54)). Таким образом, получаем, что при преобразовании структурных схем дискретный элемент и дискретно-непрерывный фильтр можно переставлять друг с другом. Теперь рассмотрим более общую схему с дискретным фильтром 1рис. 6.20). Установленное выше правило вычисления дискретной Рис.
6.20. Обобщенная эквивалентная схема дискретной системы с дис- кретным фильтром передаточной функции замкнутой системы остается в силе и в данном случае. 1Ь Лйп Ким 226 Гл. 6. Математическое описание диск7ьеиьниьх сисьнем К„*ф(е)2Т(К1 (е) ) 1 -~- Клф(е)лт(К1(е)Кг(е)) К„*ф(е) г т (И 1(е) Кз(е) ) 1-~ И'„", (е)7т(К1(е)Кг(е)) ' И;* (я)— 1+ К*ф(е) 2т(К1 (е) Кг(е)) (6.55а) (6.556) (6.55в) Пример 6.9. Пусть в дискретной системе, представленной на рис.
6.20, И'; (з) = 2, И'ь(з) =, Итя(з) = 20(1 — е т ) 05 е(о+Ц ' 02л+1' И 3(е) = е ' и период следования импульсов г = 011. Требуется определить передаточные функции И'.,* (з) и И~*о(з). Решение. 11айдем необходимые для определения требуемых передаточных функций лт-изображения. Учитывая, что поливом 1— — е т' как частный случай дробно-рациональной функции от е можно вынести за знак оператора 2т, сделав подстановку ет" = з, получим Хт71К (е)) = Хтг( ) =— 10е~ — 1517 я + 9,2 (е — 0,9) (е — 0,6) ~т(Кь( )Кз(я)) = ~; ~т1(;, 1 ) = 20( — Ц .ь,оз( 1 ( еф1 е з Кт (е(, +ц) е(я — 09)' Подставив полученные выражения и выражение для И'* в (6.55а) и (6.55б), получим 4(е — 0,6) 21га — 32,9 е -~ 18,9 ' 2(е — Ц(г — 0,6) г(21ег — 32 9 е ф 18 9) При вычислении передаточной функции разомкнутой системы простейший импульсный элемент с последующими непрерывными звеньями можно заменить дискретным элементом и представить ее дискретную модель в виде последовательного соединения двух дискретных звеньев.
Аналогично можно поступить при вычислении передаточной функции прямой цепи. Поэтому передаточные функции прямой цепи и разомкнутой системы равны произведению передаточных функций указанных двух дискретных звеньев. Таким образом, имеем ббй Преобразование структурных схел дискретных систем 227 6.9. Преобразование структурных схем дискретных систем При преобразовании структурных схем дискретных систем нельзя переносить через дискротный элемент сумматор или непрерывный элемент (кроме пропорционального звена). Как было показано выше, дискретно-непрерывный фильтр и дискретное звено можно переставлять местами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
