Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Непрерывнуи> часть, естественно, можно преобразовывать по известным правилам преобразования структурных схем непрерывных систем. Для схем, состоящих только из дискретных звеньев, справедливы все правила преобразования структурных схем непрерывных систем. Рассмотрим систему управления с несколькими дискретными элементами с одинаковым периодом, эквивалентная схема которой представ- Рис. 6.21. дискретная модель системы с несколькими дискретными элементами: а исходная эквивалентная схема; б структурная схема дис- кретной модели лена на рис.
6.21, а. Очевидно, она может быть преобразована и представлена в виде структурной схемы с одними дискретными звеньями с передаточными функциями (рис. 6.21, б) Когда перед дискретным элементом включен непрерывный элемент или к системе, кроме задающего воздействия, приложено возмущение и нужно исследовать ее качество, при преобразовании структурной схемы возникают проблемы, связанные с необходимостью переноса сумматора. В первом случае (рис. 6.22, а) при преобразовании сумматор переносится через точку съема сигнала, и в преобразованной схеме (рис. 6.22, б) эта точка отсутствует. Поэтому при определении ошибки следует исходить из следующих соотношений.
Ошибка в моменты съема сигнала равна е'уТ) = у11Т1 — уР1Т1 или, в х-изображениях, .Е'(х) = С*(х) — У*(х), 228 Гл. 6. Мопзематическое отгонное 0оекрезпныт систем Рис. 6.22. Преобразование структурной схемы с непрерывным звеном перед дискретным элементом: а .
— исходная схема: б — преобразованная схема где У" (я) = яг(И;( )) 1+от(И (е)ИЦ )) Сз(г), С,*(г) = ~т(йо(я)С(з)). Во втором случае (рис. 6.23, а) для определения реакции на выходе и ошибки системы от возмущения перенесем сумматор, к ко- Рис. 6.23.
Преобразование с переносом возмущения: а исходная схема; б --преобразованная схема торому приложено возмущение, через звено с передаточной функцией Иг (рис. 6.23, 6). Реакция системы на возмущающее воздействие определяется из следующих соотношений: зу(г) = тз(г) гз(г) = ет(Иег(з)г(е))). 1+ Хт(Вез(е)Пег(е)) Ошибки от задающего воздействия и возмущения равны соответственно Е,*(г) = И';,(я)С'(г) =, Еу(г) = — )7(я) 1 + хт( и'з(е) и'г(е)) И наконец, рассмотрим преобразование структурной схемы системы управления, в которой дискретный элемент охвачен обратной связью с непрерывным звеном (рис.
6.24, а). Заменим дискретный 229 0.10.Диснретпное преобразование Лапласа Рис. 6.24. Преобразование дискретного элемента, охваченного обратной связью: и --. исходная схема; б - — преобразованная эквивалентная схема; в — дискретная модель элемент эквивалентной схемой и перенесем узел [рис. 6.24,6). Из последней схемы получаем дискретную модель системы управления [рис. 6.24, в). В этой модели Иг [з) = А (Иге[в)Иг[в)), Из [я) = Хт(Иге[в)%~[в)). 0.10. Дискретное преобразование Лапласа и частотные характеристики Дискрешным преобразованием Лапласа называют соотношение г'[в) = О(ЯТ)) = ~ ~ЯТ~е ~=о ставящее решетчатой функции ЯТ) в соответствие функцию К[в) комплексного переменного в.
Функция> у"[1Т] называют ориеиналом. а г'[в) — изображением или 1л-изображением. Дискретное преобразование получается из я-преобразования при подстановке в него я = е'3 . Р'[в) = 7Я1Т)) [,„= Р"[е'т). Обратное дискретное преобразование Лапласа имеет вид сакэ !т ~[1Т] = — ~ г'[в)ел сЬ. [6.56) 230 Гл. 6. Маьаематачссное опнсанььг.
дискретном тьгтем Передаточную функцию в дискретных преобразованиях Лапласа или в Р-изображениях Иг(а) можно определить как дискретное преобразование Лапласа от весовой функции ш[1Т): И'(з) = Р(иь(1Т) ь~ = ~ нфТ~)е ь=о Она связана с передаточной функцией в з-изображениях соотно- И'(з) = И' ья)~ Частотной передаглочной функцией (дискретной) называется функция, которая получается при подстановке в передаточную функцию в Р-изображениях з = дш И'Оаь) = Иг(з)~ . = Иь*(еь~ ).
На основе этой функции точно так же, как и в случае непрерывных систем, определяются амплитудно-фазовыеь амплитудные, фазовые и другие частотные функции и их характеристики. Так как еьь"+~ уз ь~ = еь"т, то частотная передаточная функция Иг(уо) = Иг*(еда~) является периодической функцией с перио2я дом ы„= —. Поэтому при построении частотных характеристик дисм„аь 1 кретных систем ограничиваются частотами из интервала 2' 2~ или ~0, — ~. Дискретные частотные функции имеют такой же физический смысл, что и непрерывные: если на вход дискретной системы подается гармонический сигнал д = зшаь2, то на ее выходе в установившемся режиме в дискретные моменты времени 2 = 2Т будем иметь у~1Т) = Азьп ~аьУТ+ ьр1 Амплитуда и фаза этого процесса соответственно равны модулю и аргументу частотной передаточной функции. 6.11. Связь между дискретным и непрерывным преобразованиями Лапласа и непрерывная модель дискретной системы Межпу дискретным и непрерывным преобразованиями Лапласа существует связь, которая позволяет выразить частотную передаточную функцию разомкнутой дискретной системы через частотную передаточную функцию приведенной непрерывной части.
Пользуясь соотношением, связывающим две указанные функции, можно получить непрерывную модель дискретной системы. б.11. Лиснретное и нспрерминос преобразоианиа Липписа 231 6.11.1. Связь между дискретным и непрерывным преобразованиями Лапласа. Пусть функция 111) непрерывна на интервале ~0, оо) и 1"(0) = О. Тогда Р-изображение г'(и) = Р1Я~Т)) решетчатой функции 1)1Т), соответствующей непрерывной функции Щ, связано с изображением Лапласа г'(с) = 1 11(1)) функции 7(1) соот- ношением р'(и) = — 2 Е(с + ут — ) .
(6.57) ое-1 > Д1) = — / Р(с)е' сЬ интервал интегрирования разобьем на подынтервалы [по + 1(2т— — 1) —, ссо + 1'(2т + 1) —,1 и представим интеграл справа в виде Т' Т1 суммы: оо-~-1(2т-~-11л1Т ~(1)т — ' Е / оо-~-Я2т — 11л1Т 2л Произведем замену переменных и = и'+ут — и положим 1 = 1Т. Т Тогда со ом 1Т УУТ) ~~ / Р(я +ут )с(о'сот л, 1 с1а о — о 1т Отсюда, заменив переменную интегрирования и' на с и учитывая, ЧтО Е1 12л = О, НаХОдИМ оо оо-1 1т ЯТ) = —. ~~ / Р(е+ут — )е' сЬ. о 1 1т Поменяв порядок суммирования и интегрирования, последнее ра- венство можно представить в виде и-1 1т ЯТ] = — / — ~ Р'(с+ут — ™ )ел с1я. Π— о,т т= — от Приравняв правую часть последнего равенства и правую часть (6.56), получим (6.57).
6.11.2. Непрерывная модель дискретной системы. Пусть дискретная система состоит из дискретного элемента (ДЭ) и непрерывной части (ПЧ) (рис. 6.25, а). Пискретный элемент вырабатывает Лля получения этой формулы в обратном преобразовании Лапласа 232 Гл. 6. Математическое опксаньье дискретньья спьстсм Рис. 6.25. Лнскретная система (а) н ее непрорывная модель (6) прямоугольные импульсы с периодом Т, относительной длительностью у и амплитудой А„ = 1. Тогда передаточная функция приведенной непрерывной части имеет вид -зт Иь„(е) = Иь„(е), где Иь„(я) — передаточная функция непрерывной части.
Учитывая, что И'п(е) есть изображение Лапласа весовой функции ПНЧ и п(1), а передаточная функция в Р-изображениях разомкнутой дискретной системы Р-изображение ю„[1Т[, согласно формуле (6.57) имеем Йг„(з) = — ~ Иго[а+ У'1 — ). Ь= — со 2п Положив аь„= —, для частотной передаточной функции ра- Т' зомкнутой дискретной системы получаем И'„(зьо) = — ~~ И'„[у(аь + 1аь )[. (6.58) Как отмечалось выше, частотная передаточная функция И'„(уз) является периодической функцией с периодом ию и при построении частотных характеристик достаточно ограничиться интерваоь оь 1 лом [ — —, — ~ .
И если выполняется условие 2' 2) [Иьп0аь)[ « 1 пРи ык > — ", (6.59) то в формуле (6.58) справа можно ограничиться одним слагаемым, соответствующим 1 = О. Остальные члены при указанном условии не будут оказывать существенного влияния на частотную характеристику. Поэтому при условии (6.59) можем принять зт И'„0аь) = — Иь„Цьо) =, И'„0аь)., и исходную дискретную систему можно представить непрерывной моделью (рис. 6.25, б). При малых уаьТ зт 2 ь зтуз -ь;тт = — е — ь ° туз е Т)ьа аьТ 2ь' = уе — стуз зььь(оьУТ12) тязтув = уе аьуТ[2 233 Зада лг и передаточная функция разомкнутой системы непрерывной модели имеет вид Иг(в) = уе '' ~ И'„(8), или, когда относительная длительность т = 1, Иг(в) = е ' г И'„(в).
(6.60) Таким образом, дискретизация по времени соответствует введению чистого запаздывания на полпериода. При малых Т наличие дискретного элемента не учитывают и принимают И'(в) = Иг„(в). (6.61) Однако следует иметь в виду, что непрерывная модель, основанная на последнем соотношении, может приводить к неправильным выводам.
Например, когда непрерывная часть представляет собой апериодическое или колебательное звено, замкнутая система получается устойчивой при любом передаточном коэффициенте, если исходить из соотношения (6.61). Однако в действительности из-за того, что дискретный элемент вносит запаздывание, существует максимальное значение передаточного коэффициента, выше которого замкнутая система будет неустойчивой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
