Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Критерий Найквиста. Если разомкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение Л(в) = 0 имеет Й основных корней в правой полуплоскости и не содерзкчт корней на мнимой оси, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и досп2аточно, чтобы амплитудно-фиговая частотном характеристика ризомкнуп2ой системы (годограф частотной передаточной функции ИгО02)) при изменении частоты о~ от 0 до 02„/2 охватывала гпочку ( — 1,10) Й/2 раз. Если разомкнутая сисгаема усгаойчива, то для того чтобы замкнутая система бета устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фиговая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала тпочку ( — 1, 20).
Доказательство. Рассмотрим функцию М(в) = 1+Йг(в) = ', фв) = Л(в)+Р(в). Л(в) В числителе имеем характеристический полипом замкнутой системы, а в знаменателе характеристический полинам разомкнутой системы. Для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все нули характеристического полинома замкнутой системы фв) = Л(в) + Р(в) располагались в левой полуплоскости или в соответствии с принципом аргумента (см. (7.16)) выполнялось равенство агяЯЦ02) = пя. 0<о<о /2 По условию характеристическое уравнение Л(в) = 0 имеет Й основных корней в правой и остальные и — Й основных корней в левой полуплоскости. Поэтому в соответствии с принципом аргумента агй Цуог) = (и — Й)к. 0«, „(2 И так как агйМО02) = агбОО02) — агбЛО02), то агйМЦ02) = Ь агйЯЦ02) — Ь агбЛО02) = Йк.
0<~<и,д2 О« „/2 О< <м„/2 Отсюда следует: для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора МО02) охватывал начало координат Й/2 раз. В силу равенства Иг(102) = МО02) — 1 годограф И'Оы) получается из годографа МО02) путем сдвига последнего влево на единицу 246 Гли 7. Устой пввосто с1исиретивт систем (рис.
7.2). Поэтому для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора Ис(1 ~) 1ш 1ш 1оис. 7.2. К доказательству критерия Найквиста; а -- годограф М(дв); б — — годограф Ис(яву) при изменении частоты ы от 0 до ис,/2 охватывал точку ( — 1, вО) й/2 раз. Если разомкнутая система устойчива, то й = О, и для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф И'"(уог) не охватывал точку ( — 1, 10). П р и м е р 7.5. Передаточная функция разомкнутой системы 0,5(х в- О, 7) хв — 1,2х -е 0,35 ' период следования импульсов Т = 0,1.
Исследовать устойчивость замкнутой системы. Решение. Определим устойчивость по критерию Найквиста. Частотная передаточная функция разомкнутой системы определяется следующим образом: 05( х~' 07) ~(м) = ( ) ~. „.. = „,„. 0,5(сов О, 1м + 0,7 + 1 сйп 0,1м) соя 0,2ы — 1,2 сов 0,1 о~ -с 0,.35 + 1(в|п 0,2 ы — 1,2 вйп 0,1 о~) Введя обозначения ис = соя0,1т+0,7, из = яш0,1ео, из = соя0,2ы — 1,2соя0,1ш+ 0,35, из = (яш 0,2 оо — 1,2 в(п О, 1 ы), выпишем отдельно вещественную и мнимую части: — 0,5 (ивив + ов ов) ив+ о,' — 0,5 (свив + ивов) 1ш И'(уео) = ив+ ох 247 7.3.
Частотный критерий устойчивости Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 7.3) не охватывает точку ( — 1, уО). Разомкнутая система устойчива, так как 1пз й(йы) 0,5 Ее йс(1св) — 0,5 — 1,.5 — 2,5 — 3,5 — 2 — 1 0 1 2 3 4 5 6 Рис. 7.3. АФЧХ нули гз = 0,7 и гз = 0,5 характеристического полинома разомкнутой системы Я*(х) = хз — 1,2 х + 0,35 по модулю меньше единицы. Следовательно, замкнутая система устойчива. 7.3.3.
Псевдочастотиый критерий. Как было показано, при- 1+о менив преобразование х = —, при определении устойчивости дис- 1 — и кретных систем можно воспользоваться всеми методами исследования устойчивости непрерывных систем. Подставим это выражение в передаточную функцию разомкнутой дискретной системы В '(г): Положив о = уса* 1иногда делают подстановку о = уТы*(2), получим функцию Йс*оы*) = И™( ~ ). Переменная ы' не имеет физического смысла частоты, функция И'*Оса*) — физического смысла частотных передаточных функций непрерывных и дискретных систем. Переменную ы' называют псевдо тстотой, функцию Й 1ую*) .— псевдочастотной передаточной функцией, а характеристики (амплитудно-фазовые, логарифмические и другие), которые строятся на основе И" Оы*), называют псевдочастотными характеристиками.
С использованием псевдочастотной характеристики (т. е. годографа И" Оы*) при изменении ы* от 0 до оо) критерий устойчивости Найквиста формулируется так же, как и в случае непрерывных систем. Точно так же совпадают формулировки логарифмического псевдочастотного критерия устойчивости дискретных систем и логарифмического частотного критерия устойчивости непрерывных систем. 248 Гль 7.
Уствйниввсто дискретных систем 7.4. Влияние квантования ио времени на устойчивость Рассмотрим влияние дискретизации по времени на устойчивость на примере АИМ-системы, состоящей из фиксатора нулевого порядка и непрерывной части сначала с передаточной функцией И'„(в) = й й , а затем с Ихи(в) = . Система без дискРетТо. +1' (т,.+1Цт,в+1)' ного элемента, т. е. непрерывная система, устойчива при любом положительном й в обоих случаях. В первом случае передаточная функция приведенной непрерывной части есть ,— т. И'()=,, ц и дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид И '( ) = И/„'( ) = г (И „(.)) = "(' ') Ы ( ,)— й(х 1) / х х й(1 ет/та) х х — 1 х — ег/то х — ет/то Отсюда для характеристического уравнения замкнутой системы имеем е-т/то + й(1 е-т/то) Коэффициенты преобразованного характеристического уравнения (см.
(7.10а)) равны е — т/то ь(1 е — т/то) о + о 1,— т/то + ь(1 — т/то) и условие устойчивости принимает вид 1+ — т/то ь(1 — т/то) > 0 „— т/т, + й(1 — т/то) > 0 Второе неравенство выполняется при любом положительном /0 а первое только при Й ( й„, где ко граничный передаточный коэффициент системы, определяемый из условия се = 0: е — т/го к„= е — т/то При малом периоде (Т/Тв «1), положив е т'т' = 1 — Т/Те, получим (7.19) Из этого равенства следует: к„— э оо при Т -+ О. Однако при конечном периоде, как бы он ни был мал, дискретная система устойчива не при любом передаточном коэффициенте системы. 7.4.
Влияние нвонтовотгя ио временгг но устойчивость 249 где Здесь ао = й1го + е)о = 1, т тет +т) т (тг+т) 2Т1те + Т1Тг 2Т1Тг =ййз+А =й,, +1 в ',, ' + 2Т1 Тг Тг Тг Коэффициенты преобразованного характеристического уравнения (см. (7.10б)) и условие устойчивости имеют внд т(тг + Те) т'(Тг'+ Т1 тг + Т2) со=ос-а1+а2=4-2 т + т2т2 >О, 1 2 г сг =2(ао — аз) =2( — + — .„, ) >О, йт т(т +т) т (тгг+т )з тг сз = ао + аг + аз = (й + 1) > О.
Тг Тг Теперь рассмотрим случай, когда передаточная функция непрей рывной части имеет вид И'„(з) = " '' = (тг в+ 1)(тгв+ 1) Передаточная функция приведенной непрерывной части есть — т. Иг„(в) = в(т в -' 1)(т в+ 1) и дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид Ьг +Ь йое' -~- йге -Е йо' ь тг -т!Тг Т2 -Т7тг 1 1= е е Т2 — Т1 Тг — Тг о2=с ' + — гт7тг, тггг) + Т вЂ” т)г Тг — тгтг е — е т — т т — т1 д 1 д ( -г(тг + -т/тг ) Н вЂ” гт7тг-~т(тИ При малом периоде (т(ть « 1, й = 1, 2), воспользовавшись представлением е г = 1 — х+ хз/2, получим 2Т1 Тг 2Т1 Тг Т(т, -Ете) Т (Т, -Е Т,) Т1Т 2Т2Т2 т(21+т) т ~т +т)г Т,Т2 2Т2Тг Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид аох + иге+аз = О.
2 250 Гль 7. Устойчивость Оискретивы систем Первое и третье неравенства выполняются при любом гюложительном передаточном коэффициенте Й, второе только при Й ( А„, где граничный передаточный коэффициент 2(тз+Тг) Те+Те (7.20) т тт Иэ формулы (7.20) следует: к, — ь со при Т вЂ” з О. Итак, дискретизация по времени может привести к неустойчивости даже системы 1-го и 2-го порядка. При этом, как и следовало ожидать, граничный передаточный коэффициент с уменьшением периода квантования увеличивается и стремится к бесконечности с приближением периода к нулю.
Задачи 1. Исследовать устойчивость системы, у которой характеристическое уравнение имеет следующий вид: а) гз+06гг+О 11г+О 006 О. 6) гз О бег+О 11г 0 006 0 в) гз 09гг+026г 0024=0; г) гз Згг+281г — 084=0 д) гз 23гг+062г+004= 0; е) гз 12гг+047г+006=0 ж) г4+ ге+ 0,35зг + 0,05г+ 0,0024 = 0; э) г4 + 1 4 гз + 0 71 гг + 0 154 г + 0 012 0 и) гв+ 2 4гз+ 1 61гг+ 0414г+ 0 036 = 0 к) г4+18гз+119зг+0342з+0036 0 2. Исследовать устойчивость разомкнутой и замкнутой систем при условии, что передаточная функция разомкнутой системы имеет сле- дующий вид: 0,01 3 -Ь 0,003 зз о- 0,6 зг -Ь 0,1 з -Ь 0,003 ' 0,13 е — 6,012 зз 09зг+0,13з — 0012' 0,14 з — 0,1 зз — 1,5 зг + 0,6 з — 0,02 ' 0,31 з — 0,02 зз — 2,3 зг -'е 0,31 з — 0,02 ' 0,22 з — 0,3 зз 37зг Ь2з 006' 0,07 з — 0,01 ) ) зз 1.8зг+з — 0,2 7.4.
Влияние квантования но времени на устойчивость 251 3. Исследовать устойчивость цифровой системы управления, у которой период следования Т = 0,05 и передаточные функции регулятора (дискретного фильтра) и непрорывной части имеют следующий вид: а) И *(я) =, Иг„(в) = б) И р (я) И н(в) в) И'*(я) = 2+ ' ~ ), Иг„(в) = г) И" (я) = 2+ ' + —, Иг„(в) = 4. Исследовать устойчивость 1ПИМ-системы управления, у которой период следования импульсов Т = 0,05, амплитуда А„ = 1, коэффициент модуляции 1С = 0,05 и передаточная функция непрерывной части имеет следующий вид: а) Иг„(в) =; б) Иг„(в) =; в) И'„(в) = 5. Пискретный элемент АИМ-системы вырабатывает прямоугольные импульсы с периодом Т = 0.1, амплитудой А„= 1 и относительной длительностью 7.
Передаточная функция непрерывной части И'„(в) = Определить граничное значение передаточного коэффициента й при следующих значениях параметров Те и у: а) То = 0,.5; у = 0,2:. 0,4; 0,6; 0,8; 1; б) 'у = 0;5; То = О, 2; 0,4:, 0,6; 0,8; 1 6. Определить граничное значение передаточного коэффициента цифровой системы, у которой период квантования Т = 0,05 и передаточные функции регулятора (дискретного фильтра) и непрерывной части имеют следующий вид: а) И'„'(я) = , Иг„(в) = б) И;*,(я) =, И'„(в) = 7. Определить граничное значение передаточного коэффициента П1ИМ-системы, у которой период квантования Т = 0,05, амплитуда А„= 1, коэффициент модуляции зс = 0,05 и передаточная функция непрерывной части имеет следующий вид: а) Иг„(в) = —; б) Иг„(в) =: в) Иг„(в) = Глава 8 ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ Качество дискретных систем управления определяется так же, как и качество непрерывных систем, и для его оценки можно использовать все ранее введенные показатели качества в переходном и установившемся режимах или их аналоги.
8.1. Показатели качества в переходном режиме Показатели качества в переходном режиме делятся на прямые и косвенные. Лрялмжи покизитлвляжи качество называются числовые показатели, которые определяются по переходной характеристике. Показатели качества, определяемые не по переходной характеристике, называются косвенными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
