Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Задачи 1. Определить Ят-преобразование и Ят-преобразование от следующих функций при периоде Т = 0,1: 10(в + 0,5) 5(в д- 4) в(в -'; Ц (в -1- 3)' в(в -'; 1Ив -> 2)(в + 3)' в) Х (в) = : г) Х(в) = 5 5(02 в+ Ц 2 2(0,5 в+ Ц ) ( ) (. ьЦ(вг ьв ьЦ~ ) ~') ( ьЦгг г 1 . ьЦ' 2. Определить Ят-преобразования от следующих функций при периоде Т = 0,1: Х = 100в -~-Ог5)в * ) Х( ) = 101в+ 0'5)е в(в + Ц(в + 3) ' в(в + Ц(в -1- 3) — а,ав 5гв Ь 4)с-а,гв вг(в + Ц ' (в + 2)(в + 3)(в + Ц ' д) Х1в) = , ; ) Х1в) = 3. Пана АИМ-система (см. рис. 6.4).
АИМ-элемент вырабатывает прямоугольные импульсы длительности т„= 0,05 с амплитудой А„= 1 и периодом Т = 0,1. 234 Гл. 6. Математическое оиььсаиьье диск1ьетиььи систем ОпРеделить пеРедаточные фУнкции И»в' (в) и И',* (в) пРи следУю- щих передаточных функциях непрерывной части: 10(в -Ь 0,5) ос( +Ц вЂ” +Ц( 5(02 в+ Ц 2 Ин(в) — ( ць; г) н(в) — ( +ц( ь+ +ц 2(» л- Ц в -е 2 (в + 2)(вь -Ь в + Ц (в -Ь Ц'ь(вв -Ь в + Ц 4.
Лана цифровая система управления (см. рис. 6.8). Цифровое вычислительное устройство реализует алгоритм управления и1(Т] — ьь'1(1 — ЦТ] = 2ь5 фТ] — 2е[(1 — 1)Т]; цифро-аналоговый преобразователь фиксатор нулевого порядка; период Т = 0,1. Определить передаточные функции И'„' (в) и И;* (в) при следующих передаточных функциях непрерывной части: а) И'н(в) = †; б) Иьн(в) = 1 2 в) Иь„(в) = —; г) И'н(в) = 2(в+ Ц 1 д) И'н(в) = ( ь ц, .е) н(в) — (,,)ь( 5.
Лана ШИМ-система (см. рис. 6.12). ШИМ-элемент вырабатывает прямоугольные импульсы с амплитудой А„= 1 и периодом Т = 0,1. Коэффициент модуляции 1С = 0,01. Определить передаточные функции И'„' (г) и И'; (в) при следующих передаточных функциях непрерывной части: ее-05 2(в-»Це а) н(в) — ( Ц( 2) ь ) н(в) — ( 2)(в 5) , — Омн в -Ь 1 (в -Ь Це д) И'н(в) =; е) Иьн(в) = 6. Лана обобщенная схема дискретной системы (см, рис, 6А 7). Период следования импульсов Т = 0,1.
Определить передаточныефункции И'е (в), И'вв(я) и И'ев(я) при следующих передаточных функциях непрерывных звеньев: ь,— О.ь ь а) И'ь(в) = ' , И'з(в) = 0,2 в + 1, И"з(в) = е (в -Ь Цв 235 Задачи — оп И'2(в) = О 2в+ 1 Итз(в) = е — 0,050. — 0,05. И'2(з) = 0 15+ 1 И'з(в) = е (ог ь ~ь 1)вг 1 0 — Оп Иг(в) = 0,15+ 1, И'з(в) = е (в' -Ь в -'; 1) (в -Ь 1) в ' -О.О5 И2(в) = 0,15+ 1, И'з(в) = е — о,о б) Итг(в) = в) Иго(в) = г) И'г(в) = д) Итг(в) = 8. Дана дискретная система управления (см. рис. 6.22, а). Период следования импульсов Т = 0,05.
Определить изображения ошибки Е'(г) и выходной переменной У*(г) при д = О, 1 = 1(1) и следующих передаточных функциях непрерывных звеньев: — Г а) И'г(в), Игг(в) -Т б) И'г(в) =, И'2(в) = 10; в(0,1 в -Ь 1) ' 1 — е т' 10 в) Итг(в) =, И'г(в) = —. 7. Дана дискретная система управления (см. рис. 6.23, а). Период следования импульсов Т = 0,05. Определить изображения ошибки Е'(2) и выходной переменной У*(2) при д = 1(1) и следующих передаточных функциях непрерывных звеньев: -т. а) И'г(в) = 0,25 + 1, И'г(,з) = в(0,1 в -Ь 1) ' — т, б) Итг(в) = 0,20+ 1, И'г(,з) = в(0,1 в -Ь 1)(в ~- Ц ' — Тг в) Итг(в) = 0,2 5+ 1, И'г(в) = вг(в + 1) Глава 7 УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 7.1.
Характеристическое уравнение и основное условие устойчивости Если внешние воздействия заданы, то уравнения дискретной системы управления можно записать в виде аор(1+ пТ) + а1у(1+ (и — ЦТ) +... + а„у(1) = ~р(1), (7.1) или, в операторной форме, (адЕ + а1Е" 1+ - . + ио)УЯ = ФР). Характеристическое уравнение имеет вид (см.
(6.7)) д~( ) о+ о- + + (7.2) Характеристический полинам (левая часть характеристического уравнения) получается при подстановке в собственный оператор а'(Е) = аоЕ" + и1Е" +... + а„ вместо оператора смещения Е переменной я. Если задана передаточная функция системы управления, то при определении характеристического полинома нужно исходить из следующих положений: по определению передаточной функции в операторной форме ее знаменатель есть собственный оператор, а зна- менатель передаточной функции в з-изображениях совпадает с ха- рактеристическим полиномом (при условии, что передаточная функ- ция в операторной форме не содержит одинаковых нулей и полюсов).
Как отмечалось в гл. 6, общее решение неоднородного разностного уравнения (7.1) имеет вид у11) = р.(1) + р.11), где р,(1) - - частное решение этого уравнения и у„1г) - — общее решение соответствующего однородного уравнения. Линейная дискретная система управления называется устойчивой, если общее решение однородного разностного уравнения при г -э оо стремится к нулю: (7.3) 1пп у,[1Т) = О 7.2. Алгеброггчсские критерии усгпойчиоости 237 Если все корни хг (г = 1, 2,..., и) характеристического уравнения простые (т.е. различные), то общее решение однородного разностного уравнения имеет вид ус(г) = ~~ С;х'гг г (7.4) г=г где Сг -- - произвольные постоянные.
Если среди корней характеристического уравнения имеется кратный корень х. кратности кг, то ему в (7.4) соответствует слагаемое Из (7.4) и послоднего выражения следует, что условие (7.3) будет выполнено в том и только том случае, когда ~х;,~ < 1 при всех 1, 2,..., и. Основное условие устойчивости. Для гпого чтобы линейная дискретное система управления бьгла устойчива, необходимо и достаточно, чгпобы все корни ее илрактеристичсского уравнения были по модулю,меньше единицы, или, что то хсе, находи игсь внутри единичного круга на х-плоскости корней.
ос1 -Ь1) Пример 7.1. Передаточная функпия системы И'*(х) = сг — х -~- 0,5 Требуется исследовать ее устойчивость. Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение имеет вид г †я,5=0. Его корнями являются хгд = 0,5 х у 0,5. Их модули = згб,ос < 1. Система Устойчива. 7.2. Алгебраические критерии устойчивости Здесь мьг рассмотрим необходимое условие устойчивости, определение устойчивости,. основанное на преобразовании внутренности единичного круга в левую полуплоскость, и критерии устойчивости Лжури. 7.2.1.
Необходимое условие устойчивости. Для того чтобы все нули г,корни) характеристического полинома А (х) = аох" + сох + ° + ао были по модулю меныае единицы (~хг~ < 1, г = 1,2,..., п), необходимо, чтобы при ао > 0 выполнялнсь неравенства (7.5) Я*(1) > О, ( — 1)"1,)'( — 1) > О. Чтобы доказать зто утверждение, разложим полинам Я'(х) на элементарные множители: бд ггх) = аоггх хг)ггх — хо) ггх — х (7.6) 238 1 л. 7.
Устойчивость дискретнмя сисьпеьь Если корень г; является вещественным и по модулю меньше единицы, то множитель (г — г;) при г = 1 и множитель ( — 1)(г — г,) при г = — 1 будут положительными. Если корень г; является комплексным,т.е. г, = о, +1А (о„)3, вешественныечисла), тосуществует комплексно-сопряженный корень г, ьз — — сп — 1Д. Произведение (г — гь)(г — г,,+з) = (я — и,) + 1з, при г = 1 и произведение ( 1)( )( 1)( ) ( )2 + 3г при г = — 1 будут положительными. Следовательно, из (7.6) следует, что если все корни характеристического полинома по модулю меньше единицы, то будут выполняться неравенства (7.5). П р и м е р 7.2.
Характеристический полинам дискретной системы имеет вид Я" (г) = гз + 2,3 гз + 0,5г — 0,2. Требуется определить устойчивость системы. Решение. Проверим необходимое условие устойчивости. В данном случае ао = 1 > 0 и Я*(1) = 1 + 2,3 + 0,5 — 0,2 = 3,.6 > О, (-1)'(;?'(-1) = -(-1 + 2,3 — 0,5 — 0,2) = -0,6 < О. Необходимое условие устойчивости не выполняется. Следовательно, система неустойчива. 7.2.2.
Исследование устойчивости, основанное на преобразовании единичного круга в левую полуплоскость. Критерии Гурвица, Льенара Шипара и другие критерии устойчивости непрерывных систем позволяют судить, находятся все корни характеристического уравнения в левой полуплоскости или нет. Поэтому их нельзя непосредственно использовать для исследования устойчивости дискретных систем. Однако, очевидно, ими можно воспользоваться, если произвести преобразование переменной характеристического уравнения, .при котором единичный круг прообразуется в левую полуплоскость. Утверждение 7.1.
При преобразовании о (7.7) г -1- 1 внутренность единичного круга на г-плоскости преобразуется в левую полуплоскость, его внешность — в правую тшлуплоскоспьь и окружность (единичного радиуса) в инильую ось на о-плоскосьаи. Показательство. Представим комплексную переменную г в тригонометрической форме и подставим в (7.7): ~г~(сев р -ь д в1п зь) — 1 о= (1о = аг8 г). ~г~(совр -Ь дайп Зь) -Ь 1 7.2. Алгебраические критерии усгпейчиессти 239 Преобразовав и разделив выражение справа на вещественную и мнимую части, получим (е(з — 1 2)е) сйв р +у г ф~ -Ь2)е)соз1е-Ь1 )е)з л-2фсозу-Ь1 Так как (г) +2)х!созсе+1 > (х( — 2ф+1 = ф! — 1)~ > 0 при (х( у- '1, то вещественная часть Вес = (е(з + 2ф сов 1е+ 1 отрицательна при ф ( 1, положительна при (х( > 1 и равна нулю при (х( = 1.
Следовательно, при преобразовании (7.7) внутренность единичного круга г-плоскости переходит в левую полуплоскость, а его внешняя часть в правую полуплоскость и-плоскости. Окружность единичного радиуса ~х~ = 1 переходит в мнимую ось. Пействительно, при ~г~ = 1 2э1пу . ~р и =,1 2(сову+ Ц 2 ' и при изменении се от -к до я переменная и пробегает значения от — у ос до у ос. Утверждение доказано. Разрешим равенство (7.7) относительно г и подставим полученное выражение в характеристическое уравнение (7.2): С*1и) = (1 — и)"Я*( ) = = ао(1+ и)" + аз(1+ и)" ~(1 — и) +...
+он(1 — и)" = О. (7.8) Представим это преобразованное характеристическое уравнение в стандартной форме: С* (г) = со с" + сз ин ~ +... + с„= О. (7.9) Выражения для коэффициентов этого уравнения через коэффициенты исходного характеристического уравнения получим, если в (7.8) раскроем скобки и произведем приведение подобных членов, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в (7.8) и (7.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
