Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Подставив это выражение в (6.4), получим (аеЛ"т + а1Л~" ~~~ + .. + а„)Л' = О. Это равенство будет выполнено тождественно относительно 1, если аоЛн~ -Ь а, Л~е "т + .. + а„= О. Положив Л = е, получим алгебраическое уравнение аое" + а1хе ' + ., + ан = О, (6.7) которое называется характеристическим уравнением. Левая часть этого уравнения получается из разностного оператора при неизвестной функции в уравнениях (6.5) и (6.6) при замене Е на ж Таким образом, решением однородного разностного уравнения (6.4) будет у=Л, =я~ где х; корень характеристического уравнения (6.7).
Если все корни х, (~, '= 1,2,...,п) характеристического уравнения простые (т. е. различные), то общее решение однородного разностного уравнения (6.4) имеет вид п ун(х) = ~ ~С,х т=.1 (6.8) где С, — — произвольные постоянные. Если среди корней характеристического уравнения имеется кратный корень х кратности Й1, то 1з Л.П. Кнм 194 Гл. 6. Математическое описание дискретных систем ему в (6.8) соответствует слагаемое (С( + Сг~ — +...
+ С~ ~( — ) ) х (6.9) р ' (Асов — р+ Взш — ~р), т Т где р = 1/а~ + Вг, р = агс18 —, А, В .— произвольные константы. б Пример 6.1. Найти общее решение разностного уравнения у(1+ 2Т) — 5у(1 + Т) + бу(1) = 45 Решение. Частное решение будем искать в виде у,(с) = аг+ Ь. Подставив это выражение в данное уравнение, получим а(1+ 2Т) + Ь вЂ” 5(а(г+ Т) + Ь) + 6(аг + Ь) = 4с, или, после приведения подобных членов, 2аг — ЗаТ+ 2Ь = 45 Отсюда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем 2а=4, — ЗаТ+2Ь=О =~ а=2, Ь=ЗТ.
Следовательно, частное решение есть у, = 21+ ЗТ. Характеристическое уравнение имеет вид х — 5х+6=0. Корнями этого уравнения являются 5 25 5 1 хга = — ~ ~/ — — 6 = — ~ — =~ х1 — — 3, 2 1/4 2 2 хг = 2. Поэтому общее решение однородного разностного уравнения имеет вид у = СгЗе~т + Сг2н и а общее решение неоднородного разностного уравнения есть у(с) = уо(с) + ус(1) = 21+ ЗТ+ С53 ~ + Сг2 ~ П р и м е р 6.2. Определить решение разностного уравнения у(с л- 2Т) + у(1 -~- Т) + 0,25 у(1) = 1 при нулевых начальных условиях (у(0) = у(Т) = О).
Если имеются простые комплексно-сопряженные корни = о т гД, то соответствующие им два слагаемых можно заменить на 6.3. Решетчатые 4унннии и з-нреобдазооанио 195 Р е ш е н и е. Частное решение будем искать в виде константы д,(о) = а. Подставив это выражение в данное уравнение, получим 4 а+ а+ 0,25 а = 1 =~ а = —. 9 Характеристическое уравнение з~ + з + 0,25 = 0 имеет двукратный корень зз з = — 0,5.
Общее решение однородного разностного уравнения .. уо(1) = (Сз + С вЂ” ) ( — 0,5)'~~ и общее решение неоднородного уравнения-- У(г) до(г) + Уо(г) 9 + (С1 + Сз Т) ( — 0,5) Из начальных условий имеем д(0) = — + С, = О,. 4 У(Т) = — + (С1 + Сз)( — 0,5) = О. 4 Решив эту систему уравнений, получим Сз = — 4/9, Сз = 4/3. Следовательно, искомое решение имеет вид д(1) = — — ( — — — — ) ( — 0,5) ~ 4 /4 41З от 9 (9 Зт) 6.3. Решетчатые функции и х-преобразование При рассмотрении разностных уравнений важную роль играет з-преобразование. Но прежде чем приступить к изучению этого преобразования, .познакомимся с классом дискретных функций, называемых решетчатыми функциями. 6.3.1. Решетчатые функции. Дискретная функция х(1) по определению есть функция, которая определена в дискретные моменты времени 1 = 1Т (1 = О, 1, 2,...
). Палее дискретную функцию будем записывать в виде х'уТ), используя о как непрерывную переменную. В теории дискретных систем рассматривают особый тип дискретных функций, называемых решетчатыми фднкниямн. Решетчатая функция хдТ) характеризуется тем, что она определяется непрерывной функцией (функцией непрерывного аргумента) х(1) и принимает ее значения в моменты 1 = 1Т (1 = О, 1, 2,...). Кроме того, используется смещенная решетчатая функция х[(~+е)Т) (О < е < 1), которая принимает значения непрерывной функции в моменты 1 = (~+ е)Т (1 = 0,1,2,...).
Поэтому когда говорят о решетчатой и смещенной реп|етчатой функциях, предполагают, что существует непрерывная функция, которая определяет эти функции. зз" 196 Гл. 6. Математическое опнсаньье дискрспьных ыьгтем 6.3.2. Определение г-преобразования. г-преобразованием, или преобразованием Парана, называется соотношение Х'(г) = ~ х [!Т] г (6.10) ь=о ставящее в соответствие дискретной функции х[!Т] функцию комп- лексного переменного Х*(г). При этом х[!Т] называют оригиналом, а Х'(г) изображением или г-изображением.
Оригинал и его изоб- ражение обозначают одноименными буквами: оригинал строчной буквой, а изображение прописной буквой со звездочкой. г-преобразование также условно записывают в виде Х*( ) = г(х[!Т]), а обратное г-преобразование -- в виде [!Т] = г-'(Х'( )).
Предполагается,что в г-преобразовании (6.10) дискретная функ- ция обладает следующими свойствами: 1 ) суьцествуюпь положительные числа М а д такие, чпьо [х[!Т]] < Мг1~ при любььх ! > 0; 2о) х[!Т] = 0 при всех ! < О. Свойство 1о) необходимо для существования области сходимости ряда в правой части (6.10), а свойство 2о) используется при выво- де некоторых свойств г-преобразования. Функции, удовлетворяющие указанным двум свойствам, называют функциями-оригиналами.
г-преобразование от смещенной решетчатой функции х[(! + е)Т], т. е. соотношение Х (г,е) = ~~ х[(!+е)Т]г ь=о называют модифицированным г-преобразованием. 1ьь1одифицированное г-преобразование также записывают в виде Х*(г,е) = Я(х[(!+ в)Т]) = Хе(х[!Т]).
Функцию Х*(г,е) называют г-изображением смеьаенной решетььатой функции х[(1+ в)Т] или модифицированным г-изображением решетчатой функььии х[!Т]. Пример 6.3. Определить г-изображение единичной реьпетчатой функции х[!Т] = 1[!Т] и смещенной решетчатойфункции х[(!+ в)Т] = = 1[(! -~- с)Т]. Решение. Так как при всех ! > 0 1[!Т] = 1[(!+е)Т] = 1, то Х'(г) = Х*(г,е) = ~~ ь=о По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем Я(1[!Т]) = Я(Ц(!+е)Т]) =, = ([г] > 1). (6.11) 6.3.
Реи>отчетно 4>ункции и з-преобуазооонио 197 6.3.3. Основные свойства х-преобразования. Так как г-преобразование от х[1Т] можно рассматривать как частный случай модифицированного г-преобразования при г = О, то рассмотрим свойства модифицированного г-преобразования. Показательства приводятся в конце, после рассмотрения всех свойств. 1". Линейность. Модифицированное г-преобразование от линейной комбинации дискретных функций равно линейной комбинации их модифицированных г-преобразований: и о У)(~~' и>х>[(1+ с)Т]~ = ~а> х1>х>Н1+ е)Т]). >=1 >=1 (6.13) Х(х[1Т]1Т) = — Тг 4Х*(л) .
(6.15) Пользуясь полученным свойством, найдем обычное и модифицированное г-изображения функции у[1Т] = 1Т. Модифицированное г-изображенио для единичной функции (см. формулу (6.11)) имеет вид Я(Ц(1+ г)Т]1 = Поэтому если в (6.14) положим х[(1+ г)Т] = Ц(1+ г)Т], то получим Я((1+о)Т>)= Я~Ц(1+с)Т](1+с)Т) = гТ вЂ” + ( ), (6.16) Здесь а, (1 = 1, 2,..., и) константы. 2о.
Теорема эапвздь>оания. Модифицированное г-преобразование от функции с запаздывая>щим аргументом х[(1 — ка)Т] определяется следующим образом: Я'(х[(1 — т)Т]) = г тЛ'1х[1Т]) = г ~Х*(г,г). (6.12) Зе. Теорема опережения. Модифицированное г-преобразование от функции с опережающим аргументом х[(1+ га)Т] определяется следующим образом: т — > л> ф»т$>=, [х"о.о т о> °,>го '] о=о Если х[гТ] = х[(1+ с)Т] =...
= х[(гп — 1-ьг)Т] = О (начальные условия нулевые), то Я'(х[(1+ п>)Т]) = го'Х'(г,г). 4 . Умножение оригинала на (1+ г)Т. г-преобразование от произведения х[(1 + ва)Т](1+ г)Т определяется следующим образом: Я(х[(1+ г)Т](1 + а)Т) = гТХ'(г,г) — Тг „' . (614) При г = О имеем 198 Гл. 6. Математическое описание дискретных систем Отсюда при г = 0 имеем Л(1Т) = (6.17) 5о.
Умножение оригинала на а О+е1ат, г-преобразование от произведения х[(1+ т)Т]а О "~ат определяется следующим образом: л1х[(1+с)Т]а 1~ 1 ) = а Х'(а е, е). (6.18) При г = 0 имеем У~~х[1Т]а а з1= Х'(а" г). (6.19) Найдем обычное и модифицированное г-изображения функции 9[1Т] = е а~т. Положив в (6.18) х[(1 + г)Т] = 1[(1+ г)Т] и а = е, получим ,г у с — Оз-еют е — ат е х — хат х' е 1=е =е е тх (6.20) При г = 0 имеем Я(е — ~ат1 (6.21) 6о. Теорема о соертке. Произведение изображений Х" (г,г) и Х" (г, г) равно г-преобразованию от свертки их оригиналов хх[(1 + е)Т] и ха[(1 + е)Т]: 1 хо, )х,"о, ) =х[г *,ое~охноо — ехот|) = 'я=о = х[х * се )тн ~о е )т~).
(622) о=о При г = 0 имеем хоохо ) = х[г, ~ет~*,~е — е)т~) = я=о 1 =х[х ~ехн /Š— мх~). (62О я=о Предел х(оо) = 1пп х[1Т] при условии, что он существует, определя- Ю вЂ” хсе ется следующим образом: х(со) = 1пп(г — 1)Х*(х,г) = 1шх(г — 1)Х*(г). (6.25) 7о. Теоремы о граничных значениях. Начальное значение решетчатой функции х[1Т] по ее обычному и модифицированному г-изображению определяется следующим образом: х[еТ] = 1шз Х'(г,е), х[0] = 11ш Х*(г). (6.24) 199 6.3. Решетчатые функции и з-преобуазьоьиие 7Токазательство свойств х-нреобр эоваиий.
1 . Линейность. Согласно определению модифицированного з-прс- образования И ° ь,, п я[~;*,р+ д] =г [г,*,х~-сп]*-'= в —.-1 а=в п с;ь ь а; ~ ~х;[[1 +с)Т]г ~ = ~~ а,Цх,[[) +е)Т]). г=в ~,.=1 2о. Теорема запаздывания. В я-преобразовании Я(х[(Š— т+е)Т]) = ~ ~х[[Š— т+ е)Т]г г=о в правой части сделаем подстановку 1 — гп = Й: ХЯ(1 — т+ е)Т]7 = ~ ~х[[И+ е)Т]я Я=.— т Так как функция-оригинал обращается в нуль при отрицательных аргументах, из последнего равенства получаем Цх~[[1 — т+е)Т]) = г ~~ ~х[(й+е)Т]г и = х ™Х*(г,е).
я=о 3". Теорема опережения. Эта теорема доказывается так же, как и теорема запаздывания. 4". Умножение оригинала ив [1+ е)Т. Продифференцируем обе части г-преобразования Х [я,.е) = ~ х[[1 + е)Т]г ь=в по г и умножим на Тж дХ*(я, г), ~~-» [[ ),] рьц дя ~=о Вычтем это выражение из предыдущего равенства, предварительно умножив его на еТ: еТХ*[г, е) — Тг ' г = еТ ~ х[Д + е)Т]г ~+ г=в +1Тг ~х[(1+с)Т]г-р"'~ = ~, (Е+е)Тх[[1+е)Т]г '= = Л~(Х + е)Тх[[Е + е)Т]). 200 Гм б. Математическое описание сдискрстных систем 6 .
Теорема о свертке. Воспользовавшись определением з-преобразования, можем записать Хд*(г,г)Х,*(з,г) = г хд[(й+г)Т[г Хз(з,г). и=о По теореме запаздывания (см. (6.12)) г Хз(г,г) = ~~ хз[(1 — й+г)Т[г д=о Подставив это выражение в предыдущее равенство, находим Х;(з,г)Хг(з,г) = ~~~ хд[(дс+г)Т[~~ хя[(д — й+г)Т[г ' = д*= о д=о хд [(дс + г)Т[хз[(1 — к + е)Т[г д — -о д=о Отсюда, учитывая, что хи[(д — й + г)Т[ = 0 при 1 — й ( О, получаем ьд Хд(г,г)Хз(я,г) = ~ ~~ ~хд[(й+г)Т[хг[(1 — й+г)Т[г д.=о ь.=о =с[~„зд~-ст]„5 — д-~ |о[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
