Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Стпандартпные нормированньье передатпочные функции. Сначала рассмотрим стандартные передаточные функции, которые не имеют нулей; числители являются константами [10). Так как зна- 1З Д.п. Кнм 178 Гл. э. Сььнтез систем управления чения этих констант не влияют на характер переходного процесса, примем их равными единице. 1. Передаточная функция с одинаковыми полюсами 1 Ин(Ч) = ~ обладает монотонной переходной характеристикой, неплохим быстродействием и среди передаточных функций и-го порядка с одинаковыми коэффициентами при .в" ' имеет наибольшую степень устойчивости.
Ее знаменатель при и = 4,5,6 принимает следующий вид: — (в) — Ч4 + 4Чз + 6Чг + п = 5 Сз(в) ее Че + 5Ч4 + 10Чз + 10Чг + 5Ч '- 1; п = 6; Се(в) = Че + 6Ч" + 15Ч4 -е 20Ч~ 4- 15Ч~ + 6Ч+ 1. 2. Передаточная функция с полюсами, имеющими одинаковые действительные части Ч и мнимые части, образующие арифметические прогрессии с разностью и первым членом, равными 7.
СуществУет оптимальное Р = 7ььь1, котоРомУ соответствУет наименьшее время регулирования. Приведем полиномы знаменателя для шести значений степеней при оптимальных р: и = 1: Сь(в) = Ч+ 1; и = 2: Сг(в) = Чг+ 138Ч+1; п = 3; Сз(в) Чз + 2 05Чг + 2~3 Ч+ 1 4.
Сл(в) Чл + 2 6Чз + 3 8Чг + 2 8Ч+ 1 и = 5; Сз (в) = Чз + 2 5 Ч' + 5 3 Чз + 5 46 Чг + 3 64 Ч + 1; п = 6; Се(в) = Чв, 3 73 Чз + 8Ч4 + 10 3 Чз + 8 56 Чг ь 4 18Ч + 1 Передаточные функции с рассмотренными полиномами в знаменателе оказывакьтся неудовлетворительными при наличии у них нулей из-за больших перерегулирований. Разработаны рекомендаций по расположению полюсов на действительной оси, обеспечивающие приемлемые величины перерегулирования, для астатичсских систем 2-го и 3-го порядков с передаточными функциями, имеющими один и два нуля соответственно. 3.
Льья астатической системы с астатизмом 2-ьо порядка при передаточной функции с одним пулом [10) а ьЧ-Ь-1 Ч" 4- а Ч"-' 4-... 4- а,Ч 4- 1 рекомендуют располагать полюсы на вещественной полуоси по арифметической прогрессии. При этом перерегулирование не превышает 10 К.
Приведем полиномы знаменателя для этого случая (в конце каждого полинома в скобках укажем разность прогрессии); и = 2; Сг(в) = Чг+2,5Ч-~-1 (И= 1,5): 54. Синтез по оиевоемой пере0атаонной функции 179 и = 3; Сз(в) = де + 5 10з+ 6 35а+ 1 (с4 = 1 517) и = 4; йс(в) = д'+ 7 220з+ 16,30з+ 11,83д+ 1 (д = 1 138); и = 5 сз,(в) дз з 904+ 29дз + 38дз т 18о+ 1 (с1 0 86685) и = 6: Се(в) = с7~ + 110з + 45 80~ + 93,30~ + 82 30~ + 27 7д+ 1 (с( = 0,039). 4. Пля астатической системы с астатизмом 3-го порядка при передаточной функции с двумя нулями (10] а, зу -~- а„сд -ь 1 д" +йсд" '+...+а„-сд+1 Таблица 5.1.
Время регулирования и перерегулирование для стандарт- ных нормированных передаточных функций Время регулирования и 1 т„3 ПФ с одинаковыми полю- сами 10,3 7,б ПФ с одинаковой вещест- венной частью полюсов 4,5 5,.7 3,2 тр Астатическая система с ас- татизмом 2-го порядка 7,2 18 3,7 т„ Астатическая система с ас- татизмом 3-го порядка 1,5 4,3 тр Пирер егули роваии ПФ с одинаковой вещест- венной частью полюсов Астатическая система с ас- татизмом 2-го порядка 10 10 10 10 10 Астатическая система с ас- татизмом 3-го порядка 20,2 10 20 16 рекомендуют располагать корни на вещественной полуоси по геометрической прогрессии. Полиномы знаменателя в этом случае имеют следующий вид (в скобках приводятся первый член Лс и знаменатель р прогрессии): и = 3: сев(в) = дз + 6.,7 дз + 6,7 о + 1 (Лз — — 0,182; р = 5,5); п = 4 С4(в) = 04+ 79дз+15дз+79о+ 1 (Л1 0 185.
р 3 08). и = 5; Сз(в) = дз -~- 180~ + 69дз + 690~ + 180 + 1 (Л, = 0,0755; р = 3,63); и = 6: Се(в) = де -Ь Збо + 25104+ 485с7з+ 251с7з+ 26а+ 1 (Лд = 0,038; р = 3,7). В табл. 5.1 представлены время регулирования и перерегулирование для приведенных стандартных нормированных передаточных функций. Время регулирования определено при сз = О,Оот й(оо). 180 Гж 5.
Синтез систем унраенения Пример 5.9. Пусть передаточная функция объекта имеет вид 1 1 (е -Ь 1)(0 5 е -~- 1)(0 2 е -Ь 1) 0 1 ез -Ь 0 8 ег + 1 7 е Ч- 1 Синтезировать регулятор, при котором переходный процесс является монотонным, время регулирования 1р ( 3,15 и статическая ошибка равна нулю. Решение. Статическая ошибка будет равна нулю, если система будет астатической. Примем степень астатизма г = 1.
В качестве стандартной передаточной функции выберем нормированную передаточную функция> с одинаковыми полк>сами 1 1 (д ч- ц д ~- зд' + зд+ 1' Лля нее тр — — 6,2 и о = 3,15/6,2 = 0,5. Учитывая равенство о = = (/ае/а„и формулы (5.50б), положив аз = 1., для коэффициентов полинома знаменателя С(з) желаемой передаточной функции получаем ао = оз = 0,12о, аг = очаг = 0,75, аг = оаг = 1,5, аз = 1.
Отсюда С(е) = 0,125 аз + 0,75ег + 1,5з+ 1. Числитель и знаменатель передаточной функции объекта раскладываются на множители Р (е) = Р' (з) = 1, Л+(з) = 1, Л (з) = = 0,1 аз + 0,8зг + 1,7з + 1. Степени полиномов равны по = 3, пр — — — пр — — О, пл — — — 3, пне = О. Условия (5.43), (5.44) и (5.45) принимают вид 3(пи+ам+1, 3+им (лгу+1, 3=ггм+1.
Этим условиям удовлетворяют пгч = 2, пм = 0 и соответственно гУ(з) = аеег + агз = аг, ЛХ(з) = Ье. ПРи подстановке этих полиномов полиномиальное уравнение (5.42) принимает вид Ье+ (аезг + иге+ аз)е = 0,125ез + 0,75ег+ 1,5е+ 1. Отсюда ае = 0,25., аг = 0,75, аг = 1,5, Ье = 1 и соответственно Ж(е) = 0,25 ег + 0,75 з + 1,5, М(е) = 1. Подставляя их и выражения для Р (е) и 17 (з) в (5.41), найдем искомую передаточную функцию: 0,.1 ез -Ь 0,8 ег -~ 1,7 з -~ 1 И;,(е) (0,25 яг Ч- 0,75 е Ч-1,5)е 5.5.
Метод обратной задачи динамики В механике обратной называют задачу, когда по заданному уравнению движений или его свойствам требуется определить силы, вызывающие такое движение. Поэтому с точки зрения механики задача синтеза,. когда по заданным свойствам движения системы нужно определить закон управления (по существу силу), является обратной задачей механики, или, конкретнее, обратной задачей динамики.
181 б.б. Метод обратной задачи дссноликсс Метода,м обратной задачи динамики будем называть метод синтеза систем, когда по заданным уравнению объекта и требованиям к качеству системы управления определяется желаемое дифференциальное уравнение, решение которого удовлетворяет заданным требованиям, а затем из найденного уравнения выражается старшая производная и подстановкой ее вместо старшего производного в уравнение объекта находится требуемый закон управления. Панный метод был предложен Л.М.
Бойчуком прежде всего для синтеза структуры нелинейных систем управления (3]. 5.5.1. Объект 2-го порядка. Пусть объект управления описывается уравнением аоу + ~(у,у:1) = Ьои, ао > О, Ьо ~ О. (5.51) Задан требуемый закон изменения уо(Г) выходной переменной у. Требуется найти алгоритм управления, при котором ошибка х(Ь) = у'(1) — у(Ь) изменяется следующим образом; х(с) = С е л,с ь Сге лсс (5. 52) Здесь Сы Сг произвольные постоянные; Лы Лг заданные положительные постоянные. Решим эту задачу методом обратной задачи динамики.
Пля этого найдем желаемое дифференциальное уравнение. Функция (5.52) является решением дифференциального уравнения х+ Лсх+ Лгх = О, Лс = Лс+ Лг, Лг = ЛдЛг. (5.53) Учитывая, что у = уо(Ь) — х(1), имеем у = уо(Ь) — х(1). Из уравнения (5.53) получаем — х = Лсх + Лгх. Поэтому желаемый закон изменения высшей производной имеет вид у = 'у (1) -Ь Лсх + Лгхз Подставив это выражение в (5.51) и исключив переменную у, получим и = — [ао(у "(Ь) + Лсх+ Лгх) + У(у~(Ь) — т, у (Ь) — х,1)1.
(5.54) 1 Ьо Линейный стационарный объект 2-го порядка аоу+ агу+ агу = Ьои, ао > О Ьо у'. -О, является частным случаем уравнения (5.51), когда Д(д, у., Ь) = осу+ + агу. Поэтому в этом случае (5.54) принимает вид и= —,' )(ао[(Лс — — ")х+ (Лг — — ")х~+ + аоУо(Ь) + асдо(1) + агдо(1)) (5 55 182 Гл. б. Синтез систем унриеления П р и м е р 5.10. Передаточная функция объекта управления есть И' (з) = 1 задающее воздействие д(1) = у (1) = А (А ез+Зе+2' константа). Определить алгоритм управления, при котором ошибка х(2) = уе(1) — у(1) изменяется следующим образом: х(1) = (С + С~1)е Решение. В данном случае Л1 —— Л2 = 2, Л1 — — Л2 — — 4, уравнение объекта имеет вид у + Зу+ 2у = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
