Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Синтез но минимуму интегуаевнмх оценок В данном случае 1см. 14.16)) п. = 2, Ьо = 0,1, Ьз — — 1, ао = 0.,1, а( = 1, аг = й . Поэтому (см. (е4.17б)) 2аоа(аг 2 0,1 й„' й. х„= — ' ~ ( (в(, ((в -~" 1 (( в(, ( -с(0(( и $ = =,Уго+ 0,5г — ~ри(Е Ц(е) — еи10)! дн(. 2н у Как было вычислено (см, пример 5.3), 0,1 '+1 0,01й Ц-0,1 — г+ +й го — 02й„ Лля е„10) имеем е„(О) = 1(п( вЕ„(в) = 1цп ' = 1. в10,1 в -(- 1) в-все " в — ~ее 0,1 вг -'е в -(- й Поэтому Š— (О = ' — 1= О 1вг+ в+ й„О 1вг+ в+ й„' г г — й„ Угз = 1го+ 0,5 — / ., " Же = 7го+ 0,251г.
2к l 0,1(Уев)г+4(в+й„ В данном случае н = 2, Ьо — — О, Ь, = — й~, ао — — 0,1, а, = 1, аг —— й„и г г г Ьоаг е- Ь(ао 0,1 й„ 2аоа(аг 2 0.,1й Подставив это выражение и выражение для,Уго в полученную выше формулу для Хгы найдем 0,01 й„-Ь 0,1 -Ь 0,.025 йг 0,2 й„ 0,01 й -Ь 0,1 0,2 й„ Из условия (1.(г( (1й 0,025 йг — 0,1 Очевидно, что,7го принимает минимальное значение при условии й„< 2,5, когда й„= 2,5. 1 Пример 5.4. При условии, что Иг„(в) = й„, Иге(в) = в(0,1 в + 1) н 111) = О (см. рис. 5.1), определить значение параметра й„, при котором обобщенная интегральная квадратическая оценка в' г при т = 0,5 принимает минимальное значение. Решение.
Согласно формуле (4.15) 154 Гл. з. Синтез систем управления / б,1 следует, что,Узе достигает экстремума при )е„= ' = 2. Чтобы ~/ О,О25 установить, чему (минимуму или максимуму) соответствует это значение, найдем вторую производную: ,)з Ум 1 е)вз Гз В точке экстремума эта производная положительна. Следовательно, в ней достигается минимум, и соответственно решением будет а = 2. 5.3.
Условие граничной устойчивости и синтез систем управления по максимальной степени устойчивости Задача синтеза систем управления максимальной степени устойчивости ставится следующим образом. Задана структура системы управления и требуется определить параметры регулятора, доставляющие максимум степени устойчивости. Коэффициенты характеристического уравнения и соответственно степонь устойчивости е) будут функциями от указанных параметров.
Рассматриваемую задачу синтеза можно сформулировать как следующую задачу на экстремум: определить о 1о — — вектор параметров регулятора) из условия е)* = т)(о") = пшхе)(о). Значение г)" называется опптмальной степенью устойчивости и о' опепимальнь м (венторньем) параметром. Число параметров регулятора 1размерность вектора о) т не должно превышать и — 1 (и — — степень характеристического уравнения): т < и — 1. Если т ) и и с помощью параметров можно произвольно изменять и коэффициентов характеристического уравнения, то в этом случае корни характеристического уравнения и соответственно степень устойчивости можно сделать равными произвольно заданным числам.
Метод решения сформулированной задачи основан на условиях граничной устойчивости. Поэтому прежде всего рассмотрим эти условия. 5.3.1. Условия граничной устойчивости. Напомним, что система находится на границе устойчивости, или имеет место граничная (маргинальная) устойчивость, если ее характеристический полипом имеет нейтральные 1т.е. расположенные на мнимой оси) нули и не имеет правых нулей.
Такой полинам называют маргинально устойчивым, Следует заметить, что условие, которое получается при замене в критерии Гурвица знака строгого неравенства на нестрогий, не яв- о.оц Синтез по максимальной степени устойчиоосиьи 155 ляется условием граничной устойчивости.
Лействительно, например, тюлином 112) = 2 +а22 +а4, где аз=2(3 — а), а4=(о +42), ~3>о>0, удовлетворяет полученному таким путем условию; ав > 0 и все опре- делители Гурвица данного полинома равны нулю. Тем не менее среди его нулей 21 2 — — — а х )12, ез 4 = а т у)2 два нуля являются правыми. Рассмотрим полинам с вешественными коэффициентами 2" (я) = аог о -~- аз го ' +... + а„(ао > 0). (5.5) Утверждение 5.1 (необходимое условие маргинальной устой- чивости). Если полинам (5.5) маргинально ушаойчив, шо все его коэффициенты неотрицашельны: а,>0, 1=1,2,...,п. (5.6) Доказательство.
Если полинам (5.5) маргинально устойчив и имеет 1 нейтральных нулей, его можно представить в виде 7'( ) = й )У-- ( ), где 11(я) полинам 1-й степени, все нули которого расположены на мнимой оси, 1, 1(я) — — устойчивый полинам (и — 1)-й степени. При разложении полинома 11(я) на элементарные множители нуле- вому корню соответствует множитель я, а мнимым корням 1Д и — уД вЂ” — множитель (г — у)2) (г + у)2) = г~ + Д~. Поэтому его коэффи- циенты будут положительны или равны нулю. В силу необходимого УсловиЯ Устойчивости все коэффициенты полинома уп 1(г) положи- тельны.
Следовательно., коэффициенты полинома 1(е) будут положи- тельны или равны нулю. Нуль е' полинома (5.5) называют особым, если — 2' также являет- ся нулем этого полинома. В частности, все нули, расположенные на мнимой оси, являются особыми. Полинам (5.5) имеет 1 особых нулей в том и только том случае, когда 1 старших определителей Гурвица равны нулк1, а (и — 1)-й оп- ределитель отличен от нуля ~5]: Ло, = Д~,— 1 = = Ьс — 1-.1 = О, Ьп — 1 ~ 0 (5 7) При наличии з нейтральных нулей число правых нулей ь опреде- ляется по формуле ~ос] й 11+ (5.8) где 1 — — число особых нулей, й1 — число неособых правых нулей, определяемое соотношением (5.9) ь1 1' (1~2ь1 2ьз ° ) + ° (1~~-12~'1~4; ) ° В (5.9) исключены 1 старших определителей, которые входят в условие (5.7); 11(1,сз,, Ь ,...) обозначает число перемен знаков в ряду 1,2л1,2лзь...
Число неособых правых нулей кг равно нулю тогда 156 Гл. б. Синтез систем управления и только тогда, когда все определители, входящие в (5.9), положи~ел~вы. Если имеются особые нули, расположенные вне мнимой оси, то, как следует из их определения, среди них обязательно будет правый нуль. Из изложенного выше вытекает следующее утверждение. Утверждение 5.2.
Полинам (5.5) маргинально устойчив и1 нулей располагаются на мнимой оси в пзом и только том случае, если вьтолняются следующие два условия. 1о. 1 старших определителей Гурвица равны нулю, а остальные п — 1 определителей положительны: Ь„=Ь„4 =...=Ам ььы Ь„~ >О, ..., Ьз >О. (5.10) 2". Полинам (5.5) не имеет особых нулей, расположенньяс не на мнимой оси. При использовании данного утверждения и установлении условия 2о важную роль играет следующее утверждение. Утверждение 5.3.
При выполнении необходимого условия (5.6) особый нуль не может быть вещественным числом, и если имеются особые нули, расположенные не на мнимой оси, п4о их количество равно числу, кратному 4. Доказательство. Представим полинам (5.5) в виде Пх) =д(2')+ й( '), где 2 2 4 д(2 ) — а~ + ал — 22 + ая.-42 + 5(х ) =ао — 4+аь — зх +аь — ьх + 2 2 4 Если вещественное число а (а ~ 0) является особым нулем полинома 1(2), то у (а) = д(ах) + ай(а~) = О (( — а) = д(аз) — а6(а~) = О.
Складывая и вычитая приведенные выражения, получим д(аз) 0 Ца2) 0 А эти равенства при выполнении условия (5.6) невозможны. Пусть комплексное число г' = а+ 1)з (а)з ф 0) является особым нулем полинома 1(2). Тогда нулями будут число хо = — 2' и числа, комплексно-сопряженные 2' и 2": ххн = а — 26 и хт = — а+ 1)з.
Таким образом, мы доказали, что при выполнении условия (5.6) вещественное число не может быть особым нулем и количество особых нулей, расположенных вне мнимой оси, равно числу, кратному 4. У т ве р ж де н не 5.4. Если выполняются необходимое условие маргинальной устойчивости (5.6) и условие (5.10) при 1 < 1 < 3, то полинам (5.5) маргинально устойчив. Это утверждение непосредственно вытекает из утверждений 5.2 и 5.3.
5.3. Синтез по максимальной ссаепени устончиоости 157 Утверждение 5.5. Если все коэффициенты полинома (5.5) с нечетными индексами равны нулю: ас = аз =... = а„= 0 при нече(пном и, (5.11а) ас = аз =... = ан 4 — — 0 при четном и, (5.116) то все определители Гурвица равны нулю (,24 — — сЛ2 — — ... — — Ь„= = 0). И наоборот, если вес определители Гурвица равны нулю, то все коэффициенты полинома (5.5) с нечетными индексами равны нулю. В справедливости этого утверждения можно убедиться, последовательно вычисляя опрелолители Гурвица, начиная с определителя 1-го порядка.
В силу утверждения 5.5,. когда все нули полинома Д(2) являются особыми, вместо условия (5.10) можно рассматривать условие (5.11). Нейтральные нули полинома 1(2) являются нулями функции у Осо), и их число совпадает с числом действительных корней системы уравнений 44(О4) = КЕЭОО4) = ао — ао 2О4 +по ла4 —... = О, (5.12а) о(о2) = 1ш э'Оо2) = ао,о2 — ао — зсо + ао ваР—... = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
