Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В силу равенства Ц„(Ч) = Я(Л)~„ имеем Ц (,)! (Л),, да.(Ч) д4)(Л) и Ч о=о дЧ ,=о= дЛ л= .' дгеЕ (Ч)( дг42(Л) дЧ' ~о=о дЛ' л=-,' (4.7) Из (4.5) и (4.7) следует а„п = СЕ'„(Ч)/ „= 4,4(Л)~»=в оп(11) да(Л) ~ ееп — 1 дЧ о=о дЛ л= — е' д'42 (Ч) д~е)(Л) апп — 2 г дЧ,=О= дЛ л=, д*Оп(Ч) ~ д а(Л) ~ дЧ' !4=о дЛ' !л=-е При подстановке л — г = й последняя формула принимает вид д" 14',).(Ч) д 1'д(Л) Отсюда получаем (4.6).
Примни 4.1. Задан характеристический полипом е)(Л) Л4 + 2 3 + бг2 + 8 + 1 Исследовать, превышает ли степень устойчивости заданного поли- нома 1. При исследовании степени устойчивости удобно воспользоваться следующим преобразованием. Исходный характеристический полипом ФЛ) = аоЛ" + а»Лп ' +... + а„ 4.8. Попаэатпелп панеегаоа е переходном рехепме 129 Решение. Убедимся сначала, что рассматриваемый полинам является устойчивым полиномом, для чего вычислим определитель Гурвица 3-го порядка, составленный из ого коэффициентов: а1 аз 0 ао аз аа 0 ал из 2 3 0 1 5 1 0 2 3 = 2(15 — 2) — 9 = 17 > О.
Полинам Я(Л) является устойчивым. Сделаем подстановку Л = д — 1 и вычислим коэффициенты преобразованного полинома. В данном случае и = 4 и с = 1. Поэтому из 14.6) получаем апа = 1,)(Л)(лп, = Л + 2Л + 5Л +ЗЛ+ 1(лп, = 2 Р е ш е н и с. Сначала проверим устойчивость заданного полинома.
Пля этого достаточно проверить знак определителя Гурвица 2-го порядка: Ьз=З 4 — 1 2>0. Полинам ®Л) устойчив. Произведем подставку Л = 4 — 1 и найдем коэффициенты преобразованного полинома. В данном случае и = 3 и с = 1. Поэтому из (4.6) получаем ипз — ®Л)(л з Л +ЗЛ +4Л+2! О, апз = =ЗЛ +6Л+4)„п, =1, дЯ(Л) апо = —,, = — 6=1. 1 дзЕЛ) З~ дЛз л з б Преобразованное характеристическое уравнение имеет вид д„(д) = д' + д = о. Все корни этого уравнения (дз — — О, 9з з = ху) располагаются на мни- мой оси. Следовательно, степень устойчивости рассматриваемой сис- темы и = 1. о д.п. к апз = ' = 4Л'+ 6Л'+ 10Л+ 3(,, = — 5, дЯ(Л) л=-з Без дальнейших вычислений ясно, что необходимое условие устойчивости преобразованного полинома не выполняется, и он является неустойчивым полиномом.
Следовательно, степень устойчивости д ( 1. Пример 4.2. Определить, превышает ли 1 степень устойчивости характеристического полинома О(Л) = Л +ЗЛ + 4Л+ 2. Гл. 4. Качеепсоо систем управления язо = /е„(с)й о (4.8) (которук) также называют инпсегральнссй квадра)аической огсенкой) и обобщенные интегральные квадратические оценки Оба г =I~,)г)'-,.а)е..--'; )г))гг, Й=г,г,.--,, )сг) а где т, (с' = 1,2,..., Й) весовые константы.
Смысл показателя дзо ясен из его названия, и дзо — о 0 при иоах име„(1)~ — с О. Однако возможны случаи. когда при малых дзо сисе тема становится сильно колебательной. Это послужило одной из причин использования обобщенных интегральных квадратических оценок. Рассмотрим, в чем смысл этих показателей. Сделаем это сначала на примере показателя дзс, представив его в виде Хл = / ~еа(1) + теаЯ~дг — 2т~е Яеа1г) й. о о Учитывая, что е„(оо) = 0 и ~еафеа1е) й = ~еа)с) деа)с) = — — ез(0), а о имеем дгс — — ~~е„сс) + те„)с) )~й+ те~(0).
а Отсюда следует, что дзс достигает минимума, если еа(1) удовлетворяет дифференциальному уравнению те„) ''с) + е„(1) = О. (4.10) Таким образом, минимизация дзс соответствует приближению переходной составляющей ошибки к решению уравнения (4.10). Аналогично можно показать, что интегральный показатель дзь достигает минимума, если е„(с) удовлетворяет дифференциальному уравнению ту е„)',г) + ть с е„(1) +... + е (1) = О. 4.2.3. Интегральные показатели качества. Ошибку системы можно представить в виде суммы: е(с) = е„1с) + е где е„(1) --. переходная составляющая ошибки, е ". установившаяся ошибка.
В качестве интегральных оценок наиболее часто используют интегральную квадратаическую ошибку 4.8. Повози)пель) качееьпоа е переходном реомььме 121 х(ь) = — / Х(41)ее~ Иь), можно преобразовать слелуюпгим образом: ы; +ь )*')1)41 =)ь*)1)~ —, 1 е)4)"'44). "41 о о — )) Х)4)();Ьь)..-1 — 1'Е)4, г о 4-1 — Х(41)Х(е — д) дь) Так как по условию все полкюы Х(д) находятся в левой полуплоскости, можно положить с = 0 и д = уьо. Проделав это, из последнего равенства получим (4.12).
Вычисление иипьегральных квадратных оценок. На основе равенства Парсеваля (4.12) имеем 2я. ь' (4.13) Ь = — $))Е)1 )) 4 4, ))Е)1 )) 1 4.. г Е,О ) Е ~, )4.14) где )е) ь(ь) Ео(о) = Еасоф), ЕЕЯ = Ь(ео(С)), ... Ео(з) = Е1 еофг~ Так как Е„(е) = А1е„(ь)) = еЕ„(е) — е„(0) 4 Равенство Парсеоиля. 1оассмотрим равенство Парсеваля, которое используется при вычислении интегральных квадратических оценок. Если Х(е) является изображением Лапласа функции х(1) и его полюсы расположены в левой полуплоскости, то справедливо равенство Парсеваля /*'ж = —,'.~~ о-и'- (4.12) о Вывод формулы (4.12). Равенство 3' х 14) дг = /х (ь)е ' иь 4=0 о о используя обратное преобразование Лапласа 132 Гл. 4.
Качестоо сшстаелс дираолеиия то формулу для 7зз можно записать в виде ем= —,' ( I~з„е )Ез +"1' Е е.з ) — „(о)сз ). 01Ц Аналогичным образом можно представить формулы и для лзь (й = = 2,3,...,т). Определение интегральных показателей по формулам (4.13), (4.14) и (4.15) сводится к вычислению интеграла вида 1 /' Ьо(ум)" ' + Ьз(зза)" '+... 4. Ь, 2х,l ао(уа)" + аз(зм) ' +... + а„ Этот интеграл вычисляется с помощью теории вычетов и для и = = 1, 2, 3 имеет следующий вид: п=1; Ьо 2аоаз ' Ь,'аз 4 Ь,'ао п=2: 72= 2аоа~аз Ьозазаз 4-(Ьз ~— 2ЬоЬз)аоаз + Ьзаоа~ п=3: 1з— (4.17в) 2аоаз(а~ а — аоаз) (4.17б) Установившееся значение е „= 1пп зЕ(з) = — = 0.,25.
1 е-оо 4 Так как е„(Ь) = е(е) — е, то Е ( з ) 7 ( е ( 1 ) ) Ь ( е ) Е ( з ) 0 2 5 0 1 + 4 На основании свойства преобразования Лапласа получаем е„(0) = 1нд зЕи(з) = 1пп ' = 0,75. 0,075 з-оос е-осс 0,1з4-4 В соответствии с (4.13) имеем Пример 4.3. Вычислить интегральные показатели лзо и лзз системы (см.
рис. 4.1, а, 7" = О), когда передаточная функция И'(р) = 3 0,1р 4-1 Решение. Вычислим Е„(з) и е„(0), необходимые для вычисления указанных показателей. Но прежде всего найдем Е(з). Учитывая, что д(1) = 1(1) и С(з) = Цд(1)) = 1/з, можно записать Е(з) = И;о(з)С(з) = 4.8. Поновотелгг нонееховв в переходном реоипме 1ЗЗ В данном случае (см. (4.16)) п, = 1, Ьо = 0,075, ао = 0,1, аг = 4. Поэтому согласно (4.17а) /го = о = 0,007. 2аоаг Теперь найдем,Угг.
Учитывая (4.13), из (4.15) получаем Угг =,Уго + т — / ДгоЕ„(3'го) — е„(0) ~ Аг. Так как вЕ„Я вЂ” е„(0) = ' — 0,75 =— имеем ог г Угг =,Уго+ т — / ебо =,Уго+ т Уг = Ог007+ 11,25т 1 Г 3 г г 2х,г' 0,1 ум -ь 4 Ответ:,Уго = 0007, Угг = 0,007+11,25т . Пример 4.4. Определить интегральные показатели,Уго и,Угг системы (см. рис, 4.1, а, У = О) при условии, что передаточная функция И'(р) = Й 17р+ Цр Решение. Найдем сначала изображение ошибки Е(в) и установившуюся ошибку е ЕУв) — ~~ ео (в)~(в),,г е~ =!шг вЕ(в) = 1пп,' ' = О.
(,Тв -'е 1)в в-ле в — во Твг-Ьв-ЬЙ Отсюда получаем е„(1) = е11) — е = е(1), Е„(в) = ЕЯ = е„(0) = 11гп вЕ„(з) = 1пп, = 1, (Тв -Ь 1) в я-лм в — >го Тв "х в с Й 7вг+в+Й Тв +в+Й Поэтому Вданномслучае п=2, Ьо=Т, Ьг — — 1, ао=Тг аз=1, аг=Й исо- ответственно (см. (4.175)) бгаг -~-бгао Той+ 1 ° 7 ТЙ+ 1 2аоагаг 2ТЙ 2Й 134 Гл. 4. Качество еиетаем управления Лля,7гг имеем Згг = Угв+ т — )ггоЕ„(7ег) — е„(0)) еуо = 2я з г Ьеаг М Ьгаа = ого+с — ( ~, аог =,Уго+ г 2к,l ~Тамг + ум -~- й 2аоагаг Здесь Ьо — — О, Ь, = Ь, ав —— Т, аг —— 1 и аг — — й. Поэтому Ту+1 г И~Т с~уз+Ту+1 2ТЬ 2ТМ 2Ь ТЬ+ 1 ггй г; ТЬ+ 1 Ответ; угв = 2Ь ' 2Ь гг 4.2 4.
Частотные показатели качества. В качестве частотных показателей качества используют резонансный пик, полосу пропускания, запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде. Резонансный пик и полосы пропускания определяются по амплитудной частотной характеристике. (рис. 4.5). Резонансным пиком или А( 0,707А Рнс. 4.5. Амплитудная частотная характеристика показателем колебательносты называется отношение максимального значения А, к начальному значению А(0); М = А,„ггА(0). В большинстве систем управления считается желательным, чтобы резонансный пик находится в пределах от 1,1 до 1,5.
Частота ого, при которой А(ы) достигает максимального значения (Ао, = А(иго)), называется резонансной частотой. Полосой пропускания называют диапазон частот (О, ы„), где аг„частота, при которой А(ае) принимает значение 0,707А(0). Запасы устойчивости по фазе и амплитуое характеризуют близость системы к границе устойчивости и определяются по амплитудно-фаэовой частотной характеристике (АФЧХ) и логарифмическим частотным характеристикам (ЛЧХ) разомкнутой системы.
4.У. Показатеви качества в дстанооивтемся режиме 135 По АФЧХ запас устойчивости по амплитуде Ь и запас устойчивости по фазе удд определяются следующим образом. Пусть АФЧХ пересекает окружность единичного радиуса при частоте ш„а отрицательную вещественнукд полуось при частоте шя (рис. 4.6, а). и1 ) у4 ) Рнс. 4.6.
Частотные характеристики разомкнутой системы: в АФЧХ; б - - ЛАЧХ и ЛФЧХ 1 Запас устойчивости по амплитуде Пх = 201я — (сея = ~сС(од )~) и за- П пас устойчивости по фазе у = я + у(оде). Определение запасов устойчивости по ЛЧХ показано на рис. 4.6, 6. 4.3. Показатели качества в установившемся режиме Наиболее полной характеристикой качества системы в установившемся режиме является установившаяся ошибка. Когда внешние воздействия являются функциями времени, установившаяся ошибка как вынужденная составляющая ошибки также является функцией времени. Поэтому в общем случае установившуюся ошибку будем обозначать е (с).
Установившаяся ошибки определяется следующим образом: е,1с) = 1пп е(с). Если на систему действуют два внешних воздействия задающие воздействия д(1) и возмущения 1" (с), то установившуюся ошибку можно представить в виде суммы: е,1г) = е,дф + еве11), где е, (1) и е,угас) -- установившиеся ошибки от задающего воздействия д1с) и возмущения 11с) соответственно. 136 Гм 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
