Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Точку пересечения АФЧХ с указанным отрезком называют положительным переходом, если пересечение происходит при возрастании частоты сверху вниз (т.е. в положительном направлении), и отрицательным переходом, если пересечение происходит снизу вверх (рис. 3.5, а). Если АФЧХ начинается или кончается па отрезке ( — со, — 1), то говорят о 1/2-переходе (см. рис. 3.3, а).
Критерий Найквиста. Для того члпобы замкнутая система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами была равна 1/2 (1 — висло правых корней характеристического уравнения р замкнутой системы). При пересечении АФЧХ отрезка ( — оо, — Ц (рис. 3.5, б) амплитудная частотная функция А(оз) > 1 и соответственно Цы) > О, фвзовая частотная функция 1о(оо) = х(2кч-1)и (к = 0,1,2...). Поэтому на логарифмических частотных характеристиках (ЛЧХ) положитель- УЗ. Частотные критерии уствйчиввппи РО3 Рис.
3.5. Положительные и отрицательные переходы: а — АФЧХ; 6-- ЛАЧХ и ЛФЧХ ным переходам соответствуют точки пересечения логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) прямой ув(ы) = х(2й + 1) (к = 0,1,2...) снизу вверх (в сторону возрастания р(ы)), отрицательным переходам — — сверху вниз при частотах, когда Цю) > О (рис. 3.5, б).
Позтому на основании критерия Найквиста получаем следующий критерий устойчивости. Логарифмический частотный критерий устойчив о с т и. Лля того чтобы замкнупсая система была усто ачива, необходима и достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами ЛФЧХ прямой ~р(св) = ж(2й+ 1)я (к = О, 1,2...) при часгпоьпах, когда Ь(ы) > О (логарисбмичсская ампли7пудная чатпагпная характеристика положительна), была равна 1/2 (1 число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы). 3.3.5. Устойчивость систем с чистым запаздыванием. Системы управления прокатным станом, различные системы управления, содержащие ленточные конвейеры, обладают чистым (или транспортным) запаздыванием. Передаточная функция в изображениях Лапласа звена чистого запаздывания, как отмечалостч имеет вид И"(в) = йе ™'.
Рассмотрим замкнутую систему управления, передаточная функция разомкнутой системы которой имеет вид Ис,1в) = Ис(в)с ~', Ис(в) = В(э)/Б(о), (3.14) где тт(в), Я(в) - полиномы степени пь и и соответственно (т < и). Лля исследования устойчивости такой системы может быть использован критерий Найквиста, формулировка которого практически остается без изменения.
Лля того чтобы замкнутая система, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид (3.14), бьыа устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку ( — 1,уО) в положительном направлении 1/2 раз, где 1 -- число правых нулей характеристического полинома разомкнутой системы з'(в).
104 Рт У. Устойчиеость систем упуаееспия Замкнутая система без звена чистого запаздывания (в (3.14) т = О) может быть устойчивой, а с возникновением транспортного запаздывания может стать неустойчивой. В этом случае с ростом запаздывания т АФЧХ будет приближаться к точке ( — 1,10), и при некотором значении запаздывания т„она пересечет эту точку и окажется на границе устойчивости. Значение т„называют критпическим. Рассмотрим, как можно определить критическое запаздывание. Частотная передаточная функция, амплитудная и фазовал частотные функции разомкнутой системы имеют вид И;(~ы) = И'Осе)е '", И'Осе) = В(усе)(Б(уы), ~И',(уш)~ = ~Игоы)~, ~р,(сс) = ~р(ы) — гы, где р,(сс) = агя И'с(~се), р(сс) = агя И'Оы).
Отсюда вицно, что появление транспортного запаздывания не меняет модуль, а только вносит Рис. 3.6. АФЧХ системы с чистым запаздыванием дополнительный отрицательный фазовый сдвиг — ыт, что приводит к закручиванию АФЧХ (рис. 3.6). Критическое запаздывание находится из условия ~Иг(у ~)~ = 1, ~р(ы) — т„ы = — я. (3.15) Решив эту систему, найдем критическое запаздывание и частоту ш„, которая называется куигпической, чисгпотой. П р и м е р 3.6.
Определить критическое запаздывание и критическую частоту для системы, у которой передаточная функция в разомк- НУТОМ СОСТОЯНИИ ИГг(я) = — Š— е. с+1 Р е ш е н и е. Без запаздывания замкнутая система устойчива. Условие (3.15) принимает вид за = 1, — агс16 сс — ыт = — я. зГю'+1 Из первого уравнения получаем ы = 1. Подставив зто значение частоты во второе уравнение и решив его,наидем т, = я — агс16 1 = Зя/4. 105 с.л.
Определение области устойчивости 3.4. Определение области устойчивости Структура системы определяется составом элементов звеньев и связями между ними. Поэтому изменить структуру системы — — это значит изменить состав ее элементов или связи между ними. При заданной структуре какие-либо параметры могут быть не фиксированными, т, е, их можно изменять. Такие параметры называют варьируемыми. При наличии варьируемых параметров возникает проблема определения области устойчивости.
Областью устойчивости в пространстве. параметров называют множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Если существует область устойчивости в пространстве параметров,. т.е. существуют такие значения варьируемых параметров, при которых система устойчива, то она называется структурно устойчивой или структурно устойчивой отпносительно заданных варьируелоях параметпров. В противном случае, т. е.
если нет таких значений варьируемых параметров, при которых система устойчива, она называется структурно неустойчивой или структурно неустой сивой относительно заданных варьируемых параметров. Область устойчивости можно определить с помощью алгебраических критериев устойчивости. Рассмотрим это на примере.
ПримЕр 3.7. ПЕрЕдатОчная функция раЗОмкнутОй СиСтЕмы й И'(р) = . Определить область устойчивости замкнутой сис- И +1)' темы на плоскости параметров (й, Т). Р е ш е н и е. Характеристический полипом замкнутой системы имеет вид ГЗ(Л) = тзЛ'+ Зт'Л'+ ЗтЛ+1+ й. По критерию Льенара — Шипара имеем т' > о, зт > о, зт > о,. 1+ й > о, Ьз = ЗТ . ЗТ вЂ” Т .
(1+ й) = Т (8 — й) > О. Очевидно, эти неравенства будут выполнены, если Т>О, — 1<й<8. Эта система неравенств определяет область устойчивости. Разработан специальный метод определения области устойчивости,названный методом Р-разбиения. З.4.1. Метод Р-разбиения. Если имеются варьируемые параметры, то корни характеристического уравнения зависят от этих параметров, и пространство параметров можно разбить на области, которым соответствует фиксированное количество левых корней. Область, которой соответствует й левых корней характеристического уравнения, обозначим РЯ. В общем случае все пространство пара- 106 Гв. 3. Устсйчнввств систем управления метров можно разбить на области Л(0), Р(1),..., Р(п).
Область Л(п) является областью устойчивости, так как при значениях параметров из этой области п корней (т. е. все корни) являются левыми. В частном случае какие-либо области могут отсутствовать. Если система структурно неустойчива, то будет отсутствовать область устойчивости Р(п). Разбиение пространства параметров на все возможные области Р(*к) называется Р-разбиением.
Кривая, разделяющая области Р(к) с различными индексами к, называется кривой Л-разбиению Так как во время движения в пространстве параметров при пересечении кривой Р-разбиения происходит переход из области Р(й') с числом левых корней к = й' в область Р(йн) с числом левых корней й = Йв, то часть левых корней становятся правыми (Й' > йн) или часть правых корней становятся левыми (й' ( йн), Но так как переход корней на комплексной плоскости из одной полуплоскости в другую происходит только через мнимую ось (включающую и бесконечно удаленную точку)., то уравнение кривой Р-разбиения получается из характеристического уравнения Я(Л) = 0 при подстановке в него Л = уы: Я(~ы) = О. Метод Р-разбиения (1О.И.
Неймарк, 1948). Методом Р-разбиения называется метод выделения области устойчивости, основанный на Р-разбиении, и он включает следующие три операции: 1) Р-разбиение пространства параметров; 2) определение среди областей Р(й) области., имеквщей наибольший индекс.
Эта область называется областью-претендентом, так как только эта область может быть областью устойчивости; 3) проверка, является ли область-претендент областью устойчивости. Пля этого фиксируется какая-либо точка внутри области- претендента и при значении варьируемых параметров, соответствующих фиксированной точке, проверяется устойчивость системы. Если система устойчива, область-претендент является областью устойчивости. Очевидно, если заранее известно,что система структурно устойчива, то указанную проверку устойчивости можно не выполнять.
Порядок Р-разбиения и выделения области-претендента зависит от числа варьируемых параметров. Поэтому отдельно рассмотрим случаи одного и двух варьируемых параметров. Выделение обласгпи устпойчивостпи на плосиостпи однова параметра. Параметры системы могут принимать только действительные значения, и пространство параметров в случае одного варьируемого параметра представляет собой прямую, а область устойчивости интервал. Однако при выделении интервала устойчивости методом Р-разбиения, предполагая, что параметр принимает комплексные значения, сначала находят область устойчивости на комплексной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
