Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3.2. Алгебраические критерии устойчивости Алгебраическими критериями устойчивости называются такие условия, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, при выполнении которых система устойчива, а при невыполнении неустойчива. При проведении исследования устойчивости с помощью алгебраических критериев следует прежде всего проверить выполнение необходимого условия устойчивости, так как его проверка не требует никаких вычислений,и в то же время при его невыполнении не надо проводить дальнейших исследований, так как становится известным, что система неустойчива.
3.2.1. Характеристическое уравнение. Лля того чтобы исследовать устойчивость с помощью алгебраических критериев, необходимо иметь характеристический полинам. Рассмотрим, как он определяется. Как отмечалось выше, характеристический полипом йд(Л) получается из собственного оператора гг(р) простой заменой оператора р на комплексную пероменную Л. Поэтому достаточно найти собственный опе1гато1). Если дано уравнение системы управления, и оно записано в символической форме, то дифференциальный оператор при выходной переменной и будет собственным оператором.
Если дана передаточная функция, то можно принять, что собственный оператор совпадает с ее знаменателем. При исследовании замкнутой системы (рис. 3.1, а) нет необходимости находить ее передаточную функцию, если известна передаточ- 93 Я.М. Алгеброи ессние критерии устойчнвостя Рис. 3.1. Замкнутая (а) и разомкнутая (б) системы ная функция И'(р) = В(р)/Я(р) разомкнутой системы (рис. 3.1, б). Ее собственный оператор Я(р) равен сумме полиномов числителя и знаменателя перодаточной функции разомкнутой системы: 1г(р) = Н(р) + Нгр). составляется определитель и-го порядка 0 0 0 ас аз ав ао аз а4 сл„ = 0 аз аз (3.10) 0 0 который строится следующим образом.
На главной диагонали выписываются элементы аы аг,..., а„. Затем при движении от этих элементов вверх размещаются коэффициенты в порядке возрастания индексов, при движении вниз .-- в порядке убывания. Например, при построении 4-го столбца, двигаясь от элемента аз вверх, записывают коэффициенты а,ты а,42,..., двигаясь вниз, записывают коэффициенты а; ма, 2,... При этом, если индекс превышает и или принимает отрицательное значение, соответствукшзий коэффициент принимают равным нулю. Главные миноРы опРеделителЯ гля а1 аз аз аг Ьг —— ао аз слг — ав а2 Оч а2 0 а5 аз 414 — — аы включая сам определитель сг„, называют определителями Гурвича.
Критерий Гурвица (Нцг5я112, 1895). Юля того чтобы система была устойчива,. необходимо и достаточно, чтобы определители Гурвица, составленные иэ коэффициентов ее харакзперистического уравнения, при ао > 0 были больше 'нуля: ао > О, 454 > О, 412 > О, ..., 41„ > О. 3.2.3. Критерий Льенара — Шипара. Как отмечалось выше, при исследовании устойчивости с помощью алгебраических критериев нужно прежде всего проверить необходимое условие устойчи- 3.2.2. Критерий Гурвица.
Из коэффициентов характеристического полинома сг1Л) = аоЛо + азЛ' ~ + ... + а„ 94 Гл. У. Устой ~поесть систем управления вости. Если необходимое условие устойчивости выполняется, то оказывается, что для определения устойчивости, нет необходимости вычислять все опрсдолители Гурвица. Критерий Л ь е н а р а Ш и п а р а (1лепагд, С1прагс1, 1914) .
При выполнении необходимого условия устойчивости (ао > О, аг > О, ... ..., а„> 0) для устойчивосгии системы управления необходимо и достаточно, чгаобы все ее определиглели Гурвича с четными индексамп нлн все ее. определптелн Гурвича с нечепинымп индексами были положительными: Ьг>ОЬл>ОЬ4>0 (3.11а) или газ>0, Ьз>0, Ьз>0, (3.11б) Лля уменьшения вычислений целесообразно при нечетном и использовать условие (3.1!а), а при четном п — условие (3.11б). Здесь приведена несколько упрошенная формулировка критерия Льенара — Шипара. При выполнении одного из условий (3.11а) или (3.11б) не все неравенства в необходимом условии устойчивости оказываются независимыми. Поэтому часть неравенств можно опустить.
Но так как проверка необходимого условия устойчивости не связана с вычислением, на этом мы останавливаться не будем. Выпишем необходимые и достаточные условия устойчивости для и = 1, 2, 3. Из критерия Льенара и Шипара получаем: п=1: ао>0, аг >О; п=2: ао>0, аг>0, аг>0; и = 3: ао > О, аг > О, аг > О, аз > О, Ьг = агаг — аоаз > О. Отсюда следует, что при и = 1 и и = 2 необходимое условие устойчивости является и достаточным.
Однако уже при и = 3 для устойчивости, кроме выполнения необходимого условия устойчивости, нужно, чтобы была положительной разность между произведениями средних и крайних коэффициентов. П р и м е р 3.1. Передаточная функция разомкнутой системы к и'(р) = к = 0,5: 2. Исследовать устойчивость рарз+ 0,5рг -~-4р+ 1' замкнутой и замкнутой систем. Р е ш е н и е. Характеристический полипом разомкнутой системы Лз+0,5Лг+4Л+1. Все коэффициенты больше нуля и определитель г3г — — 0,5.4 — 1 1 = 1 > О.
Поэтому разомкнутая система устойчива. Характеристический полинам замкнутой системы 4„1(Л) = Л 4-0,5Л +4Л+1-Ьй. Все коэффициенты этого полинома при обоих значениях й положи- тельны, а определитель Ьг при к = 0,5 равен 0,5 . 4 — 1 1,5 = 0.,5 > О, дб З.М. Алгебраи гггкиг критерии устойчивости априй=2 газ = О 5 . 4 — 1 . 3 = — 1 < О. Следовательно, замкнутая система при й = 0,5 устойчива, а при й = 2 неустойчива. П р и м е р 3.2.
Передаточная функция разомкнутой системы к И'(р) = к = 0,5; 2. Исследовать устойчивость разомкФ+ р+1)р путай и замкнутой систем. Р е ш е н и с. Характеристический полинам разомкнутой системы Лз+ Лз+ Л. Его коэффициенты ао = 1, ао = 1, аз = 1 и аз = О. Необходимое условие устойчивости не выполняется, и поэтому разомкнутая система неустойчива. Характеристический полинам замкнутой системы О(Л)=Л +Л +Л+Й.
Все коэффициенты при обоих значениях к положительны, определитель газ при к = 0,5 равен гааз=1 1 — 1.15=05>0 априк=2 Ьз=1 1 — 1 2= — 1<0. Следовательно, замкнутая система при к = 0,5 устойчива, а при к = 2 неустойчива. Из рассмотренных примеров следует, что разомкнутая система может быть устойчивой, а замкнутая система неустойчивой, и наоборот. Кроме того, устойчивость замкнутых систем зависит от передаточного коэффициента разомкнутой системы. Пример 3.3. Исследовать устойчивость системы, у которой характеристический полинам имеет вид 1~(Л) 05Л4+3Лз+2Лз+2Л+1 Решение.
В данном случае п = 4 четное число. Поэтому целесообразно воспользоваться условием (3.11б). Необходимое условие устойчивости выполняется: все коэффициенты ао = 0,5, а1 — — 3, ая = = 2, аз — — 2, аг = 1 положительны. В соответствии с условием (3.11б) достаточно вычислить определитель, ~з; а1 аз 0 ~1з = ао аг аз 0 аз аз 3 2 0 0,5 2 1 0 3 2 = 1 > О. Система устойчива. 3.2.4. Критерий Рауса. Пля формулировки этого критерия составляется так называемая таблица Рауса.
По числу перемен знаков элсментов первого столбца этой таблицы определяется количество левых и правых корней рассматриваемого полинома. 96 Гл.,у. устойчивость систем управления Таблица Рауса составляется следующим образом. В первой строке выписываются коэффициенты характеристического полинома с четными индексами, а во второй строке коэффициенты с нечетными Таблица 3.1. Таблица Рауса (гг = сн гл/сь .гл) индексами в порядке их возрастания (табл. 3.1). Элементы последующих строк вычисляются по формуле сн — г,г см = ся гыг — сясь гььы ге = ' ', а = 3,4,...; 1= 1,2,...
сь — ьг Здесь гя равен отношению элементов предыдущих двух (т. е. (Й вЂ” 2)-й и (а — Ц-й) строк первого столбца. Элемент сы равен разности элементов предыдущих двух (т. е. (1е — 2)-й и (а — 1)-й) строк следующего, (1+ Ц-го столбца. При этом последний элемент (т. е, вычитаемое) умножается на гю Критерий Р ау с а (Вон11ь 1877) . 2(ля того ч тобы сиоп ем а была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца гааблицы Рауса при ае > О были положительны: сы >О, Й=1,2,...,п+1. Таблица Рауса содержит и+ 1 строку.
Число столбцов по мере роста номера строки убывает. Элементы второго и последующих столбцов следует вычислять по мере надобности при вычислении элементов первого столбца. При этом вычисление можно прекратить, как только какой-либо элемент первого столбца принимает нулевое или отрицательное значение. Пример 3.4. Исследовать устойчивость системы управления с характеристическим полиномом Я(Л) =Л" +2Л +ЗЛ +4Л +5Л+6. Р е пг е н и е. Необходимое условие устойчивости выполняется.
Пля определения устойчивости воспользуемся критерием Рауса. Вычислим элементы таблицы Рауса: с~г = оо = 1, сгг = аг = 3., сгз = ал = 5, сгг = аг = 2, сгг = аз = 4: сгз = аз = 6, со, 1 сп 1 сзг = сгг — — сгг = 3 — — 4 = 1, сзг = сгз — — сгз = 5 — — 6 = 2, см 2 ' сгг 2 сог 2 син = сгг — — сзг = 4 — — 2 = О. сзг 1 97 У.у. Частотные критерии устойчивости Так как элемент первого столбца со = О, система неустойчива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
