Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(3.20) Условие граничной устойчивости Михайлова. Система находится на границе устойчивости (колебательной), если ее кривая Михайлова при ав > О, начинаясь с положительной вещоственной полуоси, проходит чорез начало координат и при малой ее деформации в окрестности начала координат удовлетворяет критерию устойчивости Михайлова.
Так как, когда система находится на границе устойчивости., годограф ее характеристического вектора ®(~ьо) проходит через начало координат,то сгОьо) = и(ы) + уп(ьо) = О, или и(ьо) = О, и(ьо) = О. (3.2Ц Это условие является только необходимым условием граничной устойчивости. Условие граничной устойчивости Найквиста. Замкнутая система находится на границе устойчивости, если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку ( — 1, зО) и при малой ее деформации выполняется критерий устойчивости Пайквиста. 113 З.б. Робаотнан устойчивость Граничный коэффициент легко определяется с помощью условия граничной устойчивости Найквиста, если построен годограф харак- 1о Рис.
3.11. Годограф И" Оы) = — И""Цоо) (о = О) О ) теристического вектора (т. е. АФЧХ) разомкнутой системы при некотором значении Й = й'. Пусть АФЧХ пересекает отрицательную вещественную полуось при частоте оо = оо„в точке А (рис. 3.11). Тогда а' И Цы.) = " Иооы.) =-~ОА~.
(3.22) (у -) Из условия граничной устойчивости Найквиста имеем О.,) И,о~ Разделив это равенство на (3.22), получим й„= й',1~0А~. 3.5. Робастная устойчивость Параметры стационарных систем с течением времени в силу старения или других причин могут меняться.
Кроме того, при разработке регуляторов параметры объекта могут быть точно не известны. В подобных случаях возникает необходимость построения систем управления таким образом, чтобы она была устойчива не при одних фиксированных значениях параметров. а при всех возможных их значениях. В последнем случае говорят, что система робастно устойчива. Более строго робастная устойчивость определяется следующим образом. Рассмотрим характеристический полипом Я(Л) = аоЛо + азЛ" ' +... + а„.
(3. 23) Полинам называется устойчивым полинам или полинам Гурвича, если все его нули являются левыми. Введем в рассмотрение (и+ 1)-вектор а = (ао, аь ..,, а„), Пусть в (и+ 1)-мерном пространстве коэффициентов задано множество А (А С 11о ' ~). Полинам (3.23) называется робастно устойчивым или робастно устойчиввам в А, если он является устойчивым при любых значениях коэффициентов а, (1' = О, 1,..., и) из множества А (а Е А). 8 Л.П. Ким 114 1'л. У. Усто77ииеости систем упраеления Система называется робаселно устойчивой или робисшно устойчивой на множестве А, если ее характеристический полипом является робастно устойчивым полиномом в А. 3.5.1.
Полнномы Харитонова. Пусть множество А является (гивер)параллелепипедом; А = (а: а7 ( а7 ( а7, 7 = 0,1,,и) . (3.24) Здесь ое и а; - минимальное и максимальное значения коэффициента ос (7 = О, 1,..., и). Подставим в характеристический полипом Л = уы и выделим вещественную и мнимую части: Я(~и7) = аэ(уы) и + аз (7'7с) и ' +... + ап = и(ы) + 7'и(и7), 77(( 7) = Оп Оп-27 7 + Оп — 477 Оп — Еи7 + .
(3.25а) и(и7) = о, 7и7 — а„ зи7~ + а„ зссз — а„ 7и7~ + ... (3.256) При фиксированном ы,когда вектор а пробегает все значения из множества (3.24), характеристический вектор описывает прямоуголь- Рис. 3.12. К определени7о полиномов Харитонова ник (рис. 3.12).
Очевидно, на вершинах прямоугольника и(ы) и и(и7) как функции от а принимают минимальные или максимальные значения. Обозначим минимумы и(и7) и 77(и7) через и(и7) и и(и7), максимумы через й(и7) и и(ы) соответственно: и = и(ы) = шши(и7), й = и(ы) = шши(ы), 77, = 77(ы) = шахи(ы), и = й(ы) = шах 77(7 7).
пей пей Функции и(ы) и и(и7) примут минимальные значения, когда в (3.25) слагаемые с положительным знаком принимают минимальные значения, а слагаемые с отрицательным знаком -- максимальные значения. И наоборот, и(и7) и и(ы) примут максимальные значения, когда слагаемые с положительным знаком принимают максимальные значения, а слагаемые с отрицательным знаком минимальные значения.
Поэтому из (3.25) имеем и(Ы) = Оп - а„,~з -Ь 6„,~4 — й„,~с + (3.26а) и(и7) = ап,и7 — ап ЗЫЗ+ оп ЗЫЗ вЂ” а77 7И7~+.... (3.266) 115 д.б. Робаетнан уетпойчи»осте й(вт) = й» вЂ” я» гвт + й» вЂ л Й» — 51о + (3.26в) й(от) = а„151 — а„зотз + й» 5515 — а„тогт +... (3.26г) Как следует из рис. 3.12, вершинам прямоугольника 1, 2, 3 и 4 соответствуют характеристические векторы 421052) = й(вт) 4- ую(от), Щ(у ~) = й(от) + уйОо), 4,)з(11о) = и(4о) + уй1(4о), 4.,)4(~от) = и(1о) + 111(то). подставив в формулу для 4,41051) выражения для йг(от) из (3.26в) и для о(4о) из (3.266), получим 441 Оо ) — 512 я» 24о + й» вЂ” 45 +.1(Я~ — 152 ໠— з'о +и» вЂ” зы ..) = а»+Я» — 1О'1) + Я» — 21гот) 4 ໠— зтгот) 4 ໠— 41252) 4 Я»»1252) Отсюда, положив уш = Л, получим характеристический полинам Щ(Л).
Аналогично можно получить характеристические поли- номы, соответствующие остальным вершинам прямоугольника. Выпишем коэффициенты при Л в порядке возрастания степени Л всох четырех полиномов; 441тЛ) 11» я» — 1 я» — 2~6» — 3 й» вЂ” 4 тегтЛ): а„, а„.
1:Я вЂ” г Я» — з 11 -4 ЮзтЛ)' Я» 11» — 1;й» вЂ” 2 Я»--з Я»-.4 (3.27а) (3. 27б) (3.27в) (3.27г) ~ †» — 5 а ,а„ .,໠— 5,..., 524 (Л): ао, а»,, а„— г, а„— З, а„л, а„з, . Полиномы 1»21(Л), (,)2(Л)Оз(Л) и 424(Л) называются полиномами Харитонова. Теорема Харитонова (1978). 27ля того ч1»обы система с характеристическим полиномом Я(Л) = ао Л" + а, Л +... + а„была робастно устойчива в параллелепипеде А =1а: а, <а, < а„1=0,1,...,п), необходимо и достатпочно, чтобы все полиномы Харитонова были устойчивыми.
Показательство. Необходимость. Так как по определению робастной устойчивости характеристический полинам должен 3.5.2. Теорема Харитонова. Необходимое условие робастпной устпойчивостпи. Так как при робастной устойчивости в параллелепипеде (3.24) должны быть устойчивыми характеристические полиномы при всех значениях коэффициентов из этого параллелепипеда, необходимо, чтобы был устойчивым характеристический полинам при аг = ат (1 = О, 1,..., и), Поэтому для робастной устойчивости в параллелепипеде (3.24) необходимо, чтобы при ае > 0 выполнялось условие ав>0,.
ат>0, ..., а„>О. (3. 28) 116 Гл. В. Устойчивость систем управления быть устойчивым при всех значениях а Е А, то должны быть устойчивыми и полиномы Харитонова как характеристические полиномы, соответствующие четырем различным значениям а из множества А. Ностаточность. По критерию Михайлова для робастной устойчивости при ав > 0 достаточно, чтобы годограф характеристического вектора при всевозможных а е А, начавшись на положительной вещественной полуоси, последовательно охватывал и квадрантов. Иначе говоря, прямоугольник на рис. 3.12 должен последовательно охватывать и квадрантов. Вещественная и мнимая части характеристического вектора Я'Оаг) = и'(о~) + ус'(аг), соответствующего произвольному а' е А, удовлетворяет неравенствам и(~~) < и (~з) < й(а>), й(о~) < о (ю) < о(ю).
Поэтому если вершины прямоугольника последовательно охватывают и квадрантов, то и все точки прямоугольника будут тк.ледовательно охватывать п кввдрантов. Теорема доказана. Случай п, = 1,2,3,4,5. Как известно, для полиномов первого и второго порядков положительность его коэффициентов является достаточным условием устойчивости. Поэтому в случае и = 1, 2, очевидно, для робастной устойчивости в параллелепипеде необходимо и достаточно, чтобы выполнялось необходимое условие робастной устойчивости (3.28).
Следствие. Для того чтобы система с характеристическим полиномом Я(Л) = аеЛ" + азЛ" з +... + а„была робатпно усгпойчива в параллелепипеде при выполнении необходимого условия робастной устойчивости (З.йб), необходимо и достаточно., чтобы были устойчивыми: а) в случае и = 3 полинам Харитонова Щ (Л); б) в случае п = 4 полиномы Харитонова Ц~(Л) и Яз(Л); в) в случае. и = 5 полиномы Харитонова Яз(Л), Яз(Л) и (~1з(Л). Показательство. Необходимость очевидна. Поэтому докажем достаточность. Вершины прямоугольника 1, 2, 3, 4 в 1-м квадранте преобразуется при переходе во 2-й квадрант в 1', 2', 3', 4', при переходе Рис.
3.13. К выводу следствия в 3-й квадрант в 1", 2", 3", 4о и при переходе в 4-й квадрант в 1о', 2о', Зо', 4о' соответственно (рис. 3.13). ох 5. Робаотнон уотоиниооото 117 а) Если при увеличении ы вершина 1 прямоугольника переходит во 2-й квадрант, то и все остальные вершины также перейдут во 2-й квадрант.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
