Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Определить передаточные функции следующих систем: а) 1 Игг = —, И з = Р, Р хг =2и, хг = 2и, ха+ха =4хз, у+и = 5хз, хе =0,29. 9. ОпРеделить пеРедаточные фУнкции Иг„ю ИгдУ, И;д и И'дУ: 86 Гл. 2. Математическое описание систем управление 10. Построить асимптотические ЛАЧХ: 100(в Ч- Ц (0,1 вв -Ь в)(0,0001 вв -'е 0,01 в -Ь 1) ' 10(0,01 в Ч- 0.,1 в + 1) (5в -Ь 1Ц0,25 аз Ч-0,5 во В- в) ' 5(0,1 в + 1в + 10) (в+ 5)(0,25 ее + 0,5 ва + в) 11. Записать дифференциальное уравнение, связывающее выходную переменную у с внешними воздействиями д и 1 для системы И"з = 0,1р+0,2-, Исз =, И"з = 0,4, И'4 = 0,5. 1 5 р' р10,5р+1)' 12.
Лля системы, представленной в предыдущем пункте, записать дифференциальнос уравнение, связывающее ошибку е с внешними воздействиями д и ) . 13. По асимптотическим ЛАЧХ звеньев записать их передаточные функции, не имеющие нулей и полюсов в правой полуплоскости: 87 Задачи в) г) 14. Нарисуйте граф системы управления по ее структурной схеме (см.
задачУ 9, г) и опРеделите пеРЕдаточные фУнкции Иг„а, И'иУ, И;, И',у по формуле Мейсона. Глава 3 УСТОЙс1ИВОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Устойчивость является одним из основных требований к системам автоматического управления (САУ). Поэтому важно уметь определять (исследовать) и соответствующим выбором структуры и параметров системы управления обеспечивать ее устойчивость.
В данной главе будут рассмотрены определение устойчивости, условия и различные критерии устойчивости. 3.1 Определение и условия устойчивости Если на систему управления действукзт два внешних воздействия - — задающее воздействие д и возму1цение», -- то в общем случае она описывается уравнением (ПО (о-Ц 1т1 ~т — 11 аоу -Ьаз у +...+а у=Ьод +Ь1 д + . -ЬЬ д+ <1> Π— О +со»+сг» +...+с1», (3.1а) или, в символической форме, (аор" +а1р" '+...+а )у=(Ьор"'+Ь1р '+...+Ьт)д+ + (сор' + сгр' +... + с1)», (3.16) Учитывая, что д и» - некоторые функции времени., выполнив необходимые операции в правой части, получим (аор" + агр" 1 +...
+ а„р)у = д1о(1) + д1у(1), (3.2а) где ~р (1) и ~ру(1) -. функции, получаемые соответственно из первого и второго слагаемого в правой части уравнения (3.16). Из уравнения (3.16) при д = О и» = О получаем однородное дифференциальное уравнение (аор" + а1р' ' + ... + а„)у = О. (3.26) 3.1.1. Определение устойчивости. Назначением систем управления является поддержание некоторого заданного режима, называемого невозмунгенным движением. Если на систему действует возму- 89 У. б Определение и условия устойчивости шение, то фактическое движение (которое называется возмущенным движением) будот отличаться от невозмущенного движения. Невозмущснное движение называется исимптотически устойчивым, если после окончания действия возмущения возмущенное движение д(Г) с течением времени стремится к невозмущенному движению у„ф: у(1) э у„(1) при 1 -э оо.
Линейная система управления называется устойчивой или оеимптотически устойчивой, если любое ее невозмущенное движение, определяемое задающим воздействием, асимптотически устойчиво. Общее решение уравнения (3.2а) имеет вид (3.3) у(с) = у,(~) -~- у, П), где у, ф --- частное решение уравнения (3.2а), д, (й) — — общее решение однородного уравнения (3.26). Частное решение у,(~) можно представить (в силу принципа суперпозиции) в виде у.Ф = у (г)+дуй). где уе(С) -- частное решение уравнения (3.2а) при ~оуф = О, ду(С)-- частное решение этого уравнения при еев(С) = О. Общее решение у,(~) однородного уравнения описывает свободное движение системы управления (т.е.
движение при отсутствии внешних воздействий), определяемое только начальными условиями. Частное решение у,(1) описывает вынужденное движение, определяемое внешними воздействиями. В частности, при отсутствии возмущающего воздействия (~ = О) частное решение у,(1) = у ф описывает невозмущенное движение; у,ф = у„ф. Таким образом, если после начального момента 1о возмущение перестает действовать, решение (3.3) можно записать в виде д(С) = д„(К)+ус(С) (К > ~„). Возмущение, которое действует до начального момента ~о, влияет на начальные условия, от которых зависит только свободное движение.
Поэтому для того чтобы возмущенное движение было асимптотически устойчиво (т. е. для у(1) э у„(1) при 1 -э оо), необходимо и достаточно, чтобы (3.4) Ипе уе(~) = О. Это соотношение можно принять за математическое определение устойчивости (асимптотической устойчивости) линейных стационарных систем управления. 3.1.2. Основное условие устойчивости. Характеристическое уравнение системы управления, которая описывается уравнением (3. 1), совпадает с характеристическим уравнением дифференциальных уравнений (3.2) и имеет вид езЛ) = ооЛ" -ь азЛ" 1+... + а„= О.
(3.5) ОО Рл. У. Устойчивость систем управления у,(1) = ~~ Р,(с)е ', ~=1 (3.6) янные интегрирования. В частном случае, когда все корни простые, о у,(с) = ~~ С;,е~*~. По правилу Лопиталя можно показать, что Р;(1)ец' — з О при 1 — ~ сю тогда и только тогда, когда действительная часть корня Л, отрицательна: Ке Л, < О. Поэтому правая часть в (3.6) будет стремиться к нулю при 1 — > сю, т.
е. будет выполнено (необходимое и достаточное) условие устойчивости (3.4), если ПеЛ; <О, 1=1,2,...,д. (3.7) Это условие является основным условием устойчивости. Оно непосредственно вытекает из математического определения устойчивости. Основное условие устойчивости. Для того чтобы система управления бьыа устойчива, необходимо и дос~паточно, тобы все корни ее характеристического уравнения имели отриаательную вещественную часть. На комплексной плоскости корни, имеющие отрицательную вещественную часть, располагаются в левой полуплоскости и поэтому называются левыми; корни, имеющие положительную вещественную часть, располагаются в правой полуплоскости и называются правылга; а корни, расположенные на мнимой оси, называются нсйтральнымн.
Таким образом, основное условие устойчивости можно также сформулировать следующим образом: для того чтобы система была устойчива, необходимо и дос1ппточно, чтобы все корни характеристического уравнения (нули характеристи сеского полинома) былн левыми. Согласно основному условию устойчивости определение устойчивости сводится к исследованию корней характеристического уравнения. Однако для этого нет необходимости вычислять эти корни.
Существуют различные критерии устойчивости, которые позволяют судить о том, находятся ли корни полинома в левой полуплоскости, не вычисляя их. Левая часть этого уравнения Я(Л) = аоЛь + аЛ" ~ +... + он) называется характеристическим полиномом. Характеристический полинам получается из собственного оператора системы сг(р) = аоро + азро + ... + а„ при подстановке р = Л: Я(Л) = Ц(р)~ ю Коли Л, (1 = 1, 2, ..., .у) —. корни характеристического уравнения кратности Лз (йз + йз +... + Йч — — и), то общее решение однородного уравнения у, имеет вид 91 У.
б Определение и условии устой тоости 3.1.3. Необходимое условие устойчивости. Дли того чтобы система бота успсойчива, необходимо, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнении были строго одного знака: (3.8а) ао>0, а1>0, ..., а„>0 или во<0, аз<0, ..., а„<0. (3.86) Если условие (3.8а) или (3.8б) не выполняется, то система неустойчива: если оно выполняется, система может быть устойчивой. Так как коэффициент ав (пв ~ 0) всегда можно сделать положительным, дальше, если не оговаривается противное, в качестве необходимого условия устойчивости будем рассматривать условие (3.8а) и критерий устойчивости будем формулировать для случая ао > О.
Покажем справедливость необходимого условия устойчивости. Для этого представим характеристический полинам в виде разложения Я(Л) = ав(Л вЂ” Л1)(Л вЂ” Лг)... (Л вЂ” Ло), (3.9) где Л, (с = 1, 2,..., н) . - корни характеристического уравнения (нули характеристического полинома) . Действительному отрицательному корню Ль = -оь (ось > 0) в разложении (3.9) соответствует множитель Л вЂ” Ль = Л + оь. Паре комплексно-сопряженных корней с отрицательной вещественной частью л~ = — си+ уД и льм = — сц — уЯ (об ~3~ > 0) соответствует множитель (Л вЂ” Л)(Л вЂ” Льы) =(Л+еа — 11й)(Л+ „+ ))) =1Л+о,)г+)дг, представляющий собой полипом второй степени с положительными коэффициентами. Следовательно, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то характеристический полинам может быть представлен как произведение полиномов первой и второй степени с положительными коэффициентами, и соответственно все его коэффициенты при ао > 0 будут положительными и при ао < 0 отрицательными.
3.1.4. Теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Как отмечалось в гл. 2, практически все системы управления являются нелинейными, .а линейные системы управления следует рассматривать как приближенные, линеаризованные модели нелинейных систем. Линеаризация производится относительно заданного номинального режима у (с), называемого в теории устойчивости невозмущенным движением. Певозмущенное движение у~1с) нелинейной системы называется асимптогаически устойчивым, если существует некоторая окрестность вокруг невозмущенного движения такая, что любое возмущенное движение у(с), начинающееся в момент 1в окончания действия возмущения в этой окрестности, в дальнейшем не выходит из этой окрестности и у1с) -о у~(с) при 1 -о оо. 92 г'л.
3. Устойчивость систем управления Возникает вопрос: можно ли судить об асимптотической устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы на основании исследования устойчивости ее линеаризованной модели? Впервые этот вопрос был поставлен и решен А.М. Ляпуновым в 1892 г. в его диссертационной работе. Теоремы Ляпунова. 1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной модели являются левыми, то невозмущенное движение соопветствуюигей нелинейной систпемы асггмтгтотически устной тво. 2.
Если среди корней характеристического уравнения линеоризованной модели имеется правый корень., то невозмущенное движение соответствующей нелинейной системьг неусгпойчаво. 3. Случай, когда среди корней характеристического уравнения линеаризованной модели имеютпся нейтральные корни (корни на мнимой оси), но нет правых корней, называют критическим. В критическом случае тго лггнеаризованной модели нельзя судитоь об устпойчивоспш невозмущенного движения нелинейной систпемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
