Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Затем, выделяя вещественную часть, находят интервал устойчивости. 107 у4. Определение области устойчио ости Пусть варьируемый параметр р входит линейно в характеристическое уравнение Ц(Л) = Я(Л) + р1е(Л) = 0 (Я(Л), Л(Л) — полиномы от Л). Пля получения уравнения кривой Р-разбиения сделаем подстановку Л = уы и разрешим его относительно параметра р, обозначив его, когда он принимает комплексное значение, через 7с (р = р+ 77е'): р = = и(аг) + уи(ог), 17 (уо) или р = и(аг), р = и(со). (3.17) Здесь и(со) является четной, а о(ог) нечетной функцией от ю.
Поэтому для построения кривой Р-разбиения, которая строится при изменении ы от — со до со, достаточно построить кривую Р-разбиения при изменении ы от 0 до оо, а затем для получения кривой, соответствующей отрицательным ы, зеркально отобразить ее относительно Вещественной оси. Пля выделения области-претендента кривую Р-разбисния штрихукот слева при движении по ней в сторону возрастания аг (рис. 3.7).
ур Рис. 3.7. Выделение области устойчивости на плоскости одного параметра При пересечении кривой со стороны штриховки один левый корень становится правым, а при пересечении с обратной стороны один правый корень становится левым. Поэтому если, например, область 1 (см. рис, 3.7) принять за область Р(т), то область 2 будет областью Р(т+ 1) и область 3 — областьнг Р(г — 1). Следовательно, областью-претендентом будет область 2. Пример 3.8. Определить область устойчивости для системы с характеристическим уравнением Л'+ дЛ' + Л + 1 = О.
Решение. Сделав подстановку Л = уш и разрешив уравнение относительно комплексного параметра д = 1г + уд', получим г ~ +1~ Произведем расчеты при характерных значениях ы (табл. 3.3). На основе этих данных построим Р-кривую, нанесем на нее штриховку и произведем индексацию областей (рис. 3.8). Областью-претендентом является область Р(т + 2).
108 Тл. У. Уото11 1иоость систем уировлония Таблица 3.3. Расчетные данные (к примеру 3.8) Как легко проворить, система при р = 2 и р' = 0 (точка внутри этой области) устойчива. Следовательно, область В(г + 2) являот- Рнс. 3.8. Определение области устойчивости (к примеру 3.8) ся областью устойчивости на комплексной плоскости, и множеством значений параметра, при котором система устойчива, является полу- интервал р > 1. Выделение области устойчивости на плоскости двуи паралгетров.
Пусть характеристическое уравнение имеет вид рВ(Л) + 21Л(Л) + Т(Л) = О, где Я(Л), й(Л), Т(Л) полиномы от Л; р, и вещественные пара- метры. Подставив Л = ум и обозначив через Я1 (иг), Я1 (ог) и Т1 (ог) ве- щественные части, а через Яг(ог), Вг(иг) и Тг(иг) мнимые части о(~иг), 11(~ог) и Т(уы) соответственно, получим р [Я1 (ог) + у Яг (ог) [ + и [В1 (оо) + у Вг (ог)] + Т, (ог) + уТ2 ( 4) = О.
Приравняем отдельно вещественную и мнимую части нулю: 11Я(ю) + пЯ1 (иг) + Т,(ог) = О, Ног(ог) + ЧЕг(ог) + Тг(ог) = О. Решив эту систему, получим ~Х1 р= г.'1 ' (3.18) где В1( ) В ( 4 = о!(оо)В2(1о) — 1~1(оо)ог(и') 2 (~ 1) л ог (иг) У4. Определение области устойчиеости 199 -Тг (сс) Лг (аг) ь,= = — ТДс)пг(аг)+ Тг(аг)пг(а/), Тг(~ 1) лег(~ ~) Яг(а/) Тс(иг) = — Я(са)Тг1аг) + Яг(аг)Тс(а~). Яг(~ ~) — Тг(~ ~) Так как Яс(аг), Лг(сс) и Т,(а~) являются четными функциями, а Яг(ы).
1сг(ог) и Тг(аг) нечетными функциями, то сл, сл| и слг как разности произведений четной функции и почетной функции являются нечетными функциями. Функции (3.18) как отношения нечетных функций будут четными функциями. Поэтому кривую Р-разбиения, построенную с помощью этих функций, будем обходить дважды: при изменении ы от — оо до О в одном направлении и при изменении ю от О до оо в обратном направлении. При построении кривой Р-разбиения возможны следующие три случая: 1) сз ~ О. В этом случае уравнения (3.18) определяют по одному значению д и ц для каждого значения ю, и, изменяя ю, по точкам можно построить кривую Р-разбиения; 2) Ь = О, Ь| ф О, Ьг ф О.
Частоте, удовлетворяющей этому условию, не соответствуют никакие значения параметров, и такую частоту можно не рассматривать; 3) сл = саг = саг = О. При частоте, удовлетворяющей этому условию, одно из уравнений (3.18) является следствием другого, и эти уравнения определяют прямую, которая называется особой. Если коэффициент при старшей степени и свободный член характеристического уравнения зависят от параметров, то, приравняв их нулю, получим особыс прямые, отвечающие ы = со и ы = О соответственно. Штриховка на кривую Р-разбиения наносится следующим образом.
При движении в сторону возрастания ы штриховка наносится слева при Ь > О и справа при са < О. И так как кривую Р-разбиения проходим дважды при изменении и от — со до оо (в одном направлении при отрицательных и в обратном направлении при положительных ы) и знак функции Ь в силу ее нечеткости при изменении направления движения меняется, на нее наносится двойная штриховка. На особые прямые, соответствующие ы = хоо и ы = О., наносится одинарная штриховка.
На особые прямые, соответствующие ненулевой конечной частоте аг„(О < ии < оо), такой, что знак сл при переходе через эту частоту меняется, наносится двойная |птриховка. П1триховки на особые прямые наносятся так, чтобы вблизи точки сопряжения особой прямой и кривой (там, где гз меняет знак) заштрихованные и незаштрихованные стороны были направлены друг к другу (рис. 3.9, а.
в). Особые прямые, соответствующие конечной частоте, при переходе которой определитель Ь не меняет знака, не штрихуются (рис. 3.9, г). Такие особые прямые можно исключить из рассмотрения. ПО 1'л. 3. Устойчивости систем управления Рнс. 3.9. Штриховка особых прямых: а ш = 0: б ш = хоо; в ш=ш; г ш=ш„ При переходе через границу с двумя штриховками два левых корня становятся правыми, если переход осуществляется против штриховки, и два правых корня становятся левыми, если переход осуществляется в сторону штриховки.
Пример 3.9. Характеристическое уравнение имеет вид Лл + Лз + Лз + РЛ + О = О. Определить область устойчивости на плоскости параметров. Решение. При подстановке Л = уш уравнение принимает вид ш~л у~)з — шз + щш, О О Приравняв нулю вещественную и мнимую части, получим О р+ О+соя — шз = О, ш.р+О и — шз =О.
Отсюда О 1 — ш+ш — — — з — — —,3 з О = — ш О и'+ш з з со 2 З ш' Умб Определение области устонииоости — г1 = — = а~ (1 — ао ). (3.19) Исключив из системы уравнений (3.19) ы~, получим уравнение Р-кривой, которое можно представить в виде О=д(1 — д) = — — )и — -) 4 ~, 2) Это уравнение параболы. Она пересекает ось абсцисс при р = рз = 0 и р = 1сз = 1 и достигает максимума 0 = 1,14 при 1с = 1/2. Из (3.19) следует, что 1с принимает только неотрицательные значения. Поэтому кривая Р-разбиения имеет вид, показанный на рис.
3.10. 1/4 Рис. 3.10. Выделение области устойчивости (к примеру 3.9) При положительных оо определитель са ( О. Поэтому при оо > 0 и движении в сторону возрастания со штрихуется правая сторона. Все определители одновременно обращаются в нуль только при ы = О. При этом значении из уравнения (3.19) имеем д = 0 и 9 = О. Но уравнением особой прямой является 9 = О, которое получается приравниванисм нулю свободного члена характеристического уравнения. Из рис. 3.10 следует, что областью-претендентом является область Р(г + 2). Пля проверки, является ли эта область областью устойчивости, исследуем устойчивость рассматриваемой системы в точка с координатами д = 0,5 и 9 = 0,1.
В этой точке характеристическое уравнение принимает вид Лл + Лз + Лз + 0,5Л + 0,1 = О. Необходимое условие устойчивости выполняется. Кроме того, 1 0,5 0 1 1 01 =015>0. 1 1 0,5 Поэтому сюгласно критерию Льенара — Шипара система в указанной точке устойчива. Следовательно, область-претендент, определяемый системой неравенств 9 > О 9+ ~р - -~~ — - < О 2) 4 является областью устойчивости. 112 Гв.
Э. Уссвойчввосьчь систем упрввлснвн 3.4.2. Граничный коэффициент и условие граничной устойчивости. Говорят, что система находится на границе устойчивости или имеет место граничная или маргинальная ушпойчпвость, если среди корней характеристического уравнения имеются нейтральные (т. е. расположенные на мнимой оси) корни и нет правых корней. Если все нейтральные корни являются нулевыми (т.
е. расположены в начале координат), то говорят, что система находится на границе впсриодичсской устойчивости, если корни являются мнимыми система находится на границе колебательной устойчивости. Граничный коэффициент. Представим пефедато шую функцию разомкнутой систем в виде И (р) = — "„И" (р), И" (О) =1. р" Если при малых значениях передаточного коэффициента й замкнутая система устойчива, а с его ростом она становится неустойчивой, то значение Й = Й„, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости, называется граничным или предельным (передаточным) коэффициентом.
Условия граничной устойчивости. Граничный коэффициент можно определить с помощью условий граничной устойчивости, которые мы здесь рассмотрим вкратце. Более подробно эти условия будут рассмотрены в гл. 5, где они используются при решении задач синтеза. Алгебраическое условие граничной колебательной устойчивости. Система управления находится на границе колебательной устойчивости (два корня характеристического уравнения мнимые, а остальные левые), если при ав > 0 предпоследний определитель Гурвица равен нулю, а все определители Гурвица более низкого порядка и свободный член положительны: ~ь — ь = 0> сьв — з > О, ..., сз| > О,. ав > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
