Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В данном примере п = 5, и если бы система была устойчива, пришлось бы продолжить вычисление до определения свы 3.3. Частотные критерии устойчивости Частотными критериялт устойчивости называются условия устойчивости, основанные на построении частотных характеристик и так называемой кривой Михайлова. Выражение ()(Ута) = ПВЦЫ)" +а7ОСО)" '+...
+ ап, которое получается при подстановке Л = уоз в характеристический полинам, называется характеристическим вектором; переменная ы называется чистотой. Частотные критерии получаются из принципа аргумента. Поэтому сначала рассмотрим этот принцип. 3.3.1. Принцип аргумента. Если 1 нулей полинома Я(Л) = = ав(Л)" + а,(Л)" ~ +... + а„расположены в правой полуплоскости, а остальные п — 1 нулей в левой полуплоскости, то при изменении часгпогпы ы от 0 до оо аргуменгп векгпорп (ГОо7) вменяется на (и — 21)к/2: Ь агк ЯЦю) = (и — 21) —.
2 (3.12) Здесь Ьагя Я(уо7) приращение аргумента сГО ~) при изменении частоты ы от 0 до со. Показательство. Если разложить полинам Я(Л) на элементарные множители и сделать сюстановку Л = ущ, то получим Я(ущ) = авЦоl — Л~)(усе — Лг) .. Цщ — Лк), где Л, (е = 1,2,...,и) нули полинома Я(Л). Из этого соотношения получим агя Ц(уо7) = 2 ага Оо7 — Л;) и соответственно ~=7 сз агя Цоы) = ~~~ сзуз,.
е=г Здесь слзь, -. прирашение аргумента множителя уоз — Л, при изменении частоты ы от 0 до сю. Найдем сЛуз; отдельно для случаев, когда Л, является веШественным числом и когда Л, комплексное число. а) Л, = оо о, вешественное число. В этом случае ф,ро) = ага Оы — о,) = — агсФк —, к/2 при ое < О, ф;(0) = — агсгб 0 = О, ф,(со) = г' 1-к/2 при оч > О, 7 Дйк Ким 98 у к с. устогвгивость систем управления я/2 при а,<0, Ьфг = фг(оо) — фг(0) = ( -я,Г2 при а, > О. Таким образом, если вещественный нуль является левым (а, < 0), приращение Ьф, = ягг2; если правым (а, > 0), приращение Щг = = — ягг2. б) Л, = а;, + 2До а„Д вещественные числа.
В этом слУчае сУ- ществует комплексно-сопряженный нуль Лесг = а, — 24. Приращения множителей, соответствующих этим нулям, определяются следующим образом: и —,3, ф,(со) = аг8 Цго — аг — Щ) = — аггеей ггз,(0) = — агсГ8 ( †), ф,(оо) = ,з, ( я/2 при а,<0, Ьф, = гсг(оо) — ф,(0) = я/2 — агсФ8(Дггаг) при а, < О, — я(2 — агсс8(Дггаг) при а; > О. Аналогично получаем я,г2 + агой ()эгггаг) при ае < О, гз'зз м — я,Г2+ агсФ8 (ДГа,) при а, > О. Отсюда получаем суммарное приращение Щ, + Ь4,эг = 2 (я,Г2), если комплексно-сопряженные нули левые (а; < 0), и Ьф, + Ьф,.гг = = — 2 (я,г2), если указанные нули правые (а, > 0).
Так как комплексно-сопряженные числа отличаются только мнимой частью, они оба являются левыми или оба являются правыми. Поэтому и в случае комплексных нулей «в среднем» на каждый левый нуль приходится приращение ягг2, на каждый правый корень приращение — я,Г2. Таким образом, если полинам имеет 1 правых нулой и и — 1 левых нулей при изменении частоты от 0 до оо, приращение есть Ьаг8 с„Ого) = 1. ( — — 1 + (и — 1) — = (п — 21) —, 2/ 2 2' что и требовалось доказать.
3.3.2. Критерий устойчивости Михайлова. Годограф характеристического вектора, т. е. кривую, которую описывает характеристический вектор при изменении частоты от 0 до оо, называют кривой Михайлова. При о„> 0 кривая Михайлова начинается в положительной вещественной полуоси. Из принципа аргумента следует, что если все нули характеристического полинома левые, то приращение аргумента характеристического вектора есть Ь аг8 сэ(увг) = пя(2. Отсюда вытекает следугощий критерий устойчивости.
99 дтпл. Частотные крнтериьь устойчивоспьи Критерий Михайлова. Длв того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при ао > О ее кривая Михайлова, начинаясь с полоакительной вещественной полуоси, Рис. 3.2. Кривые Михайлова устойчивых систем последовательно обходила п квадрантов в положительном направлении (против часовой стрелки). Кривые Михайлова устойчивых систем не пересекают начало координат и уходят в бесконечность в и-м квадранте (рис. 3.2). 3.3.3.
Критерий Найквиста. При использовании алгебраических критериев и критерия Михайлова было не важно, устойчивость каких систем — разомкнутых или замкнутых -- исследуется. Критерий Найквиста используется для исследования устойчивости замкнутых систем. Он позволяет по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы. Криторий Найквиста (ьчуь1ч1зФ, 1932).
Для того чтобы замкнутая система с отрицательной обратной связью была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая часьпотная харакпьеристика (АФЧгь) разомкнутой сььсьпемьь охватывала точку ( 1, 10) в полозкитсльном наььравлении 1/2 раз, где 1 число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Здесь предполагается, что у характеристического уравнения разомкнутой системы 1 корней являются правыльи, а остальные п — 1 корней — левыми.
Случай, когда имеются нейтральные корни, рассматривается отдельно. Когда разомкнутая система устойчива, 1 = О, и критерий Найк- виста формулируется следующим образом. Если разонкнуьпая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы с отрицаьпельной обратной связью необходимо Р00 Гл. 8. Устойчивоств систем управления и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы нс охватывала точку ( — 1, г0). Показательство.
Пусть поредаточная функция разомкнутой системы Иг(р) = Л(р)/Я(р), где степень числителя т, а степень знаменателя и, причем п, > т. Очевидно, степень полинома с2(р) = = Я(р) + Й р) равна п. Рассмотрим функцию М(уы) = 1+ И'(уы) = (3.13) бО4 Здесь в правой части в числителе стоит характеристический вектор замкнутой системы, а в знаменателе характеристический вектор разомкнутой системы. Из принципа аргумента следует, что ддя устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы гз агй (Я(асс) + ВЦы)) = п —. Так как по условию характеристический полипом разомкнутой системы 5(Л) имеет 1 правых нулей и п — 1 левых нулей, то из принципа аргумента получаем ЬагдЯоы) = (и — 21) —. 2 Следовательно, если замкнутая система устойчива, приращение аргумента функции М(уы) при изменении ы от 0 до оо есть ЬМ(уса) = Лага(Я(уса) + Л(~со)) — Лага ЯОы) = я = н —, — (и — 21) — = Ьг = — (2я).
2 2 2 Отсюда следует, что дпя устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф функции МЦы) охватывал начало координат 1/2 раз в положительном направлении. Из (3.13) получаем И" Оы) = Мосс) — 1. Поэтому если сместить годограф М(ую) влево на единицу, то получится годограф частотной передаточной функции И'(~ы) разомкнутой системы. Следовательно, если годограф М(уы) охватывает начало координат 1/2 раз, то годограф И'(уо~) охватывает 1/2 раз точку ( — 1, 10).
Критерий доказан. Пример 3.5. Исследовать устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы есть: а) И'(р) = ; б) И'(р) = Решение. Частотные передаточные функции и вещественные и мнимые частотные функции имеют вид: а) ИгЦог) =, = з я = 11(ы) + УИ(ы), 1г(оз) = —, У(оз) =— 1О1 3.8. Частотные нргаперии густойчиеости 1О 1ОР - 3 г - 113 — ')) — риз — Загс т Зум -Ь 1 (1 — Зыг)' -г (Заг — агз)' ' 1о11 — з ') 1о <3 — ') (ггг) г1 3, гр с гз е)г ~ (иг) г1 3 г)г Ч гз з)г' Лля исследования устойчивости АФЧХ можно построить качественно (приближенно), достаточно точно определив только точки ее пересечения с осями координат.
Необходимые расчетные данные при- Таблица 3.2. Расчетные данные (к примеру З.б) ведены в табл. 3.2. На основе этих данных построена АФЧХ (рис. 3.3). В случае а) характеристический полипом разомкнутой системы имеет один правый нуль и АФЧХ (рис. 3.3, а) 1/2 раз охватывает точку ( — 1, уО) в положительном направлении (вектор АВ описывает Рнс. 3.3. АФЧХ разомкнутых систем (к примеру 3.5): а — годограф 10 И'(уы) =,; б - - годограф И'Оаг) = ум — 1 О «цз угол и).
Следовательно, в этом случае согласно критерию Найквиста замкнутая система устойчива. В случае б) разомкнутая система устойчива, а ее АФЧХ (рис. 3.3, 6) охватывает точку ( — 1, зо). Следовательно, в этом случае замкнутая система неустойчива. 102 Гл.,у. устойчивость систем управления Случай наличия нулевых корней. Если характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет нулевые корни, т. е. ее передаточная функция может быть представлена в виде 14'(р) = —, И'е(р).
И'е(0) = 1, о > 1, к и' то АФЧХ при оо -э 0 уходит в бесконечность (рис. 3.4). В этом случае АФЧХ дополняются дугой — о(я/2) окружности бесконечно большого Рис. 3.4. АФЧХ при нулевых полюсах радиуса (на рис. 3.4 пунктирные линии). И для устойчивости замкнутой системы дополненная АФЧХ должна 1/2 раз охватывать или при 1 = 0 (разомкнутая система устойчива) не охватывать точку ( — 1,10). 3.3.4. Логарифмический частотный критерий устойчивости. В сложных случаях и для получения логарифмического частотного критерия устойчивости удобно воспользоваться другой формулировкой критерия Найквиста,которую мы сейчас и рассмотрим. Если АФЧХ охватывает точку ( — 1,10), то она пересекает отрезок ( †, — 1) вещественной оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
