Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если же в вершину входят несколько дуг, то соответствующая ей переменная равна сумме выходных переменных этих дуг (рис. 2.21, б). Если из вершины исходят несколько дуг, то входная переменная всех этих дуг одна и та же (рис. 2.21,. в). у1 = И "~хв у=И'х хс '1'1 у=~ "И;х, О~О хО ' уд = Изхс у =И' хв Рис. 2.21. Типы соединений дуг и вершин Граф прохождения сигнала, или сигнальный граф, разработал Мейсон (ЯЗЕ Магоп, 1953) для наглядного представления и описания связи между переменными устройств, описываемых системой линейных алгебраических уравнений. Так как стационарная линейная система управления в изображениях Лапласа также описывается системой линейных алгебраических уравнений, сигнальный граф стал использоваться для описания систем управления и называться графом системы управления.
Граф системы управления удобен тем, что он позволяет вычислять передаточные функции сложных многоконтурных систем без предварительного преобразования их структурных схем. у.е. Граф системы управления 67 Начальная вершина дуги определяет ее входную переменную. Першина графа, имек>щая только выходящие из нее дуги, опреде- ляет внешнюю переменную (внешнее воздействие) и называется входной вершиной графа. На графе системы управления дпя обозначения дуги и ес опера- тора, а также вершины и соответствующей ей переменной будем ис- пользовать одну и ту же букву (с индексом или без индекса).
Иначе говоря, в выражениях «дуга И'» и «вершина х» буква. И' обозначает одновременно идентификатор дуги и ее оператор, а буква х иден- тификатор вершины и соответствующую сй переменную. Последовательность дуг И'г, И'з,..., И и (не обязательно разных), для которых конечная вершина х, дуги И'г является начальной вер- шиной дуги Иг,,г (г = 1,2,...,и — 1), называется ориентированным маршрутом или ормаршрутом.
Ормаршрут называется замкнутым, если конечная вершина дуги Иг, совпадает с начальной вершиной ду- ги И'>, и незамкнутым в противном случае. Ормаршрут, в котором нет повторяющихся дуг (т.е, все дуги разные), называется путем от начальной вершины хо к конечной вершине х„, если он не замкнут, и контуром, если он замкнут. хе х> хз хз хг Путь и контур называют врос- гг~~г)~~ Й>~~~4 тыми, если все вершины хо,хг.... ...,т.„ различны.
В случае контура вершины хо и хп совпадают. Простой путь также называют прямым Рис. 2.22. Ормаршруты, пути, путем. прямые пути Граф на рис. 2.22 имеет три пути от начальной вершины хо к конечной вершине хп: Пг: хо И' гх>ИзхзИ зхзИ4хг, Пз . 'хоИ'гхгИ' зхзИ в!хг, Пз . 'хоЬЬ'гх>И~зхзИ~зхзИ ьхгИ'вх4. Из них Пг и Пз являются прямыми путями. Ормаршрутов на этом графе четыре. Помимо приведенных путей, ормаршрутом является Пг: хоИ гх>ИгзхзИгзхзИгвхзИгзхзИ'4хчь Лва контура называются несоприкасаюгаимися, если они не име- ют общих вершин.
Очевидно., несоприкасающиеся контуры не могут иметь общих дуг. Три, четыре и т.д. контура называются несопри; касающимися, если любая пара из этих контуров является несоприка- сающейся. 2.8.2. Связь между структурной схемой и графом системы управления. Граф системы управления можно построить по структурной схеме, и, наоборот, по графу системы управления можно построить структурную схему. 68 Гл. 2. Матемотпииевное описание систем управления Рис. 2.23. Преобразование структурной схемы в граф системы управления: а структурная схема; б — граф системы управления * Π— 'О-*:. Оу "О :Ъ яв = И"1я1 Рис.
2.24. Преобразование графа для получения дополнительных вершин нительную, конечную для этой дуги вершину и соединить эту вершину с исходной вершиной дугой с единичным оператором (рис. 2.24, 6). 2.8.3. Преобразование графа системы управления. Формула Мейсона. Параллельные дуги, т.с. дуги, имеющие общие начальные и конечные вершины, можно заменить одной дугой с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций исходных дуг (рис. 2.25, в).
Простой путь, если нет не принадлежащих ему дуг, входящих или выходящих из промежуточных вершин этого пути, можно заменить одной дугой с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций дуг этого пути (рис. 2.25, б). Лля преобразования графа и вычисления перелаточной функции системы управления по ее графу можно воспользоваться теоремой Зля построения графа системы управления по ее структурной схеме нужно произвести следующее (рис. 2.23): 1) сумматор с выходной переменной х заменить вершиной к; 2) звено с передаточной функцией И' заменить дугой И'; если выходная переменная подается на сумматор по отрицательному входу, то указанное звено заменить дугой — И' 1т.
е. оператор принимает обратный знак); 3) каждой переменной, в том числе переменной, соответствующей внешнему воздействию, .сопоставить свою вершину; при этом внешнему воздействию соответствует вхолная вершина, т. е. вершина, которая не имеет входящих в нее дуг. Если нужно изобразить выход одной из дуг, входящих в общую вершину (например, дуги И'1 на рис. 2.24, а), то следует ввести допол- 2.8. Граф системы управления И', Π— -ОΠ— -"-О б Рнс. 2.20.
Преобразование графов: а - параллельное соединение; б — пря- мой путь (формулой) Мейсона. Но для ее формулировки необходимо познакомиться с дополнительными понятиями. Определителем графа называется передаточная функция Ь, которая определяется следующим образом: 2-"1 = 1 — ~ И'01 + ~ И'01 И'01 — ~ И'01 И'01 И'1 +... (2.39) 1 3.,Ь Здесь в первой сумме И'0 передаточная функция улго простого контура, равная произведению передаточных функций дуг, входящих в этот контур, и суммирование производится по всем простым контурам; во второй сумме Игв Игвь произведение передаточных функций уьго и Й-го простых контуров и суммирование производится по всем несоприкасающимся парам контуров; в третьей сумме И'0 И'01 И'т-- произведение передаточных функций у-го, Й-го и 1-го простых контуров, и суммирование производится по всем несоприкасающимся тройкам контуров и т.д.
Граф на рис. 2.26, а имеет пять простых контуров с передаточными функциями: И01 — И12И14, И02 = И11И12И13ИЗЗИ34И35И31,. И 03 = И 21 И 22 И' 33 И' 34 И Зб И 31,. И' 04 = И 22 И 33 И' 34 И 35, ИОб И32И34И35~ и три несоприкасающихся пары контуров с передаточными функциями И'01 и И'оз, И'01 и И04: И01 и И'05 Несоприкасающихся троек и большего числа контуров этот граф не содержит. Поэтому в соответствии с формулой (2.39) его определитель есть й = 1 — (И "01 + И'02 + И'оз + И'04 + И'05) + + (И 01 И 03 + И'01 И 04 + И 01 И'05). Подграф, получающийся при удалении дуг и вершин 1-го прямого пути, а также всех дуг, выходящих и входящих в удаляющиеся вершины, называется подграфом 1-го прямого пути.
70 Гп, 2. Математическое описание систем дп1гаепения Указанный граф имеет два прямых пути от вершины д к вершине д с передаточными функциями Ип1 — ИОИ 11И 12И 13 Ип2 — И ОИ 21И 22 представляющими произведение передаточных функций дуг, входящих в эти пути. Подграфы этих путей представлены на рис. 2.26г б, в. Формула Мейсона. Передаточная функция системы управления относительно каких-либо входа я и выхода 2 определяется следующим образом: ~ И',Ь, =1 И'га = ' 12.40) где Ь определитель графа системы управления; Испг -. передаточная функция 1-го прямого пути от начальной вершины х к конечной вершине 2; гп общее число таких прямых путей; 21г1 — определитель подграфа 1-го прямого пути.
П Р и м е Р 2. 10. ОпРеделить пеРедаточные фУнкции Ис„д и И'ео системы управления, представленной на рис. 2.26, а. Решение. Найдем сначала передаточную функцию И'„. Как отмечалось выше, от начальной вершины д к конечной вершине у имеются два прямых пути с передаточными функциями Игп1 и И'пг. Поэтому по формуле Мейсона получим Ипг (И п1г-г1 + И п2'-12) 1 21г Определитель графа Ь и передаточные функции И'п1 и И'пз были получены выше. Так что достаточно вычислить определители 1.'г1 и 2'гз подграфов прямых путей. Подграф первого прямого пути (рис. 2.26, б) имеет только один пРостой контУР с пеРедаточной фУнкцией Иоз = И 22И~24Игзз.
Поэтому по формуле (2.39) получаем Ь1 = 1 — Иоз = 1 — И'з И'з4И'зз. Подграф второго прямого пути (рис. 2.26, 0) имеет два простых контура с передаточными функциями: Иго1 — — И'12 И'14 и И'оз = = И'ззИ'з4И'зз. Эти контУРы ЯвлаютсЯ нссопРикасаюшнмисЯ. Поэтому определитель этого подграфа есть Ь = 1 — (И'01 + И'оз) + И'01 И'оп. Перейдем к определению передаточной функции Испо. От начальной вершины д к конечной вершине е имеется один прямой путь с передаточной функцией И'„' = И'О. Подграф этого пути (рис. 2.26, е) имеет тРи пРостых контУРа с пеРедаточными фУнкциЯми: И'Оы И'04г Игоз, Из них две пары контуров с передаточными функциями И"01 И И'04, И'01 И Игрй яВЛяЮтея НССОПРИКаеаЮщИМИСя.
ТрОйКИ НЕСОПрнкасающихся контуров нет. Поэтому определитель этого подграфа 2гг1 1 — (И01 + И 04 + %)5) + (И 01Иг04 + И 01И 00). 71 2.8. Гриф спстемзз дправвения зз 3~Ь И 14 зз Рис. 2.2б. Граф и подграфы прямых путей: и искомый граф; б подграф 1-го прямого пути от д к д; в -- подграф 2-го прямого пути от д к д; г -- подграф прямого пути от д к е Теперь по формула (2.40) нетрудно записать передаточные функции И'дд и Игед.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
