Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Далее, если вершина 1' при дальнейшем увеличении ы не пересекает мнимую ось, то остальные вершины также ее не пересекут. И так как характеристический вектор 3-го порядка с положительными коэффициентами при ы — з со располагается в 3-м квадранте, при п = 3 годографы характеристических векторов ЩО ~), ЩОы) и Оз(уо~) будут последовательно охватывать три квадранта, если годограф характеристического вектора Я з Оы) последовательно охватит три квадранта. Следовательно, при п = 3 для робастной устойчивости достаточно, чтобы годограф характеристического вектора азою) последовательноохватывал три квадранта, т.е. чтобы полинам б)з1Л) был устойчивым. б) Если с ростом ы вершины 1 и 2 прямоугольника, последовательно охватывая 1-й и 2-й квадранты, окажутся в 3-м квадранте, то то же самое произойдет с вершинами 3 и 4. И если при дальнейшем росте ы вершина 2" не пересечет действительную ось, то и вершины 3" и 4о не пересекут эту ось, И так как характеристический вектор 4-го порядка с положительными коэффициентами при ы -+ со располагается в 4-м квадранте, при п = 4 годографы характеристических векторов Ч)з1уы) и Цооы) будут последовательно охватывать четыре квадранта, если годографы характеристических векторов б~з(уы) и Яз Оы) последовательно охватят четыре квадранта.
Следовательно, при и = 4 для робастной устойчивости достаточно, чтобы годографы хаРактеРистических вектоРов Цз (Уы) и (,>з 12 ы) последовательно охватывали четыре квадранта, т.е. чтобы полиномы Оз1Л) и 1„1з(Л) были устойчивыми. в) Если вершины 1. 2 и 3 с ростом ы, последовательно пройдя 1-й, 2-й и 3-й квадранты, окажутся в 4-м квадранте, то то же самое произойдет с вершиной 4. И если при дальнейшем росте ы вершина Зо' не пересекает мнимую ось, то и вершина 4о' не пересечет эту ось.
И так как годограф характеристического вектора 5-го порядка с положительными коэффициентами при оз — > ос заканчивается в 1-м квадранте, годограф характеристического вектора Яо1уы) при и = 5 последовательно охватит пять квадрантов, если годографы характеристических векторов ОзОо~), Язоо~) и ЦзОы) последовательно охватят пять квадрантов.
Таким образом, при и = 5 для робастной устойчивости достаточно, чтобы полиномы Яз(Л),. гуя1Л) и Цз(Л) были устойчивыми полиномами. Д р и м е р 3.10. Исследовать робастную устойчивость системы, характеристический полинам которой имеет вид Ц(Л)=Л +ЗЛ +аЛ +ДЛ+7=0, 4<а<5, 2<13(3, 1(7<2. Решение. В данном случае А = 1а: ао = 1, аз = 3, 4 < ая < 5, 2 < аз < 3, 1 < ао < 2), 118 1'л.
У. Устсйииеость систем, уироелсиия ао — — ао = 1, яз — — йз = 3, аз — — 4, йз = з, аз = 2, аз = 3, ал = 1, ал = 2. Так как п = 4, то достаточно рассмотреть полиномы сэз(Л) и 1еез(Л). Из (3.27а) и (3.275) имеем с„ез(Л): ал, аз, аз, аы ао, Юз(Л): йл~ йз~ Яз~ Яз~ йо~ или 1ез(Л) = аоЛ -сйзЛ +азЛ + азЛ+ ил = Л +ЗЛ +4Л -с 2Л-ь 2, 1',?з(Л) = аоЛ + ЯзЛ + азЛ +йзЛ+ йл = Л + ЗЛ + 4Л + ЗЛ+ 2. Необходимое условие устойчивости для обоих полиномов выполняется. Пля полинома Цз(Л) определитель Гурвица аз аз 0 ао аз ал 0 а1 аз 3 2 0 1 4 2 =3(4.2 — 3 2) — 1(2 2 — 3 0)=2>0,.
0 3 2 а для полинома сиз(Л) яз аз 0 3 3 0 1 4 2 =3(4 3 — 3.2) — 1(2.2 — 3.0)=2>0. 0 3 3 ао Я, й4 0 а аз Я(Л) = аоЛ + азЛ + азЛ+ аз. где ао=Тз, аз — — 2с, аз — — 1, аз та Коэффициенты характеристического полинома удовлетворяют следующим условиям; 001<ао<025, 02<аз<1, аз=1, 01<аз<1. Следовательно, в принятых выше обозначениях имеем ао =0,01, ао =0,25., а, =0,2, йз =1, аз=аз=1, аз — — 0,1, аз=1. На основе критерия Льенара — Шипара 1„)з(Л) и Щ(Л) являются устойчивыми полиномами. Следовательно, в силу следствия система робастно устойчива. П р и м е р 3.11.
Исследовать устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид Иг(Р)= з з . 01<Я<1, 01<Т<05, 01<~<05. (Тзрз + 25р+ 1)р' Р е ш е н и е. Характеристический полинам замкнутой системы имеет вид 3.5. Робостнан уссаонниоость 119 Необходимое условие робастной устойчивости выполняется. Так как п = 3, то для робастной устойчивости достаточно, чтобы полинам с„з(Л) был устойчивым. Из (3.27а) получаем Щ(Л) = аз + а Л+ а Л + аоЛ = 1+ Л+ 0,2Л + 0,25Лз. Определитель Гурвица сЛг = 1 0,2 — 0.,25 < О. Поэтому замкнутая система не будет робастно устойчива (т. е.
устойчива при всевозможных значениях параметров). Теорема Харитонова справедлива при условии, что коэффициенты характеристического полинома изменяются на заданных интервалах независимо друг от друга. Однако когда множества возможных значений коэффициентов характеристического полинома определяются заданными множествами возможных значений параметров системы и при этом одни и те же параметры входят в выражение для разных коэффициентов,.
эти коэффициенты уже не являются независимыми. В таких случаях условия робастной устойчивости, вытекающие из теоремы Харитонова, являются только достаточными. Из того, что они не выполняются, не следует, что система не может быть робастно устойчива. Пример 3.12. Исследовать устойчивость замкнутой системы при всевозможных заданных значениях параметров при условии, что передаточная функция разомкнутой системы имеет вид ЪЪ'Ы = й ~тр-,1) ' 05<й<2, 1<Т<2. Р е ш е н и е.
Характеристический полинам замкнутой системы имеет вид Сг(Л) = аоЛ + осЛ' + агЛ + аз, где ао = Т, аг = ЗТ, аг = ЗТ, аз = 1+ Й. Пля граничных значений коэффициентов характеристического полинома имеем аг — — 3, но=1 ао=8, аз-— 3, па=12, аг = 6, аз — — 1,5, аз = 3. В данном случае коэффициенты характеристического полинома не являются независимыми. Но, тем не менее, воспользуемся сначала теоремой Харитонова.
Так как и = 3, достаточно рассмотреть полинам (см. (3.27а)) с>з(Л) = аз + агЛ + йзЛ + аоЛ = 3 + ЗЛ + ЗЛ + 8Лз. Все коэффициенты больше нуля, но определитель Гурвица ~1г = йгйз — азао = 3 3 — 3 8 < О. 120 Гл. о. Устойчиеость систем уиуоелсиия Следовательно. условие робастной устойчивости не выполняется. Однако, как покажем, замкнутая система устойчива при всевозможных заданных значениях параметров.
Пействительно, при положительных значениях параметров необходимое условие устойчивости выполняется, и определитель Гурвица 2-го порядка слг — — а,аг — аоаг — — ЗТгЗТ вЂ” Т (1+ л) = Т (8 — л) будет положительным при л < 8. Таким образом, система устойчива при любых значениях параметров из области, определяемой неравенствами Т ) О, О < й < 8.
Очевидно, заданные значения параметров принадлежат этой области. Задачи 1. По заданным характеристическим уравнениям исследовать устойчивость системы: а) Ло, 2Лз + ЗЛ4+ 4 г+ Л+ 1 = О. 6) Лл + ЗЛз + ЗЛг + 2Л в) Лз + ЗЛг + 2Л+ 1 = О. г) Лл + 4Лз + 2Лг + Л+ 1 0 д) Л4+4Лз+6Лг+5Л+2 0 2. По заданным передаточным функциям разомкнутой системы исследовать устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Найквиста: а) И'(а) = ; б) И'(з) = ' ; в) И'(з) = 3. По заданным передаточным функциям разомкнутой системы определить критическое значение запаздывания: а) И'(з) = ' ; б) И'(з) = 2е 6 в) И'(е) = ; г) И"(е) = 4.
По заданным передаточным функциям разомкнутой системы определить область устойчивости замкнутой системы: е) с01 лЦз' ) () е01 еЦг' )~() з' ) () г' 121 Задачи 5. Заданы передаточные функции разомкнутых систем. Определить граничное значение передаточных коэффициентов: * 14 "; Ц101 в 4- Цз ' 14 4- Цз(01 в 4- Ц ' й и ) ~( ) —,)„) ~Π— в 4.,), 6. Исследовать устойчивость системы а) И'1 = 0,1Р+ 0,2 —, И'з =, Игз = 0,4, И'4 = Оен 1 5 р' р10,5р 4- Ц ' б) йг = 0,1е, У+ 5У = 10тз, из = 0,1У, х4 = 0,5У.
7. При заданных ниже характеристических уравнениях систем управления и множествах возможных значений их коэффициентов исследовать робастную устойчивость: а) Л + агЛ + азЛ+ 0,5 = О, 1 < аг < 2, 0,5 ( аз < 1,5; б) Л + а1Л + азЛ + аз = О, 1 ( аз ( 2, О 5 ( аз ( 1 5, 02(аз (05; в) Л4 + а1Лз + 2Лз + ЗЛ + аз = О, 1 ( а1 ( 2, 0,2 ( аз ( 0,5; г) Л4 + а1Лз + 2Лз + азЛ+ 1 = О, 1 ( а1 ( 2, 0,2 ( аз ( 0,5.
8. Исследовать устойчивость системы управления, приведенной в задаче б данного задания, при следующих передаточных функциях и множествах значений параметров: Игз(р) = — Игз(р) =, Игз(р) = 0,2, в 5 р' 1тр+ Цр' Иг41р) =05, 02(й(1, 01(7'(05. 9. Задана структурная схема замкнутой системы 1с отрицательной обратной связью), состоящая из регулятора и объекта с передаточными фУнкцимми И'р(в) и И' 1в) соответственно. ПеРедаточнаЯ 5 функция объекта равна Иг,(в) =, Исследовать устойчивость в(в -~- Цз ' системы при типовых законах управления: а) И'р(в) = 0,2 и Иг„(в) = 2; б) Игр(в) = 2 + 0,2 в и И'р(в) = 2 + 2в: 122 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
