Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Качеспгво систем управзснин евд(1) = Свод(е) + Сдг + Сдг г г + . ~г дс ' дед (4.18а) где Сдо И~ (0) Сд' д г 1 2 ° (4 186) г. 'дд',=о' Здесь И',д(в) передаточная функция относительно входа д(1) и выхода е(1). Коэффициенты Сдь (к = О, 1, 2,...) называются коэффициентами ошибки по задающему воздействию. Аналогично можно представить установившуюся ошибку с,у(1): е,у(1) = Сузу(1) + Суг + Суг, +..., (4.19а) , ду(с) д'у(е) Суо = И'~у(0), Су, = —, 'т ~, г = 1,2,... (4.196) Здесь Итеу(з) передаточная функция относительно входа ((1) и выхода е(1).
Предполагается, что возмущение не приложено в одной точке с задающим устройством. Коэффициенты Суд (й = О, 1, 2,...) называются коэффициентами ошибки по возмущению. Первые три коэффициента ошибок имеют специальные названия: Сдо и Суо — — коэффициенты позиционной ошибки: Сдг и Суг — — коэффициенты скоростной ошибки; С„г и Суг --- коэффициенты ошибки по ускорению.
Вывод формул (4.18). Если воздействие д(1) начинает действовать в момент 1о > О, то ошибка ед(с) определяется по формуле: ея(1) = ~ш, (1 — т)д(т) йт, о где ш„д(1) -- весовая функция относительно входа д(1) и выхода е(1). Если воздействие у(1) начинает действовать в момент 1о = — оо, то к моменту 1 ошибка ед(1) установится и станет равной е,д(1). Поэтому имеем е, (1) = / и, (1 — т)д(т)с1т. Сделав замену переменных С = 1 — т,получим е„д(с) = ( гос (с)д(с — с) Н(. е Разложим функцию д(г — ~) в ряд Тейлора в точке й д(1 6 — д(1)+11 д, ( 6+2, „,, 6+" ду(1) " " у(с) Коэффициентпы ошибок. Числовыми показателями качества в установившемся режиме являются коэффициенты ошибок, которые определяются следующим образом.
Как покажем ниже, установившуюся ошибку е, (1) можно представить в виде ряда 4.3. Показатели качества в установивиьсмсн режиме 137 Подставив это выражение, верхнюю формулу для е,д(с) можно представить в виде е,дьь) = Соуьс) + Сь — + Сз +...; дг где С = 1ш.,а К, С; = 1, 1ш.„КН вЂ” 1)'Еда ь=1,2,. Иг,дьв) = /ш,д(ь)е дь й. а Дифференцируя обе части этого равенства ь раз по в, получим "* = /( — 1)'1ьш (1)е "'а1 ь = 1,2,...
дв' о Следовательно, Со = / шсд(1) 41 = о С; = —, /( — 1)'1'ш,д(ь) д1 = а ш, ь,ь)е 'ьй = Ис,д~О) = Со, д=о о —, /1 — 1)ьь'ш„1ь)е ' д1 о д'~~'.д(д) ьб дд д=о Статические и астлатлические системьь. Установившаяся ошибка при постоянном внешнем воздействии называется статической ошибкой. Система называется спьатидьеской, если статическая ошибка отлична от нуля, и астатичсской, если статическая ошибка равна нулю.
Можно говорить о статической и астатической системах относительно того или иного внешнего воздействия. Система называется ьзлатичсской относшлслоно задающего воздействия (возмущения), если статическая ошибка от задающего воздействия (возмущения) отлична от нуля, и астатической относительно задаюиьсго воздействия (возмущения), если статическая ошибка от задаьощего воздействия (возмущения) равна нулю. Форььулы (4.18) и (4.19) при постоянных 9 и 1 принимают вид евд(1) = едсс = Сдо,у Сдо = И сд(0) еьуф = гусс = Суо~, Суо = ИсуььО). Отсюда следует, что система будет статической относительно воздействия 9 (возмущения 7), если Сдо у: 0 (Суо ф.
0), и астатической Остается показать, что Сь = Сю А = О, 1,2,... Передаточная функция Игсд(в) связана с весовой функцией преобразованием Лапласа: 138 Га. 4. Качеетео слетаем упраеаеиин относительно задающего воздействиЯ У (возмУщениЯ 1), если Сдо = 0 (Суо = О). Говорят, что астатическая система относительно задан>щего воздействия обладает ашпатиэмом т-го порядка, если Сдо = Сд> =... = Сде — 1 = О, Сде 'ф О.
Иед(8) 8 И'о(8), Ио(0) т>' О. Отсюда видно, что формулы (4.20) при 1, '= 1, 2,..., т — 1 справедливы. Остается показать, что они справедливы и при 1 = т. Продифференцируем И>ед(8) т раз по ж >18 = тд Ио(8) + 8 И'1(8)> е> И о(8) ( 1) > — 2И) ( ) + т — 1И~~( ) »И'о(8) + И> ( ) +»И'1(8). "' "(') =.(.— И.— ) -И (.)+д-И (.) 4 з Из(8) = 1(> — 1) + (т — 1)И>2(8) + 8 >1И "О(8) йИ'2(8) >Ь >>8 »И'о(8), еЬ = 1.( И О(8) + .И е(.), >Ь' Из последнего соотношения получаем Се = — ' " ~'„(8) = ИЪ(.Я т. 48" =о 8 >=о что и требовалось показать.
Аналогично определяется астатическая система с астатизмом 1-го порядка относительно возмущения. Если система обладает астатизмом т-го порядка, то коэффициенты ошибок Сде (Су,) при 1 = 1,2,...,т можно определить следующим образом; Сд>: (Су>: ' ) 1: 1 2 1' (4 20) 8 е=о ' 8 в=о/ Иначе говоря, этими более простыми, чем (4.18б) и (4.19б), формулами можно пользоваться при вычислении до первого отличного от нуля коэффициента включительно. Вывод формул (4.20). Первые т коэффициентов ошибки по задающему воздействию равны нулю, если Иед(0):О>'~:0'1:12...>11. 4'И', (8) <Ь* Последнее имеет место, если 8 = 0 является т-кратным нулем пеРедаточной фУнкции Итед(8), т.е. если И>ед(8) можно пРедставить в ви е 4.У.
Показатели качества в дстановивигемсв режиме 139 П р и м е р 4.5. Определить установившуюся ошибку системы (рис. 4.7) при И г = 0,5, Из =, д(1) = 1+ 0,11 и д"(1) = 0,2. р(р+Ц ' у(д) Рис. 4.7. Типовая схема системы управления Р е ш е н и е. Так как все производные от 1(с) и производные 2-го порядка и выше от д(1) равны нулю, формулы (4.18а) и (4.19а) принимают вид сед(1) = Свод(1) + Сдг еед(Г) = Суо~(1). Поэтому для определения искомой ошибки достаточно вычислить коэффициенты ошибок Сдо, Сдг, Суо. Передаточные функции ошибки имеют вид 1 в(в 4- Ц 1 4- Игг(в)Исз(в) в(д 4- Ц 4- 2 ' ( ) -И'2(в) -4 1 4- И'г(в)И'г(в) в(в -с Ц 4- 2 Отсюда Сдо = И',д(0) = О, то Сдг можно вычислить по С дг = Суо = Игед(0) = — 2.
Так как Сдо = О, формуле (4.20): = Ог5. в=о в(в+Ц+2 в=о Таким образом, для ошибок имеем е, = 0,5. 0,1 = 0,05, е,у = — 2. 0,2 = — 0,4, е, = е,д + е,у = 0,05 — 0,4 = — 0,35. П р и м е р 4.6. Определить установившуюся ошибку системы (см. рис. 4.7) при Иг(р) = 0,5+ — ', Из(р) =, д(1) = 1+ 0,11, 0,1 4 р(р+Ц' ' 7'(1) = 0,2(1+ 1). Решение. Так как производные от д(1) и 1"(1) 2-го порядка и выше равны нулю, то формулы (4.18а) и (4.19а) принимают вид е„(с) = Свод(с) + Сдг 4д(с) е,у(1) = Суо,7(Й) + Суг 47(д) Поэтому для определения ошибки достаточно вычислить первые два коэффициента ошибок. Передаточные функции ошибки имеют вид 2( 1 4- И'г(в)И'д(в) вг(в + Ц 4- 2в -Ь 0,4 ' 140 Гл. 4.
Каиестса сггспгегг нираалсиин — Исг (д) — 4д 1 -Ь И'г(е)И'г(д) гг(д -> Ц -> 2д 4- 0,4 Отсюда Сдо = И'„(0) = О. Суо = И'еу(0) = О. Так как коэффициенты позиционной ошибки равны нулю, коэффициенты скоростной ошибки можно вычислить по формуле (4.20); Иг,д(е) е(н + Ц н,=о нг(н+ Ц+ 2н+ 0,4 н !г=о нг(н+ Ц+ 2н+ 0,4 „=о Таким образом, для ошибок имеем сед = О, еву = — 10 ' 0,2 = — 2, св = евд + с-'вг = — 2. 4.4. Структура астатической системы управления Рассмотрим систему управления с двумя входами (см.
рис. 4.7). Пусть передаточные функции И'г и И г имеют вгш Рг(н) Иг ( ) Рг(н) Вг(е) ' Лг(н) Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид И (и) )4 1(д)И г(д) Р(д) 22(е) ' где Р(н) = Р,(г)Рг(д), Кн) = ггг(н)Лг(н). Передаточная функция ошибки по задающему воздействию имеет вид (в) й( ) ед(*) — 1 + Иг( ) — Р( ) + Р( Лля того чтобы система управления была астатической с астатизмом г-го порядка относительно задающего воздействия, как было показано, передаточная функция И',д(д) должна иметь вид (4.21). А это возможно, если передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде И'(д) = — И'о(д), Ио(0) = = 1.
Ро (О) и" ' ' Ло(0) (4.22) Передаточная функция разомкнутой системы имеет такой вид, если система содержит г последовательно соединенных интегрирующих звеньев. Интегрирующие звенья должны быть включены в основной контур, а не в контур, образованный местной обратной связью. При этом они могут быть вклкгчены параллельно с какими-либо другими элементами. Например, предположим, что И'г(д) --- передаточная функция ПИЛ-регулятора: Игг(н) = к„ + кнн + — ".
й„ 44. Структура астатической системы, управления 141 1 = 0,1,...,г — 1, :С,„= —, 1 к' С,=О, (4.23а) когда система является астатической относительно задающего воздействия,и Сгп = О, г = 0,1,...,г — 1; Суе = —, (4.23б) йг ' когда система является астатической относительно возмугцения. Здесь й " передаточный коэффициент разомкнутой системы, Кг передаточный коэффициент звена, включенного между точкой съема ошибки и точкой приложения возмущения. Первые г равенств в (4.23) следуют из определения астатической системы с астатизмом г-го порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
