Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(р)- 1+ УУ(р) р(т' р2+ 2<ту+ Ц+ й„р+ й„: то коэффициенты ошибок имеют вид И'ьд (Р) С о Иг (0) 0 СФ р я=о й с,. = и „(о) = о, с„= и;,(р) ~ р р=о й Таким образом, пра включении интегрального слагаемого в закон управления система становится астатической, и с увеличением й„ уменьшается скоростная ошибка. Однако при этом ухудшается качество системы в переходном режиме, а с определенного йн система становится неустойчивой.
ПП-закон. При этом законе И'р(р) = й„+ й р, а передаточная функция разомкнутой системы (р) и'о(р) 11'ь(р) — Тэ 2 2чТ и характеристическое уравнение имеет вид Т Л + (2~Т+ й„)Л+ 1+ йн = О. Корнями этого уравнения являются — (й„+ 2ЭТ) х цг— 2Т2 Когда подкореннос выражение неотрицательно, т. е. (йя + 2~Т)2 — 4Т2(1 + й„) > О, или й > 2Т(~Я + 1 — С,'), (5.1) система управления является апериодическим звеном 2-го порядка. Если выполняется противоположное неравенство, т, е. йл < 2Т( ~Ь„+ 1 — Д), (5.
2) то система является колебательным звеном, а степень устойчивости 21 и степень колебательности р соответственно принимают вид йл+ 2СТ 4Т2(й„+ Ц 2Т2 ' (й„+ 2СТ)2 Следовательно, при выполнении условия (5.2) с ростом й степень устойчивости возрастает, а степень колебательности убывает.
в. б Иеелее1ование типовом законов рнраоленин 149 При выполнении условия (5.1) степень устойчивости имеет вид Лл -Ь 2СТ вЂ” (йл 4- 2СТ) ~ — 4Т(й,. 4- 1) и, продифференцировав зто выражение по Йл, получим 1сл+ 2СТ О. ( О. л Следовательно, в этом случае степень устойчивости с ростом ка убывает. Передаточные функции ошибки имеют вид Тгрг 4 2ГТР 4 1+И'(р) Т р -ЬДТ-Ьй.)р-р14-й„' И, — И'в1Р) — 1 еУ р 1,Р1т~р) Тгрг,. 2~Т„1)р„й р+й ~ и для коэффициентов позиционной ошибки имеем 1 — 1 Сяо И еу(0): ~ Суо И еу (0) 1-р й 1-р л Таким образом, введение в закон управления дифференцирующего члена улучшает качество системы в переходном режиме. На качество системы в установившемся режиме (при постоянных внешних воздействиях) он никакого влияния не оказывает.
Но следует иметь в виду, что при чрезмерном увеличении Й качество системы в переходном режиме может ухудшиться. ПИП-закон. В этом случае И'р(Р) = к„+ к р+ —, передаточная Л Р' функция разомкнутой системы имеет вид (Р) — ~ (Р)~.(Р) — ( ... Р,) и характеристическое уравнение имеет вид Т Л + (2~Т + йд)Л + (1 + /ео)Л + йв = О. Определитель Гурвица 2-го порядка гЛг — — (2~Т+ йл)(1+ ко) — Т И„ выбором аа всегда можно сделать положительным. Таким образом, введение в закон управления интегрирующего члена может сделать устойчивую систему неустойчивой, а введение дифференцирующего члена может сделать неустойчивую систему устойчивой.
Для коэффициентов ошибки имеем Сро = И;о(0) =О, р р=о Й ' С,. = И;,<О) = О, С„= И У(Р) Р р=-о Й 150 Гл. б. Синтез систем управления Все основные выводы о влиянии дифференцирующего и интег- рирующего членов на качество системы, полученные на основе рас- смотрения ПИ-закона и ПД-закона управления, сохранятся и при рассмотрении ПИД-закона. Итак, основные выводы таковы; 1) введение в закон управления интегрирующего члена делает систему асталшческой и улуч1аает качество системы в устано- вившемся режиме, но оказывает, дестабилизирующее влижние (т. е. может сделатт~ь систему неустойчивой) и ухудшаетп качество сис- темы в нереходно,м резкиме:, 2) введение в закон управления дифферениируюи1его члена оказы- вает стабилизирующее влияние (может сделать неустойчивую сис- тему устпойчивой) и улучшаетп качество системы в переходном ре- жиме, не оказывая влияния на качестпво системы в установившемся режиме. Хотя эти выводы получены на основе исследования системы с объектом 2-го порядка, есть основания считать, что они в основном справедливы и в более общем случае.
П р и м е р 5.1. Определить, при каких типовых законах управ- ления статическая ошибка системы (см. рис. 5.1) будет равна нулю, 1 когда передаточная функция объекта Ить1р) = —. у+1 Решение. Статическая ошибка будет равна нулю., если систе- ма будет астатической относительно задающего воздействия и возму- щения. А для этого нужно, чтобы регулятор содержал интегрирую- щее звено. Поэтому искомыми законами управления будут ПИ-закон и ПИД-закон. Пример 5.2. Определить, при каких типовых законах управ- ления установившаяся ошибка системы (см, рис, 5.1) будет равна нулю при условии, что Иь(р) = 1 рз1р+ 1) ' д11) = а1 и 1(1) = Ь (а, Ь константы).
Решение. Так как установившаяся ошибка от задающего воз- действия и возмущения имеет вид сд...(1) = Сдоа1+ Сдзоэ еу~ = СуоЬ, то установившаяся ошибка будет равна нулю, если Сдо = Сдз = 0 и Суо = О. Следовательно, система должна быть астатической с астатизмом 2-го порядка относительно задающего воздействия и с астатизмом 1-го порядка относительно возмущения. Так как объект включает два последовательно соединенных интегрирующих звена., система будет астатической с астатнзмом не менее 2-го порядка относительно задающего воздействия при любом типовом законе управления. Однако она будет астатической относительно возмущения только при ПИ-законе и ПИД-законе. При ПИ-законе передаточная функция 151 5.а Сннгоез но мнннмрму иннзегрооонож оценок разомкнутой системы есть Мр) = ИИИ4'.Ы =,"Р „"), и характеристическое уравнение имеет вид Л4+Лз+й„л+йн = О, В этом уравнении коэффициент при Л равен нулю, и необходи- мое условие устойчивости не выполняется.
Поэтому система при ПИ-законе структурно неустойчива. При ПИД законе передаточная функция разомкнутой системы есть И'(р) =И ®М',Я = и характеристическое уравненио имеет вид Л4+Лз+ь, з+й Л+ь, О Определитель Гурвица 3-го порядка 1 й„О 1ез 0 1 й„ соответствующим выбором параметров регулятора можно сделать положительным. Следовательно, при ПИД-законе система структурно устойчива,.и искомым законом управления является ПИД-закон.
5.2. Синтез параметров регулятора по минимуму интегральных оценок Рассмотрим задачу синтеза в следующей постановке. Структура системы задана, и нужно определить ее параметры так, чтобы какая- либо заданная интегральная оценка,7зь приняла минимальное значение. После вычисления интеграла с помощью формулы Парсеваля получим некоторую функцию от параметров '6и = узо(а) Здесь а обозначает вектор, компонентами которого являются параметры системы. На параметры системы могут быть наложены ограничения в виде равенств и неравенств; .г,(а) = О, 1 = 1,2,...,т:, Сь(а) ( О, к = т + 1,т + 2,...,М.
Поэтому в общем случае рассматриваемая задача синтеза сводится к следующей задаче на условный минимум: 3з,(а) -о ппп, Е,(а) = О, з = 1,2,...,т; бь(а) < О, й = т+1,т-~-2,...,ЛХ. (5.3) 152 Гл. б. Синтез систем управления Эта задача может быть решена разными способами. В частности, заменив введением дополнительных неизвестных параметров Д неравенства равенствами Рь(а;Д = Сь(ее) +Я = О, й = ш+1,т+ 2,...,М, преобразуем задачу (5.3) к виду 1з„(а) -о шш, г)(а,дэ) =О.
1= 1,2,...,М, (5.4) «ен где Д = Явед,~веез,...,~~м), ее)(а,)о) = лс)(а) пРи 1 = 1,2,...,т. Задача (5.4) в принципе может быть решена методом неопределенных множителей Лагранжа. Согласно этому методу составляется функция Лагранжа Т (е, д, р) = ро 1" + ,'), яЫа, Я: с=ь и задача (5.4) сводится к задаче на безусловный экстремум Ь(а,(д, р) — д шш ,д,д Здесь р= (дм1ез,...,рм) и ро = 1 в неособом случае (т.е.
когда постановка задачи имеет смысл). 1 Пример 5.3. При условии, что Игр(в) = всю И' (в) = и 1(е) = 0 определить параметр к„, при котором переходный процесс системы (см. рис. 5.1) является апериодическим и интегральная квадратическая ошибка,7зо принимает минимальное значение. Р е ш е н и е. Переходный процесс будет апериодическим, если корни характеристического уравнения рассматриваемой системы 0,1Л +Л+й„= 0 будут вещественными, т.е.
если детерминант этого уравнения Ь =1 — 4 0,1й„) О, или 1„< 2,5. Так как Д(1) = О, то ошибка е(1) = ед(1). Объект включает интегрирующее звено. Поэтому система является астатической относительно задающего воздействия и статическая ошибка ед (1) = О. Переходная составляющая ошибки еп(Е) — ед(е) — едоо (е) — ед(с). Переходя к изображениям Лапласа, получим ~п(в) = Ед(в) = 14ед(з) -' = Следовательно, 2я /~ (! 0.12 -Ь1 — — г. 153 5.0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
