Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Из последнего уравнения получим сг = сог ) О. Таким образом, параметры, определяемые соотношениями (5.23а) (5.23в), являются решением приведенной выше системы неравенств и уравнений, определяющих условие граничной устойчивости. В связи с тем, что в решении тт принимает максимально возможное значение, параметры являются оптимальными. И д.П. Ким 162 Гл.
б. Синтез елгетем управления Так как при синтезированных параметрах регулятора со = 1, сг —— г = О, сг = ьг и сз = О, преобразованный полипом имеет вид з+ г Его нулями являются о1 = О, дг з = буиг. В силу преобразования Л = д — у нулями характеристического полинома синтезированной системы будут аг л, = — —,. 3 ' Зы Следовательно, степень колебательности р = — пропорциональа1 на ы и обращается в нуль при иг = О. Пример 5.5.
Определить оптимальные параметры П-регулятора и ПИ-регулятора в случае, когда передаточная функция объекта есть 1 И'(в) = .,(0,1 в + 1) Р с ш е н и с. Передаточную функцию объекта можно представить в 10 виде Иг (в) = .. Отсюда в принятых выше обозначениях Ьо = о гг Ив' = 10, аг = 10, аг = О. И в случае П-регулятора в соответствии с равенствами (5.22а), (5.226) имеем г й' = — (ы~+ — ' — аг) = О,Циг + 25), аг 0 =ум= 2 В случае ПИ-регулятора в соответствии с (5.23а).-(5.23в) получаем „з я„= — ~ щг + — ' — аг) = 0,1(ы~ + 25), бе~ 3 аг 10 3 3 5.3.4. Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров типовых регуляторов для объекта 3-го порядка.
В случае объекта 3-го порядка с передаточной функцией И'ь(в) = , Ьо > О, аг > О, (5.24) вз -Ь агвг + агь'Ь ав' найдем оптимальные по степени устойчивости параметры типовых регуляторов. П-рееулятор. Утверждение 59. Опптмальнмй нарамепгр Прееулятора (И'у(в) = я„) и апти альная степень устойчивости определяются следующим образом; о.з. Синтез по нонеинольной степени уетпоанивоетпи 163 ат а) при условтти аг — — ' 3 0 г ь '1з(' а) ат Ч =Чпт 3 а, о) при условии аг — — ( 0 3 Й„* = — (Ч' — атЧ* + агт1' — аз) Ье (5.25) (5.26а) (ое.266) (5.27) (5.28а) (ое 286) 3 Показательство.
Передаточная функция разомкнутой системы есть Ит(в) = Ито(в)И'ь(в) = и характеристический полипом имеет вид Ц(Л) = Л + аз Л + аг Л -~- аз + Ьой . Пття коэффициентов преобразованного полинома ьеп(Я) = Ч + стЧ + тгу+ сз имеем сз = 1т(Л) = [Л +атЛ +агЛ+аз+Ьойн~ л= — о л=-о = — Чз+ атЧ~ — агЧ+ аз + Ьойн, сг = = (ЗЛ + 2атл+ аз) = Зуг — 2атЧ+аз, ать(л) дЛ л=--о л= — и ст = —,, = — (бл+2ат) = — ЗЧ+ат. 1 д~Я(Л) 1 2 дЛг л= — о 2 л=- — о 11" 1 а'12(л) з. ал Условия граничной устойчивости (5.20) принимают вид ст — — — ЗЧ+ а, = О, сг — — ЗЧ вЂ” 2атЧ+ аг ) О, г сз = — Ч' + отт1' — аз Ч+ аз + Ьой = О, и„= — ы + сгот = О.
з ат Из первого уравнения получаем Ч = Ч = —. Подставив это выра- 3' жение во второе уравнение и решив его, получим (5.26а). Неравенство сг~ 7з — — аг — — ' > 0 выполняется при условии (5.25). И последнее равенство будет выпол- нено при соответствующем ат. 164 Гл. б. Синтез систем управления Подставив сюда у' вместо Оы получим (5.28а). Таким образом, пара (й„*,у*), определяемая формулами (5.28а), (5.286), удовлетворяет условиям граничной устойчивости, и так как при условии (5.27) степень устойчивости не может быть больше п1 (иначе сз < 0), й„" является оптимальным параметром, а и' = уз оптимальной степенью устойчивости. ПЛ-регулятор.
Утверждение 5.10. Оптимальные параметры ПЛ-регулятора и оптимальная степень устойчивости определяются следуютим образом: з Ье ~27 3 (5.29а) г ь О 3 ' (5.29в) где ео свободный параметр, пропорциональный степени колебательности. Показательство. Передаточная функция разомкнутой системы есть (5.296) Следовательно, при выполнении условия (5.2ое) пара (й„, и ), определяемая формулами (5.26а), (ое.266), удовлетворяет условию граничной устойчивости, и так как и* равна граничному значению, она является искомым решением.
Если выполняется условие (5.27), то степень устойчивости не может принять граничное значение,так как при этом сз < О. Поэтому будем искать оптимальную степень устойчивости из условия сз —— Зп — 2азу+ аз = О. з При выполнении условия (5.27) это уравнение имеет вещественные корни аз — ,(а,' — Заз аз + З7а~ — Заз уз 3 ' 3 чз Коэффициент сз < 0 в интервале пл < О < Оз и сз > 0 вне этого интервала. Корень пз не может быть степенью устойчивости, так как аз Оз > уы = —. Поэтому рассмотрим, может ли корень пй, совпвдаю- 3 щий со значением (5.286), быть оптимальной степенью устойчивости. Так как сз > 0 и сз = 0 пРи и = Уы паРа (Оый„) бУдет Удовлетворять условию граничной устойчивости, если езз = сзсг — сз = — сз = 0 и сз > О. Последнее возможно только в том случае, когда сз ~ в=т = — О + азу — азу+ аз + бвс„= О, или 3 2 нп = Мз азуз + азиз — аз).
ь 3.3. Синтез по максимальной степени устойчивости 165 и характеристичекий полинам замкнутой системы имеет вид Я(Л) = Лз + азЛг + (аг + Ьойд) Л + аз + Ьой„. Пля коэффициентов преобразованного полинома 'в)п(Ч) — д + слч + сгсг + сз имеем сз = 1е(Л) = [Л +азЛ +(аг+Ьой )Л+ аз+ Ьой ~ л= — о л=- — о = — г1' + алг1~ — '1аг + Ьойд)0+ аз + Ьойд, сг = = (ЗЛ + 2алЛ+ аз+ Ьойд) Ф~) г дЛ л= — о л=- ~ = Зг1 — 2агг1 + аг + Ьойд сл = —, — — (6Л+ 2ал))л-.
„= — Зп+а~., 1 дгс)<Л) дЛ л=-о 1 дзсг(Л) 3~ дЛз л= — о Условия граничной устойчивости (5.20) принимают вид сг — — — Зг1-~-ал — — О, сг = Зг1~ — 2алд+ аз+ Ьойд 3 О, сз = — г1 + агг1 — (аг + Ьойд)г1 + аз + бойд ~ )О,. з+ ал Из первого уравнения получаем г1 = и„, = —. Подставив выражение 3' для сг в последнее уравнение, представим его в виде Здг — 2алг1 -~- аг + бойд — — ол~.
Решив это уравнение совместно со вторым уравнением относительно й„и й, а затем подставив найденное выражение для г1, получим (5.29а) и (5.29б). Из последнего уравнения системы получаем сг — — со ) О. г Следовательно, тройка (й„*, й„", г1*), определяемая формулами (5.29а) (5.29в), удовлетворяет условию граничной устойчивости, и так как степень устойчивости принимает максимально возможное значение, эта тройка и будет искомым решением. При полученных значениях параметров регулятора сл = О, сг = = сог и сз = О. Поэтому преобразованный полинам имеет вид 1;) 19) = Ч + '9 = О, и его нулями являются дл — — 0 и дг з = туса.
Соответственно для ну- лей исходного характеристического полинома имеем а| аз Лл = — —, Лгз = — — т,усо. 3' ' 3 166 Гл. б. Синтез систем упрпвленпя (5.31а) (5.31в) — ал — аг — — аг (5.33а) Ь„* = — (4ц*з — Зал ц'~ + 2агц' — аз), (5.336) Ьо Ь„' = —" (Зг1'~ — 2озц' + аг). (5.33в) Ь Здесь ьз -- свободный параметр, подчиненньзй условию ыз < г 8 <аг — — а. Показательство. Передаточная функция разомкнутой системы есть и характеристичекий полином замкнутой системы имеет вид О(Л) = Л + алЛ + агЛ + (Ьойп+ аз)Л+ Ьойп.
Пля коэффициентов преобразованного полинома езеп(у) = у + слу + сгу + сзу + се имеем 1е(Л) = ц~ — андо+ агЦг — (аз + Ьойп)Ц+ ЬоИ„ л=- ~ де2(л) = — 4ц + Заец — 2агц+ аз + Ьой, л=, — = 6ц — Зал ц+ аг, дз1е(Л) л= — о 1 дз®Л) 3! дЛз л= о с4 сз = сг сл 3. Таким образом, степень колебательности 1л = — пропорциональаз на свободному параметру. ПИ-рееул втор. Утверждение 5.11.
Оптимальные параметры ПИ-рееултпора и оптимальная степень устойчивоппи определяются следующим образом: а) при условии аг — — ал > О 3 (5.30) з й* = — (ьз ~аг — — а — оз )- — а +— З(г/ 8 г гЛ 5 л ааг! Ь ( Л 3 " ) 256 16 )' (5.316) аз ц цы б) при условии аг — — а~з < О (5.32) 3.3. Стзнтсз по максимальной степени дслпойниосстпи 167 Условия граничной устойчивости (5.20) принимают вид сг = бт1~ — Заттт+ аг > О, ст — — — 4тт+ ат = О, сз = — 4т1~+ Затт1~ ст — — тт — атт1 + агт1 и„(сс) = ат — 2агт1 + аз + Ьойн = 0; — (аз + Ьой )т1+ Ьой. > О, г сгы +от =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
