Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ат тт = тйн = —. Подставив выражения 4 уравнение, можно представить его в Из первого уравнения получаем для коэффициентов в последнее вице ит — (бт1 — Затт1+аг)ат +т1 — атт1 +агт1 — (аз+Ьой Ю+Ьой =О. Решив это уравнение совместно со вторым уравнением относительно ат неизвестных й„и Й„и подставив найденное т1 = —, получим форму- 4' лы (5.31а) и (5.31б). Для выполнения условия граничной устойчивости достаточно, чтобы сг > 0 и с4 > О. Из последнего равенства приведенной выше системы получаем ст = сгот~ — со~. Поэтому указанные неравенства будут выполнены, если сг ) ьт или бц Затц + аг ~ )ьт ат 3 г г Подставив сюда тт = —, получаем неравенство аг — — ат > сс .
В силу условия (5.30) это неравенство может быть выполнено. При его вы- полнении тройка (й„, Ь„', т1'), определяемая формулами (5.31а) — (ос.31в), будет удовлетворять условиям граничной устойчивости, и Ь„* и Й„' будут оптимальными параметрами, а т1"' оптимальной степенью устойчивости. При выполнении условия (ос.32) нельзя обеспечить, чтобы опти- мальная степень устойчивости была равна максимально возможному значению О , так как коэффициент сг становитсЯ отРицательным. Попытаемся найти оптимальную степень устойчивости из условия сг = бт1 — Зая+ аг = О. При выполнении условия (5.32) корни этого уравнения являются ве- шественными и равны 1( 8 1 1( г 8 тйсе — ) ат — а — — аг ) т1г=-~ а,-е а — — аг 4~ т 3 ~' 4), 3 Коэффициент сг < 0 пРи ттт < О < Ог и сг > 0 вне этого интеРвала.
Корень т1г нс может быть степеньк> устойчивости, так как он больше гРаничного значениЯ т1ти. Ясно, что оптимальнаЯ степень Устойчивос- ти тт* не может быть больше ттт. Покажем, что она равна ттт. Когда тт = т1т, ст > 0 и сг = О. ПРи со = 0 из необходимого УсловиЯ граничной устойчивости Михайлова ин(от) = от~ — сэнт~ + от = О,. и(от) = — стиг+ сзот = 0 168 Гл. б. Синтез систем управления имеем се=О и се=О или у — ая + азу — (аз + ЬоМЧ+ Ьой = О, — 4ц~ + Зазц — 2агу+ аз + Ьойз = О.
аз ое — + — — аз), 2 16 (( з + )зз) 15.34а) 15.34б) 15.34в) 3 +-а -аг) 8 з )' Й„" = — ~ — а, + 1ьзз + 13з) — ' + ьз,а ~, Ь 9 =бы=в 15.34г) где свободньле параметры ю и 13 являются .мнимыми часпгями корней а1 аз характеристического уравнения (Лз з = — — к уьз, Лзд = — — к 30) 4 ' ' 4 Показательство. Характеристическийполином синтезируемой системы и преобразованный полинам имеют соответственно вид Я(з) = Л + азл + 1еаз + Ьой„)Л + е1аз+ Ьойн)Л+ Ьой„, 'Ев1Ч) = Ч + Сзу + Сзч + СЗД+ С4, где с4 = "е(Л) = у — аьц + 1аз + Ьокя)ц — 1аз + Ьокп)Ц+ Ьокн, л= — ~ сз = адил) = — 4У + Заза — 21аз + ЬоЬя)Ц+ аз + Ьой, ал сз = —, аЛз — — бц — Зазц+ аз + Ьой~, 1 а'с)<л) 1 азЕЛ) "= 3.
аЛз = — -4У+а,. Л= — о Решив эту систему уравнений относительно Ь„и Л„и подставив и = = цы получим Ь„* и Ь„*, определяемые формулами 1ое.ЗЗа) 15.33в). При таких параметрах елз = О. Следовательно, при выполнении условия 15.32) тройка (й„', й„', з1'), определяемая формулами 15.33а)- 15.33в), удовлетворяет условиям граничной устойчивости,и ц* является оптимальной степенью устойчивости, .а Й„* и Й„* - оптимальными параметрами. ллязл1"-регулятор. Утверждение 5.12. Оптимальные параметпры ПИл)регулятора и оптимальная селепень устойчивости определяются следующим образом: 5.8. Синтез по аонсиаоаиной степени устойииоости 169 Условие маргинальной устойчивости (5.20а), (5.20б) принимает вид ст = О, сг ~ )О, сз = О, с4 ~ )О, — + с4 = О.
г Из последнего равенства получаем С4 = (сг иl )от Неравенства с4 > 0 и сг > 0 будут выполнены, если сг — отг > О. Вводя дополнительный параметр Д, последнее неравенство преобразуем в равенство сг — ат- — 13 = О, 2 2 и условие граничной устойчивости можно записать в виде ст = — 40+аз=0, сг = бт1~ — За121 + аз + Ьойи = итг + )32, сз = — 4бз+ Затт1 — 2(аз+ Ьо1сн)т1+ аз+ Ьойи = О, с4 = т14 — аз т12 + (а + Ьойи 02 — (аз + Ьойн)21 -Ь Ьойн = итгт32.
Решив эту систему уравнений, получим ат 41 = тйн 4 ' 14'ггзг Й = — тсо +12 + — а — аг), ь,т1 1 з 1 У г г ат а, ь.~ 2 16 где ит и 13 — произвольные параметры, которые могут быть зада- ны исходя из дополнительных требований к качеству системы. Они представляют мнимые части корней характеристического уравнения синтезированной системы, и поэтому отношение шах (оз,т3)тт1 соот- ветствует степени колебательности системы. Лействительно, под- ставив выражения для коэффициентов с, (т' = О, 1, 2, 3, 4) из получен- ной выше системы уравнений в полинам Щ,1д), получим 4'1.ту) = у' + ( ' + 13')у' + "т3'. Нулями этого полинома являются 4112 = ~уоз и дз 4 = ~ут3 и соот- ветственно нулями исходного полинома Л1 г = — т1 т уы и Лз 4 = = -11~ут3 В полученных решениях степень устойчивости принимает макси- мально возможное значение.
Следовательно, они являются искомыми решениями и совпадают с (5.34ан5.34г). П р и м е р 5.6. Определить оптимальные параметры П-регулятора, ПЛ-регулятора, ПИ-рсгулятора и ПИЛ-регулятора в случае объекта, у которого передаточная функция равна 1 И'о1з) = з(0,5 зг -Ь 1,5 з 4- Ц 170 Гль б. Сттнтез состава уараввенття Решение. Преобразовав передато тную функцию объекта к виду 2 ) вз -Ь Ззг 1-2з' получаем Ьо —— 2, аз —— 3, аг — — 2 и аз — — О.
П-рееуаятар. Проверим, какое из условий, (5.25) или (5.27), выполняется: ат аг — — = 2 — 3 = — 1 < О. 3 Выполняется условие (5.27). Поэтому согласно формулам (5.28а), (5.28б) имеем а — зттат — За З вЂ” тез — 6 т1'— 3 3 — 0,43, ьо' = — (т1"~ — азт1*~ — агт1" — аз) = — (0.43 — 3 0,43 + 2 0,43) = 0,19. ь Пд-регуаятлор.
Согласно формулам (5.29а) и (5.19б) з й„= — ~ — -газ — — аз) = 0,5(1 ~-ат ), 1 /ат газ г Ьо 127 3 Й" = — тзта + — — агтт = 0,5(1+ ат ). 1/ г а, г Ь.1 З Напомним, что ат является произвольным параметром, который можно задать исходя из дополнительных требований. ПИ-рееуаятлар. Проверим, какое их условий, (5.30) или (5.32), вы- полняется: и — — а =2 — —.9(0. г 8 т= 8 Выполняется условие (5.32). Поэтому в соответствии с форму- лами (5.33) имеем 1 тт 8 'И = — (х — — — аг ) = 0,27, 1 й„' = — (4тт* — Затт1* + 2агтт' — аз) = 0,25, г Ьо 1„* = — (Зт1'~ — 2азт1' + аг) = 0,022.
Ьо ПИД-регулятор. Согласно формулам (5.34а), (5.34б) и (5.34в) имеем а„' = — ((ат~ + тз~) — ' + — ' — аз) = 0,5 [1,5(ат~ + тзг) + 1,69], ь 2 16 й" = — ~та -'г тз + — ат — аг) = 0,5 (от + тЗ + 1,375), .-Ь.( 8 Ьо 256 = Оз5 (0,32+ 0.,56 (атг +,зг) + ат~тЗ~). о.в'. Синьпез по оиеваемоьь пеуеь1аточноьь фуннпии 171 5.4. Синтез системы управления по желаемой передаточной функции Пусть задана передаточная функция объекта И',(в) и желаемая передаточная функция И' (в) замкнутой системы. Тогда, передаточная функция регулятора Иь„(в) может быть получена из равенства передаточной функции Иьрв1в) замкнутой системы (см.
рис. 5.1) желаемой передаточной функции: И'р(в)Иь 1в) И Рв(в) И,. ь )Иь ь ) И ж (в). Разрешив это равенство относительно передаточной функции регуля- тора, получим 1 И' (в) И' (в) 1 — И' (в)' или, если принять Иь (в) = —, РЮ о Д(в) И' (в) (5.35) РЯ 1 — И' (в) При задании желаемой передаточной функции И' (в) и определении передаточной функции регулятора И'р(в) необходимо учитывать физическую осуществимость определяемого регулятора и грубость синтезируемой системы.
Поэтому прежде всего рассмотрим эти понятия. 5.4.1. Физическая осугцествимость и грубость. Под физической осуществимостью или реал зуемостью передаточной функции или системы, заданной этой передаточной функцией, понимают принципиальную возможность построения такой системы. Передаточная функция физически осуществима, если ее относительный порядок, равный разности степени знаменателя и степени числителя, нсотрицателсн. условие физичоской осуществимости передаточной функции ( ) Ь в -~-Ь,в ь-е...-~Ь аов" -Ь аьв" ' -Ь ... -'на„ имеет вид п — т > О.
(5.36) Если система определяется весовой функцией ю(ь), то условие ес физической осуществимости имеет вид ю11) = 0 при ь' < О или иь11 — т) < О при ь < т. Это условие выражает тот факт, что реакция системы не может возникнуть до начала приложения воздействия, вызывающего эту реакцию, или следствие нс может предшествовать причине. 172 Гл.
б. Синтез систем управления Система называется грубой или робостной, если при малом изменении се параметров свойство системы качественно не меняется. В случае линейной системы негрубость означает, что устойчивая система при малом изменении параметров становится неустойчивой. При синтезе систем по желаемой передаточной функции грубость может быть нарушена, если правый полюс передаточной функции объекта компенсируется правым нулем передаточной функции регулятора, а правый нуль объекта правым полюсом регулятора. 1 Например, .если передаточная функция объекта Иге(в) = и Тв — 1 1 желаемая передаточная функция Ие (в) = —, то по формуле (5.35) в -Ь 2 ' Тв — 1 передаточная функция регулятора И'р(в) = . Передаточная в -Ь 1 функция разомкнутой системы есть И'(в) = Иер(в)И' (в) = и синтезированная система в разомкнутом и замкнутом состоянии устойчива.
Однако допустим, что постоянная времени принимает значение Т+ бТ (дТ малая величина). Тогда (Т+ 6Т)в — 1 о (Т -Ь бТ)в — 1 1 И'(в) = в-Ь1 Тв — 1' и характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид ТЛ + (2Т + бТ вЂ” 1)Л вЂ” 2 = О. Таким образом, при мгоюм изменении параметра система (в замкнутом и разомкнутом состоянии) неустойчива и, следовательно, синтезированная система не обладает свойством грубости. В данном случае зто происходит из-за того, что правый полюс объекта компенсируется правым нулем регулятора. Итак, при использовании метода синтеза системы по желаемой передаточной функции нельзя допускать компенсации правых полюсов и нулей передаточной функции объекта соответственно правыми нулями и полюсами передаточной функции регулятора. 5.4.2.
Синтез передаточной функции регулятора. Представим передаточную функцию объекта следующим образом: Р(в) Р (в)Ре(в) И'„(в) = — =,, (5.37) где Р (в), Л (в) полиномы с левыми нулями; Р"'(в), Л'(в) полиномы с правыми и нейтральными нулями. Если полиномы Р(в) и Л(в) не содержат левых нулей, то Р (в) и Л (в) равны константе; если они не содержат правых нулей, то Ръ(в) и Л+(в) равны константе. 54. Синтез по оиезоеной пере0отонноц функции 173 Подставив (5.37) в (5.35), получим (5.38) Лля того чтобы правые полюсы и нули передаточной функции объекта (5.37) не компенсировались соответственно правыми нулями и полюсами передаточной функции регулятора (5.38), последняя не должна содержать полиномы Р+(е) и В+(е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
