Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Это возможно, если в (5.38) И' (е) содержит множитель Р (е), а 1 — И' (е) множитель Я~(з), т. е. если желаемая передаточная функция удовлетворяет словиям Л (е)г1'(з)е С( ) Подставив (5.39) и (5.40) в (5.38), получим (5.40) В (е) М(е) Р (е) Ж(е)е" (5.41) Исключив И' (е) из (5.39) и (5.40), найдем полиномиальное уривнение Р '(з)М(е) + Л" (е)Л(е)е' = С(е). (5.42) Рассмотрим, каким условиям должны удовлетворять степени неопределенных полиномов, чтобы регулятор был физически реализуем и полиномиальное уравнение было разрешимо. При этом условимся степень полинома обозначать буквой и с индексом, обозначающим сам полипом. Например, пт будет обозначать степень полинома Т(в). Условие разреишмоеяпи.
Коэффициенты полиномов М(в) и Х(з) определяются из системы уравнений, которые получаются путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях обеих частей полиномиального уравнения (5.42). Число уравнений равно поз+ 1, а число неизвестных равно пм + пм + 2. И чтобы система была раз- у Р"-еМз Р (е)М(е) (5.39) С(. ) ( ) Ре'е(е)Ае(е) С(з) где С(е) знаменатель желаемой передаточной функции, определяемый требованиями к качеству синтезируемой системы в переходном режиме; М(е) и Х(е) --- неопределенные полиномы, которые находятся из полиномиального уравнения, получаемого ниже.
Если объект управления содержит оо интегрирующих звеньев, то для того, чтобы синтезируемая система была астатической и обладала астатизмом и-го порядка относительно задающего воздействия и (о — оо)-го порядка относительно возмущения, передаточная функция регулятора должна содержать в знаменателе множитель з" (г = и — оо). А это возможно, если этот множитель будет включен в1 — И'.
е 174 Гл. Э. Синтез систем управления решима, число уравнений не должно превышать числа неизвестных: по+1 < им+им+2, или по < пм+пж+1. (5.43) Условие физической осущестпеилеости. Очевидно, относительный порядок передаточной функции регулятора (5.41) будет неотрицательным, если пл- +пм <пр — +пи+с. (5.44) Относительный порядок передаточной функции в левой части соотношения (5.40) равен нулю. И так как относительный порядок передаточной функции в правой части также должен быть равен нулю, получаем еще одно условие по = пле + пм + г, (5.45) которое нужно учитывать при опрсделении степеней неопределенных полиномов.
Метод синтеза регулятора по желаемой передаточной функции состоит в следующем. Исходя из условий (5.43), (5.44) и (5.45) определяют степени неопределенных полиномов пм и пм. Чтобы не усложнять регулятор, находят наименьшие возможные значения. Затем составляют полиномы М(в) и Х(в) с неопределенными коэффициентами, подставляют их в полиномиальное уравнение и определяют неизвестные коэффициенты. Найденные полиномы М(в) и Х(в) подставляют в (5.41) и получают искомую передаточную функцию регулятора.
Пример 5.7. Передаточная функция объекта имеет вид И'„(в) = 1 Определить передаточную функцию регулятора, при кое(в -Ь 1) торой переходная составляющая ошибки я(1) изменяется в соответствии с я(1) = (Сз + Сз1 + Сз1 )е и установившаяся ошибка равна нулю при: а) постоянном задающем воздействии (д(1) = сопв1) и отсутствии возмущения (Д(1) = О); б) постоянных внешних воздействиях (д(1) = сопв1, Д1) = сопвФ).
Решение. Переходная составляющая ошибки будет изменяться в соответствии с заданной функцией, если характеристический полином синтезируемой системы имеет трехкратный нуль, равный — 1 (Лз = Лз = Лз = — 1). Поэтому знаменатель желаемой передаточной функции С(в), равный с точностью до обозначений аргумента характеристическому полиному, имеет вид + цз Числитель и знаменатель передаточной функции объекта раскладываются на множители Р (в) = Ре(в) = Р(в) = 1, Л (в) = в+1, Рее(в) = ю Степени полиномов равны по = 3, пр- = пре = О, пр,— — — пле = 1. 54.
Синтез по иеевоеиод пег>е0отонно>1 ф1>нилин 175 а) Статическая ошибка ев,, = О, если система обладает астатизмом 1-го порядка 1р = 1) относительно задающего воздействия. Так как объект содержит одно интегрирующее звено (ро = Ц, г = =и — ив=О. Условия (5.43), 15.44) и 15.4ое) принимают соответственно вид 3 < пм+г>и+1, 1+пм < пм, 3= 1+пи.
Из послоднего равенства получаем пк = 2. Наименьшим пм, удовлетворяя>щим приведенным условиям, является пм = О. ПоэтомУ М(в) = Ьо и >У1в) = аов +а>в+аз. Подставив эти полиномы в полиномиальное уравнение 15.42), получим Ьо + в1аов + а>в+аз) = в + Зв + Зв+ 1. Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим ао = 1, а> = 3, аг = 3, Ьо = 1 и >>'(в) = вг + Зв+ 3, М(в) = 1. Подставляя эти полиномы, а также выражения для Р (в) и В (в) в 15.41), получим искомую псредаточв -р 1 ную функцию регулятора И'р(в) = вг -р3в-р3 б) Чтобы статическая ошибка была равна нулю при действии возмущения, регулятор должен включать одно интегрирующее звено.
Поэтому в данном случае г = 1. И условия (5.43), (5.44) и (ое.4ог) принимают соответственно вид 3 < пм+пм+1, 1+ам < ам+1, 3 =1+пи+1. Отсюда пм = 1, пм = 1 и Х(в) = аов+ а» М>в) = Ьов+ Ь>. Подставив найденные полиномы в полиномиальное уравнение (5.42), получим Ьов + Ь> + в1аов + а>)в = вз + Звг + Зв + 1. Из этого уравнения находим ао = 1,. а> = 3., Ьо = 3, Ь> = 1. Следовательно, 1>'(в) = в+ 3, М1в) = Зв+ 1. Подставив эти полиномы и выражения для Р 1в) и Л (в) в (5.41), получим искомую передаточную функцию (е -р 1) (Зо ->- Ц 1в + 3)в Пример 5.8. Передаточная функция объекта имеет вид И;(в) = 1 Синтезировать регулятор, при котором ошибка х(1) (в — Ц(в -р 1) ' в переходном режиме (ее переходная составляюгцая) изменяется в соответствии с х11) = (С> + Сг1+ Сз1 )е ', а в установившемся режиме при постоянных внешних воздействиях (статическая ошибка) равна нулю.
176 Гв. 5. Синтез систем уиреевенов Отсюда пм = 1, им = 1. Поэтому Х(в) = аов + аы М(в) = Ьов + Ь,. При подстановке этих полиномов полиномиальное уравнение (5.42) принимает вид Ьов + Ь, + (в — 1)(аов + аз)в = " + 3з + 3в + 1. Из этого уравнения находим ао = 1, аз = 4, Ьо = 7, Ь1 = 1. И соответственно Х(в) = в + 4, М(в) = 7в + 1. Подставляя их и выражения для Р (в) и 77 (в) в (5.41), найдем искомую передаточную функ- (в -Ь 1)(7в Е- 1) 5.4.3. Определение желаемой передаточной функции. Желаемая передаточная функция должна быть определена исходя из заданных требований к качеству синтезирусмой системы. Па ее выбор определенные ограничения накладывают условия грубости и физической осуществимости.
В силу этих ограничений желаемая передаточная функция имеет вид (см. (5.39)) Ре (в)М(в) С( ) где Ре (в) полинам с правыми нулями передаточной функции объекта (5.37); М(в) полинам, определяемый в процессе синтеза. Поэтому определение желаемой передаточной функции сводится к выбору полинома С(в). Здесь мы рассмотрим определение желаемой передаточной функции, основанное на использовании типовых нормированных переца- точных функций. .4. Норввнраванная передатпочная функция. Пусть задана передаточная функция Ьав"' + Ье в'" 1 -Ь... -Ь Ь Ф(в) = аав" -'е а1в" ' + ...-Ь а (5.46) Произведем замену переменных Решение. Переходная составляющая ошибки будет изменяться в соответствии с приведенной выше функцией, если знаменатель желаемой передаточной функции имеет вид С(з) = (в+ 1)з.
Статическая ошибка будет равна нулю, если порядок астатизма и = 1. В цанном случае т = и = 1. Числитель и знаменатель передаточной функции объекта раскладываются на множители Р (в) = Ре (в) = Р(в) = 1, Л (в) = в+ 1, 71 а(в) = в — 1.
Степени полиномов равны по = 3, пр- — — пре —— О, пл- — — пд = 1. Условия (5.43), (5А4) и (5.45) принимают соответственно вид 3 ( пм + ин + 1, 1 -1- пм ( пм + 1, 3 = 1+ ии + 1. 54. Синтез по желаемой передашочной функции 177 Тогда получим Ь.й + Ь,Ч + ... + Ь д" + аьч" ь -Р ... + а„ ьо + 1 (5.47) где Ь, Ь;= а а~ аиа" Ь = 1, 2,..., и — 1. (5.48) Ф(Ь1) называется нормированной передатпочной функцией или передаточной функцией в форме Вышнеградского. Нормированная передаточная функция характеризуется тем« что в знаменателе ко- эффициент при старшей степени и свободный член равны единице.
/11 Рассмотрим преобразования Лапласа функций и1ь) и и ( — ): Х1в) = / а(ь) е ' д1, о — а( — )е «тд1 = ~т1т)е тт дт = Х1«ь). о о Отсюда следует, что преобразование о = ав для переменной преобра- зования Лапласа равносильно преобразованию т = Ьт«а для перемен- ной оригинала и умножению оригинала на 1Ьа. И так как умножение переходной функции на константу не влияет на время регулирования, то время регулирования Ьр исходной системы 15.46) и время регулиро- вания тр для системы с нормированной передаточной функцией (5.47) связаны соотношением 1р = атр«или а = — р.
ьр 15.49) тр На последнем равенстве основано определение желаемой передаточной функции, когда, наряду с другими требованиями, нужно обеспечить заданное время регулирования. По заданным требованиям к качеству синтезируемой системы, кроме требования к времени регулирования, находится стандартная нормированная передаточная функция Ьой- + Ь, ц--'+" + Ь,„ в" а а«в" -~-...-~-а «и -р 1' и для нее определяется тр. По полученному тр и заданному 1р находится а = 1р/тьи Учитывая равенство а = «««аот«аи и формулы 15.48), положив а„= 1«для коэффициентов желаемой передаточной функции находим ао=а", аз=агап ь, а,„=1, 1=1,2«...,п — 1. 15.50а) 15.506) Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
