Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(5.126) Поэтому, в силу утверждения 5.3, если при выполнении условий (5.6) и (5.10) будет установлено, что система (5.12) имеет по меньшей мере 1 — 3 вещественных корней, то полинам Д(2) будет маргинально устойчив. Пусть все нули полинома 1(2) являются особыми. Тогда в силу (5.11) при п = 4 о(а4) = О, и система (5.12) вырождается в уравнение аоы — а2ы + а4 = О, (5.13) а при п = 5 и(со) = О, и система (1.8) вырождается в уравнение (аоа4 — а2~ ~ + а4)со = О. (5. 14) Уравнение (5.13) имеет по меньшей мере два, а уравнение (5.14) три действительных корня, если с4л = аз — 4аоа4 > О.
(5.15) Поэтому, в силу утверждения 5.3, при и = 4 и и = 5 все нули полинома Д(2) будут нейтральными, если выполняются условия (5.6), (5 11) и (5 15) 5.3.2. Метод синтеза систем управления максимальной степени устойчивости. Метод решения этой задачи основан на преобразовании характеристического полинома Я(Л) = аоЛо + + а4Л" 4 +... -~- ао путем подстановки Л = д — ц. При этой подстановке преобразованный полинам СС (Ч) = СС(9 — 4) = СОД" + Сзу" +...
+ Со, где сс = — й' дЛ"-в, Й=0,1,...,п, (517) 158 Гл. б. Синтез систем управления становится маргинально устойчивым полиномом. И для О>„(д) выписываются условия маргинальной устойчивости, включающие условия (5.6), (5.10) и (5.12): с, > О, 1' = 1, 2,...,п (со > 0), 11"„= оп 1 = ... = Ь"„1л1 — — О, Ь"„1 > О, ..., л1 > о, (5.186) и„(из) = ЕеЯиОоз) = О, о,(из) = 1шоп(роз) = О. (5.18в) Здесь ех"; (1 = 1, 2,..., и) .— определители Гурвица преобразованного полинома Юи(Ч) .
Коэффициенты исходного характеристического полинома зависят от параметров регулятора, а коэффициенты преобразованного поли- нома зависят еще и от степени устойчивости 11. Рассматриваемый метод состоит в следующем; решается система (5.18а)-(5.18в) относительно неизвестных параметров регулятора и степени устойчивости 0 и находятся решения, у которых и имеет наибольшее значение. При использовании этого метода важно знать максимально возможное значение 21, которое может принять степень устойчивости. Утверждение 5 6.
При фиксированных ао и а1 степень устойчивости 21 устойчивого полинома ®(Л) принимает, максимально возможное значение, равное 11п2 1 а1 (5.19) п ао когда вещественные части всех нулей Ц(Л) равны между собой. Максимально возможное значение у будем также называть граничным значением (О < и < ут). Доказательство. Разложим полинам Я(Л) на элементарные множители: ег(Л) — ав(Л Л1)(Л Л2)... (Л Л ).
Перемножив выражения в правой части, получим, что коэффициент при Лп 1 равен ао(Л1 + Лг +... + Лп). Учитывая, что тот же коэффициент равен а1, получаем л +л +...+л„= —. ао Пусть нули Л; имеют вид Ле = — ее1 +Щ, он > О, 1 = 1,2,...,и. В силу того, что Я(Л) является полиномом с вещественными коэффициентами, если какой-либо корень Л1 является комплексным (111 ф 0), существует комплексно-сопряженный корень Лее1 = = — о, — 161.
Поэтому мнимые части сокращаются, и полученное выше равенство принимает вид а1 111 + о2 + ° ° + ехп— ао Отсюда следует., что степень устойчивости принимает максимально возможное значение, определяемое равенством (5.19), когда все о, равны между собой. Действительно, если ое не равны между собой б.й. Синтез по максимальной огпвпени устой гивоспги 159 5.3.3. Синтез оптимальных по степени устойчивости параметров типовых регуляторов для объекта 2-го порядка.
Пусть передаточная функция объекта имеет вид И'о(в) =,, Ьо > О, аг > О. (5.21) я' -Ь агв -г аг Найдем оптимальные параметры П-регулятора и ПИ-регулятора. В случае ПЛ-регулятора и ПИД-регулятора число параметров равно степени характеристического уравнения и степень устойчивости могкет быть сделала равным произвольному заданному числу. П-регулятор. Утверждение 5.7. Оптимальный параметр П регулятора (Ир1в) = к„) определяется следующим образом: г па(4)' ь где ог свободный параметр, пропорциональньгй степени нолебапгельноплги, и оптимальная степень успгойчивостпи равна макси,мально возможному значению: (5.226) (5.22а) 1 аг и какое-либо и„> г1т = — —, то сУществУет дРУгое по котоРое и ао меньше ут.
И так как О = пг1п Ке ~Л,~ = шш н, то степень устойчиг вости в этом случае будет меньше улп. Поиск решения задачи синтеза максимальной степени устойчивости следует начинать со случая, когда степень устойчивости принимает граничное (максимально возможное) значение. Так как это возможно, когда все нули исходного полинома имеют одинаковые вещественные части или все нули преобразованного полинома Ц„(у) располагаются на мнимой оси, в силу утверждения 5.5 условие маргинальной устойчивости (5.18) можно представить в виде сг = О, сг ) О, сз = О, сл ) О, (5.20а) своз сгог ~ + слог ~ ...
= О. (5.206) Если система (5.20а), (5.206) не имеет решения, то нужно перейти к системе (5.18а)- (5.18в) и решить ес при 1 < и — 1. В общем случае (5.18а) (5.18в) и (5.20а), (5.20б) являются необходимыми, но не достаточными условиями граничной устойчивости полинома Я„®. Поэтому, решив систему (5.18а) — (5.18в) или 15.20а), (5.20б), нужно убедится, что при найденных значениях параметров среди особых нулей полинома Ц„(д) нет правых нулей. При решении систем (5.18а)-(5.18в) и (5.20а), (5.206) ог рассматривается как (вещественный) параметр. Если удается найти требуемое решение указанных систем при ы ~ О, то это значит, что уравнение (,)„Цог) = 0 имеет по меньшей мере два вещественных корня.
И в этом случае указанную дополнительную проверку нужно производить только при 1 ) 6 или п > 6, когда 1 = и. 160 Гл. б. Синтез систем упроеленггя И (е): Ир(е)Иг (е) и характеристический полинам принимает вид Я(Л) = Л + алЛ+ аз+ Ьойп, Пля коэффициентов преобразованного полинома ег~п — соу + сгу + сг г в соответствии с (5.17) имеем сг = ®Л)~л — — — — (Л + алЛ+ аз + Ьойп)!л= — „г1 — агг1+ аз + ЬоЛп, сг = = (2Л+ аг) )„= — 20+ аг, дс'„г(л) 1 дг41(Л) "=2 дЛ л=-,=' В данном случае условия граничной устойчивости (5.20) принима- ют еле ю ий ви: ду ш д сг = — 2г1+ ал = О, сг = г1 — алг1+ аз + Ьок„> О, ип(иг) = — соог~ + г1~ — агг1+ аг + Ьойп — — 0 Решив эту систему, получим „г ". = -(-'- -'-") Ь аг 2 ' Так как степень устойчивости принимает граничное значение, найденное решение является искомым.
Это решение совпадет с (5.22). Подставив выражение для Ьп в характеристическое уравнение, по- лучим уравнение Л + алЛ+ — '+ ьг~ = О, аг корнями которого будут Лл г — — — — туы. Отсюда степень колсба- 2 тельности д = 2 †,и она пропорциональна ы. аг ПИ-рееулнтор. Утверждение 5.8. Оптимальные параметры ПИ-регулятора ( ° = - —:) Ь„Л И"р(з) = Ь„+ — ") и оптимальная степень устойчиеосгпи определяютсн следуюигим образом; г < = 1 ( '+ '2' —,), Ьо (5.23а) аг При — ' — аг > 0 степень колебательности можно сделать равной 4 нулю, положив ог = О.
Если при — — аг < 0 принять ы = О, то Ь* аг 4 и получается отрицательным или равным нулю. Показательство. Передаточная функция разомкнутой системы есть б.д. Синтез по максимальной степени устойчивости 161 (5.23б) Ч вЂ” 0 — 3 (5.23в) еде ьт — свободный параметр, пропорциональный степени колебательности. Доказательство.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид и характеристический полинам принимает вид ьт1Л) = Л + атЛ + (ог + Ьок„) Л + Ьок„. Коэффициенты преобразованного полинома "тпттт) — СОЧ + С1!т + С211 + СЗ определяются следующим образом (см. (5.17))1 сз = Ю(Л)/л = ~Л +а1Л +(аз+ Ьойп)Л+Ьойп1 тт + С11Ч таг + Ьвко)11 + Ьвкп, сг = = (ЗЛ +2атЛ+аг+Ьойп) ~( ) 2 дЛ л=-в = 321~ — 2а121 + аг -е Ьойп, ст = —, = — (6Л+ 2ат) = — 321+ ат, 1 дгтд(Л) 1 2 дЛ1 л= — и 2 Л= — с1 два(Л) 3! дЛз л=.
в Условия граничной устойчивости (5.20) принимают вид ст = — 321+ ат = О, сг = 311~ — 2аттт+ аз+ Ьой„> О, сз = Оз+ аттт — (аз+ ЬС1с )т1+ Ьо1с„= О, и ттто) = — слтат~ + сгто = О. ат Из первого уравнения получаем тт = —. Подставив выражения для 3 коэффициентов в последнее уравнение, его можно записать в виде Ъ)~ — 2атт1 + аг + Ьойп = ит~. Решив это уравнение совместно со вторым уравнением относитель- но Й„ и Й„, затем подставив найденное значение для степени устой- чивости, получим 1ое.23а) и (5.23б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
