Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Следовательно, ае = 1, а1 = 3, аз = 2, бе = 1 и согласно (5.55) и = х + 2х + 2А = (Р+ 2)х + 2д(1) (д(1) = А). Используя передаточные функции относительно входов х и у, полу- Рис. 5.2. Структурная схема (к примеру 5.10) ченный алгоритм управления можно записать в следующем виде: 11 = Иих(Р)Х+ И из(Р)д: И их(Р) = Р+ 2 И ад(11) = 2. На рис. 5.2 представлена структурная схема синтезированной системь1. Аспзатаический закон управления. В примере 5.10 синтезированный регулятор определяется двумя передаточными функциями. Хотя система не является астатической., статическая ошибка от задающего воздействия равна нулю. Это обусловлено наличием звена с передаточной функцией И' (Р).
Однако при неточном знании модели объекта или действии неконтролируемых (не учтенных в уравнениях) возмущений статическая ошибка не будет равна нулю. Поэтому желательно, чтобы закон управления (5.55) включал интегральный член. Такой закон управления будем называть аспдатичееким. Астатический закон управления можно получить следующим образом. В уравнении (5.52) и равенстве, которое получается дифференцированием (5.52), сделаем подстановку С1е М = 21 и Сзе ~з~ = 22.
Тогда получим х(1) = 21 + 22, х(е) — л121 л222 ° Разрешим эту систему равенств относительно 21 и 22. Лзх(2) -~- х(2) Л1х(2) -~- х(2) 22— Л1 Л2 Л1 Л2 б.б. Метод обратной задачи динамики 183 Проинтегрировав 15.52) по 1, получим 1 1 1 х1т) Йт = — — гз — — гг. л л о Подставив сюда найденные выше выражения для гг и гг, умножим обе части на о 1о — константа); о~хЯ т1т = — — ~(Лг + Лг)х(Е) + х]1)]. о Учитывая обозначения Лг = Лг + Лг и Лг = ЛгЛг 1см. 15.53)), это равенство можно представить в виде оЛг~хЯ 4т = — оЛ,хЯ вЂ” ох(1).
]5.56) о ао Прибавляя и вычитая — (оЛгх + ох), закон управления 15.55) преоб- Ь разуем к виду и — (ао ~(Лг — — ) х + (Лг — — ) х + 1пх + оЛг х)— Ьо ао ао — 1ох+ оЛгх)] + агу + агу + агд ). Отсюда с учетом 15.5б) получим астатический закон управления и = — ~ао ~(Лг — — + о) х+ (Лг — — + оЛг)х+ + оЛг~х)т) йт] + агу' + агу + агуо). о Здесь о можно задать исходя из дополнительных требований. 5.5.2.
Объект 3-го порядка. Пусть объект управления описывается уравнением ао у + ~(у;гд,д,1) = Ьои, ао > О, Ьо у'. -О. 15.57) Задан требуемый закон изменения до1г) выходной переменной у. Требуется найти алгоритм управления, при котором ошибка 'И) = у'Р) — Ы1) изменяется следующим образом; С е — лп + С с — лзг + Сзс — лзо Здесь Сы Сг, Сз -- произвольные постоянные, .Л~,.
Лг, Лз -- заданные положительные постоянные. Эта функция является решением дифференциального уравнения х + Ллх+ Лгх + Лзт = О, Лг = Лг + Лг + Лз, Лг = Л~ Лг + ЛгЛз + ЛгЛз, Лз = ЛгЛгЛз. 184 Гл. б. Синтез систем управления Поэтому в рассматриваемом случае у = у — х = у" +Лзх+Лзх+Лзх, р = у — х, у = у — х, р = у х. Подставив эти выражения в (5.57), получим и = (ао у (г) + ао(Лзх + Лзх + Лзх) + ".о Ьо + У(р (г) — хЛ р (1) — х, уо(1) — х,. 1)~.
(5.58) Линейный стационарный объект 3-го порядка ао у + азу+ азу+ азу = Ьоа, ао > О, Ьо у': О, является частным случаем нелинейного объекта (5.57), когда 7(р', у, у, 1) = азу + азу + азу. Поэтому из (5.58) имеем и = — ) аз [(Лз — — )х+ (Лз — — )х+ (Лз — — )х~ -1- +пор (1)+азу' (1)+азу' (Ь)+азу И)~ (5.о9) Пример 5.11. Пусть передаточная функция объекта имеет вид 1 Иг,(в) =, и задающее воздействие д(1) = А (А консв(вз з Зз + 2) танга). Определить алгоритм управления, при котором ошибка х(1) = = А — у(1) изменяется в соответствии с х(1) = (Сз + Сзу + Сз1 )с Решение. В данном случае Лз = Лз = Лз = 2, Лз = 6, Лз = 12 и Лз = 8, уравнение объекта имеет вид у +Зр+2р = и. Поэтому ао = 1, ас = 3, а = 2, аз = О, Ьо = 1 и из (ш59) получаем и = Зх + 10х + 8х. Передаточная функция регулятора имеет вид И'р(р) = Зрз + 10р + 8.
Физическая осуществимость. Алгоритм управления, определяемый методом обратной задачи динамики, как правило, не удовлетворяет условию физической осуществимости: относительная степень передаточной функции синтезированного регулятора отрицательна. Поэтому его точно осугпествить (реализовать) не удается. Это связано с тем, что нельзя реализовать точный (идеальный) дифференциатор.
Однако при решении вопроса о реализуемости алгоритма управления его нужно рассматривать с учетом заданного объекта управления. Может оказаться, что требуемые производные можно определить путем измерения. 185 5.6. Синтез при наличии чистого запаздывания Например, пусть передаточная функция объекта имеет вид 1 И"„цз) =, передаточная функция регулятора И'р (р) = Й„-~- Йяр ргр+1) ' и задающее воздействие д(1) = у~11) = до (до константа). В данном Рис.
5.3. Структурная схема (к вопросу о реализуемости) случае производную можно измерить и алгоритм управления можно точно реализовать 1рис. 5.3). В случае линейных систем, имея желаемое дифференциальное уравнение, легко получить желаемую передаточную функцию. Поэтому, казалось бы, нет особой разницы между методом обратной задачи динамики (ОЗЛ) и методом желаемой передаточной функции 1ЖПФ). Однако между этими двумя методами существует принципиальная разница, заключающаяся в следующем.
1) Алгоритм управления, полученный методом ОЗД, в общем случае нельзя точно реализовывать, в то время как вопрос реализуемости передаточной функции регулятора, которая находится методом ЖПФ, решается в процессе ее получения. 2) Если на объект управления действуют контролируемые возмущения и они учтены в его уравнении, то при использовании метода ОЗП получается комбинированный закон управления, полностью компенсирующий действие указанных возмущений.
Метод ЖПФ не позволяет синтезировать инвариантную от возмущений систему управления. 5.6. Синтез систем управления при наличии чистого запаздывания Если объект управления содержит звено чистого запаздывания, то можно его передаточную функцию Иг,(з) = е '~ аппроксимировать дробно-рациональной функцией и при синтезе регулятора использовать рассмотренные выше методы. Лля аппроксимации воспользуемся разложением экспоненты е в ряд Тейлора: 2! 3! — -з 1 е а ' (тз)з (тз)з 1+ та+ — + — + .. 2! 3! 186 Глн вт. Сннтев сметем унриввення Если ограничиться первыми тремя слагаемыми разложения, то по- лучим И', (в) = 1 — тв+ — ', = Т в~ — 2~Те+ 1, (5.60а) И'„е (в)— 1 в- тв+ (5.606) Те г Ь2ту (тв) 2! т 1 где Т= —, нГ2' нГ2 Амплитудные и фазовые частотные функции имеют вид ~,()=~в',В)~= — т44е э1 А,"(ю) = ~Ит~(усе)) = ( 1, ~4~ 4 е 2ты ч'2 — агсг8 при ы( —, 2 — (тм)е т 2тм ~/2 -я — агс$8 при ы > —.
2 — (тм)' т у,( ) = р.'(в) = И'г(в) = (5.61а) (5.61б) Теве ь 2~Те+ т ~/2 где Т= —, зе8' 2 Амплитудные частотные функции обеих передаточных функций совпадают с амплитудной частной функцией исходной передаточной функцией звена чистого запаздывания: М',"'(' 'И = )И'Р О П = ~И". (у 4)! = 1 Фазовые частотные функции имеют вид увц~(ы) = аг8И"~0(ую) = — 2 агсе8 ™, Л т ю ) —. у'8 т 4тм — 2 агс18, при ы ( 8 — (тес) е 4тм — 2я — 2 агс18 2 при 8 (тм)г ~рз(ю) = аг8И'60(цв) = Представив персдаточную функцию звена чистого запаздывания в виде И'т(в) = е " = е "1~/е™1~, разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора. Тогда, ограничиваясь двумя и тремя членами разложения, получим соответственно 187 блб Синтез при наличии частого запаздыоанин Фазовая частотная функция 1о, (оз) по модулю превышает частот~ г1 ную функцию ~р, (о~): (5.62) Ф'М < ~рбб(ш) ~ Равенство имеет место только при ш = О.
действительно, при оз < Л(т неравенство (5.62) принимает вид тог 4тог тог 4тог агс18 2 . агсг88 ( ),, или 2 . 8 ( ),. Справедливость последнего неравенства очевидна, если его представить в випе 8 — (тоз)з < 8. Равенство имеет место только при оз = О. При о~ > у'8/т неравенство (5.62) имеет вид тог 4тм агс18 — < и+ агс18 2 8 — (тш)г Справедливость этого неравенства, причем строгого, следует из очевидных неравенств Таблица 5.2. Фазовые погрешности звеньев, аппроксимируюших звено чистого запаздывания 0,2 0,3 0,4 0.5 0,1 0,6 0,7 0,0000 0.0000 0,0002 -О,.
0001 0,0013 0,0044 -О, 0007 -О, 0022 0,0101 0,0191 -О, 0100 0,0317 -О, 0171 О, 0667 — О., 0267 ,л,(0 -О, 0052 0,0051 0,.0000 0,0003 0,.0011 0,0026 О, 0137 0,0000 0,0087 1,2 1,3 0,8 0,9 0,0663 0,0866 О, 1416 О, 1521 0 1565 О, 1071 О, 1260 -О, 0390 -О, 0543 -О,. 0727 -О, 0943 -О, 1192 -О, 1472 -О, 1785 5 сл О, 0634 О, 0785 О, 0500 О, 0952 О., 0383 0,0203 0,0284 руют передаточную функцию звена чистого запаздывания, чем фор- мулы (5.60), по крайней мере при малых тоз.
тоз и 4тоз и агс18 — < — и и + агс18 > —. 2 2 8 — (тоз)г 2 В табл. 5.2 приведены отклонения (разности) фазовых частотных функций р„(оз), 9о, (ш), р, (ш) и уз, (оз) от фазовой частотной функ- 01 121 ции звена чистого запаздывания уг„(ш), = р.( ) — р+,( ) = р.( ) — р, ( '), Ь~О = ~р,(оз) — ~р~'~(оз), г = 1,2, при частотах ог < 1,4(т, т < 1. Сравнивая частотные функции передаточных функций (5.60) и (5.61), можно заметить, что формулы (5.61) более точно аппроксими- 188 Гл. б. Сннтез внятен управления Действительно, амплитудные частотные функции аппроксимирующих звеньев (5.61) и звена чистого запаздывания совпадают. И, как следует из табл. 5.2, при малых ты фазовые частотные функции этих звеньев отличаются от фазовой частотной функции звена чистого запаздывания меньше, чем фазовая частотная функция звеньев (5.60).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
