Lektsia__5_Konspekt (949217), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Но и с этойоговоркой формула Эйлера чрезвычайнополезна для уяснения природы движенияжидкости.Напомним, что векторное произведение двух векторов представляет собой также вектор,компоненты которого определяются по следующим формулам. Допустим вектор c (cx , c y , cz ) естьвекторное произведение двух векторов a (ax , a y , az ) и b(bx , by , bz ) . Тогдаic = axbxjaybykazbz(13)и компоненты вектора c (cx , c y , cz ) вычисляются по формулам:cx = a y ⋅ bz − az ⋅ by(14)c y = az ⋅ bx − ax ⋅ bz(15)cz = ax ⋅ by − ay ⋅ bx(16)В проекциях на оси координат формула (12) принимает вид:Vx = Vx 0 + ω y ⋅ ( z − z0 ) − ωz ⋅ ( y − y0 )(17)Vy = Vy 0 + ωz ⋅ ( x − x0 ) − ωx ⋅ ( z − z0 )(18)Vz = Vz 0 + ωx ⋅ ( y − y0 ) − ωy ⋅ ( x − x0 )(19)Ещё раз подчеркну, что для момента времени t для всех точек контрольного элемента жидкостипостоянными величинами в уравнениях (17-19) являются: Vx 0 , Vy 0 ,Vz 0 , ωx , ωy , ωz , x0 , y0 , z0Вычислим частные производные по x , yи z от Vx , Vy , Vz :∂Vx∂Vx∂Vx= 0;= − ωz ;= ωy∂x∂y∂z∂Vy∂Vy∂Vy= ωz ;= 0;= − ωx∂x∂y∂z6(20)(21)∂Vz∂Vz∂Vz= − ωy ;= ωx ;= 0∂x∂y∂zИз равенств (20-22) следует:1 ∂V ∂Vωx = ⋅ ( z − y )2 ∂y∂z1 ∂V ∂Vωy = ⋅ ( x − z )2 ∂z∂x∂V∂V1ωz = ⋅ ( y − x )2 ∂x∂y(22)(23)(24)(25)Кроме угловой скорости в механике жидкости используют и другие термины: ротор (вихрь) - этовекторный дифференциальный оператор над векторным полем скорости.

Ротор скоростипоказывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Он обозначаетсяrotV , а также ∇×V , где ∇ - уже известный нам векторный дифференциальный оператор набла(оператор Гамильтона). ∂V ∂V  ∂V ∂V  ∂V ∂V rotV = rot (Vx ⋅ i + Vy ⋅ j + Vz ⋅ k ) =  z − y  ⋅ i +  x − z  ⋅ j +  y − x  ⋅ k(26)∂z ∂x ∂y  ∂z ∂y ∂xОтметим, что1ω = ⋅ rotV(27)2В общем случае можно каждой точке движущейся жидкости сопоставить вектор скорости Vи вектор угловой скорости ω . Каждому их этих векторов соответствует векторная линия –геометрическое место точек, в которых касательная к векторной линии совпадает с направлениемвектора. Вектору V соответствует линия тока, а вектору ω - вихревая линия.

Линии тока,проходящие через элементарный маленький замкнутый контур внутри жидкости, образуютэлементарную трубку тока. Вихревые линии, проходящие через элементарный маленькийзамкнутый контур внутри жидкости, образуют элементарную вихревую трубку.Вторая теорема Гельмгольца формулируется следующим образом:«Поток вектора угловой скорости (равно, как и поток ротора и вихря вектораскорости) сквозь любое поперечное сечение вихревой трубки одинаков в данный моментвремени вдоль всей трубки».Отсюда можно сделать три вывода:- поток вектора угловой скорости, одинаковый для любого сечения трубки, может служитьмерой интенсивности вихревой трубки (мерой интенсивности торнадо, водоворота);- мы наблюдаем торнадо с переменным поперечным сечением: чем меньше сечениевихревой трубки, тем больше должна быть угловая скорость в этом сечении;- вихревые трубки (торнадо, водовороты) не могутзаканчиваться внутри среды: например, любой смерчупирается одним концом в воду или землю, а другим – вслой нависших облаков; водовороты, чаще всего,упираются одним концом в дно океана, а другим – всвободную его поверхность; другие варианты показанына рисунке; вихревые дымовые кольца умеют выпускатьискусные курильщики сигарет.74.

Уравнение Эйлера динамики идеальной жидкостиПод идеальной жидкостью понимают жидкость, лишённую вязкости. Рассматривая тольконьютоновские жидкости, мы должны отметить, что в идеальной ньютоновской жидкости нетжидкостного трения и обусловленных им касательных напряжений. Следствием этого являетсяравенство нормальных напряжений по всем направлениям и применимость понятиягидростатического давления при движении идеальной жидкости.Дифференциальные уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости мы получим изуравнения динамики жидкости «в напряжениях» при следующих значениях входящих в неговеличин:V { Vx ;Vy ;Vz }F { X ;Y ; Z}P x { − p;0;0}(28)P y { 0; − p;0)}P z { 0;0; − p}В лекции № 3 были получены уравнения (12-14):∂P∂Vx∂V∂V∂V∂P1 ∂P+ Vx ⋅ x + Vy ⋅ x + Vz ⋅ x = X + ⋅ ( xx + yx + zx )∂t∂x∂y∂zρ ∂x∂y∂z∂Vy∂t+ Vx ⋅∂Vy∂x+ Vy ⋅∂Vy∂y+ Vz ⋅∂Vy∂z=Y +∂P∂P1 ∂Pxy⋅(+ yy + zy )ρ ∂x∂y∂z∂P∂Vz∂V∂V∂V1 ∂P∂P+ Vx ⋅ z + Vy ⋅ z + Vz ⋅ z = Z + ⋅ ( xz + yz + zz )∂t∂x∂y∂zρ ∂x∂y∂zПосле подстановки в них (28) получаем:∂Vx∂V∂V∂V1 ∂p+ Vx ⋅ x + Vy ⋅ x + Vz ⋅ x = X − ⋅∂t∂x∂y∂zρ ∂x∂Vy∂Vy∂Vy1 ∂p⋅ρ ∂y(30)∂Vz∂V∂V∂V1 ∂p+ Vx ⋅ z + Vy ⋅ z + Vz ⋅ z = Z − ⋅∂t∂x∂y∂zρ ∂z(31)∂tИли:∂Vy+ Vx ⋅∂x+ Vy ⋅∂y+ Vz ⋅∂z=Y −dVx1 ∂p= X − ⋅dtρ ∂xdVy1 ∂p=Y − ⋅dtρ ∂ydVz1 ∂p=Z − ⋅dtρ ∂zВекторная форма уравнений Эйлера динамики идеальной жидкости:8(29)(32)(33)(34)dV1= F − ⋅ grad pdtρ(35)Леонард Эйлер (1707-1783) родился в семье пастора, г.

Базель, Швейцария. В 13 лет был принят вБазельский университет , изучал математику у профессора Иоганна Бернулли. Обладалисключительнойпамятью,трудолюбием,феноменальнымиспособностями к математике ивычислениям в уме, увлечённостью.В 17 лет стал магистром. В этот год,1724 г., Пётр I утвердил проектустройства Петербургской Академии.И уже через два года в 19 лет Эйлерпо рекомендации братьев Бернуллиприглашён в Петербург, в Академиюнаук. Из первых 22 членов Академии8 оказались математиками, которыезанималисьтакжемеханикой,физикой, астрономией, картографией,теорией кораблестроения, службоймер и весов.Ко всеобщемуудивлению, Эйлер уже в следующемгоду стал бегло говорить по-русски.Некоторые работы Эйлер написал нарусском языке. Первый начальныйучебник «Руководство к арифметике»в России был написан Эйлером.Двухтомное сочинение «Механика,илинаукаодвижении,ваналитическом изложении», изданноев 1736 году, принесло ему мировуюславу.

За первый период 15-летнегопребывания в России (1726-1741) оннаписал более 90 крупных научных работ. Значительная часть академических «Записок»заполнена трудами Эйлера. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции,участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств.В период 1741-1766 г Эйлер работал в Берлине, оставаясь почётным членом Российской АН иполучая жалованье. В 1766 г. по настоянию Екатерины II навсегда вернулся в Россию иплодотворно работал до своей смерти в возрасте 76 лет. Похоронен в Петербурге.Основные работы Эйлера: «Введение в анализ бесконечно малых», «Морская наука», «Теориядвижения Луны», «Наставление по дифференциальному исчислению», «Теория движения твёрдыхтел», «Элементы вариационного исчисления», «Начала алгебры», «Полный курс алгебры»,трёхтомник «Оптика» , трёхтомник «Интегральное исчисление» и др.

– всего свыше 800 работ.Конец лекции № 59.

Характеристики

Список файлов лекций