Lektsia__2_Konspekt (949203)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция № 2. Интегральная форма уравнения неразрывности.План лекции1. Уравнение неразрывности в интегральной форме2. Связь интегральной и дифференциальной формуравнения неразрывности.3. Напряженное состояние жидкости. Соотношениянапряжений4. Тензор напряжений, его свойства1. Уравнение неразрывности в интегральной формеМы получили на прошлой лекции уравнение неразрывности в дифференциальной форме. Сегодня мыполучим интегральную форму этого же уравнения. Зачем ? Тому две причины.При постановке задач иногда целесообразно использовать не только дифференциальные уравнения, нои интегральные уравнения, и интегро-дифференциальные уравнения.

Речь, конечно, идёт лишь о разныхформах отображения реальных законов природы.Вторая причина заключается в том, что задачами обучения в МВТУ являются не только освоениерезультатов инженерной науки, но, и это ещё более важно, ознакомление с методами их получения. Один изметодов вывода уравнений состоит в рассмотрении бесконечно малых контрольных элементов, другой – врассмотрении контрольных элементов конечных размеров. В первом случае получаем дифференциальноеуравнение, во втором – интегральное уравнение. Дифференциальное и интегральное уравнениянеразрывности отражают один и тот же закон сохранения – закон сохранения массы.

Обе формы уравнениянеразрывности могут быть преобразованы из одной в другую.Рассмотрим контрольный элемент произвольных размеров, формы и места положения. Поверхностьконтрольного элемента будем называть контрольной поверхностью. Назовём системой частиц контрольногоt . Поместимэлемента все частицы жидкости внутри контрольного элемента в момент временипрямоугольную систему координат в поток жидкости и проследим движение контрольного элемента в течение∆ t . Пусть в момент времени t контрольный элемент занималочень малого промежутка времениположение, отмеченное пунктирной линией.

За время ∆ t могло измениться положения контрольногоэлемента в пространстве, его размеры и форма, внутренний объём и величина контрольной поверхности.Осталась неизменной масса системы частиц контрольного элемента, которую можно выразить следующимобразом:M =∫∫∫ ρ ⋅ dW(1)WПусть система частиц контрольногоэлемента переместилась за время ∆ t вчасть пространства, см. рис.,ограниченную сплошной линией.В общем случае можно выделить триобласти:область А – часть пространства, изкоторой ушли все «наши» частицы;область В – часть пространства, которуюзанимали и продолжают занимать «наши»частицы;область С – часть пространства, которуюполностью заполнили «наши» частицы,вытеснив из неё бывшую там жидкость.В начальный момент времени t массуконтрольного элемента можнопредставить суммой масс двух областей: Аи В:M (t ) = M A(t ) + M B( t )(2)В момент времени( t + ∆t ) эту же величину можно представить суммой масс двух других областей В и С:M (t +∆t ) = M B(t +∆t ) + M C(t +∆t )(3)Изменение массы контрольного элемента за время ∆t (мы помним, что это изменение равно нулю)можно выразить формулой:M (t +∆t ) − M (t ) = M B(t +∆t ) + M C(t +∆t ) − M A(t ) − M B( t ) = 0Добавим и вычтем в уравнение (4) массу области А в момент временичлены следующим образом:(4)( t + ∆t ) и сгруппируем( M A( t +∆t ) + M B(t +∆t ) ) − ( M A(t ) + M B(t ) ) + MC( t +∆t ) − M A( t +∆t ) = 0(5)Заметим, что в уравнении (5) суммы в круглых скобках равны массе контрольного элемента в моментывремени ( t + ∆t ) и t соответственно:M (t +∆t ) = M A(t +∆t ) + M B(t +∆t )(6)M (t ) = M A(t ) + M B(t )(7)Разделим обе части уравнения (5) на ∆t и заменим круглые скобки равенствами (6) и (7); в результатеуравнение (5) примет вид:M ( t +∆t ) − M ( t )∆tM C(t +∆t ) − M A(t +∆t )+= 0∆tA+ B(8)Рассмотрим физический смысл разностных соотношений в уравнении (8).

Первая дробь означаетизменение массы в одной и той же области пространства за время ∆t . Предел такого отношения при∆t → 0 есть частная производная по времени от массы жидкости в этой области пространства:M (t +∆t ) − M (t )∂M=∆t → 0∆t∂tlimФизический смысл выражениячерез поверхностьA+ B=∂∂t∫∫∫ ρ ⋅ dW(9)WM C(t +∆t ) означает массу «наших» частиц, поступивших в область СS1 . Эту массу можно вычислить через скорость и плотность жидкости:M C(t +∆t ) =∫∫ ρ ⋅Vn⋅ ∆t ⋅ dS(10)S1Физический смысл выраженияM A(t +∆t ) означает массу «чужих» частиц, поступивших в область Ачерез поверхность S 2 за время ∆t . Эту массу можно вычислить через скорость и плотность жидкостианалогичным способом (надо только учесть, что направление скорости и внешней нормали к поверхности вэтом случае не совпадают, и после знака равенства надо поставить знак «минус»):M A(t +∆t ) = −∫∫ ρ ⋅Vn⋅ ∆t ⋅ dSS2Таким образом, вторая дробь в уравнении (8) может быть представлена выражением:(11)M C( t +∆t ) − M A( t +∆t )=∆t∫∫ ρ ⋅Vn⋅ dS(12)SИз уравнений (8), (9) и (12) получаем уравнение неразрывности в интегральной форме:∂ρ ⋅ dW +∂t ∫∫∫W∫∫ ρ ⋅Vn⋅ dS = 0(13)SСмысл этого уравнения очевиден: изменение массы в некоторой области пространства за время dtравно изменению массы жидкости, прошедшей за это время сквозь поверхность, ограничивающую даннуюобласть пространства.

Важно иметь виду, что объём W - это объём области, ограниченной поверхностьюS.Получим векторную запись уравнения неразрывности в интегральной форме. Для этого вспомним, чтоединичная нормаль к поверхности n есть вектор, проекциями которого на оси координат являютсянаправляющие косинусы:n { cos α , cos β , cos γ } , (cos α ) 2 + (cos β )2 + (cos λ )2 = 1 ,n =1(14)Вспомнив правила вычисления скалярного произведения двух векторов, получим:(V ⋅ n) = V ⋅ n ⋅ cos(ϕ ) = Vn(15)Из уравнений (13) и (15) получаем :∂ρ ⋅ dW +∂t ∫∫∫W∫∫ ρ ⋅ (V ⋅ n) ⋅ dS= 0(16)S2. Связь интегральной и дифференциальной форм уравнения неразрывности.Покажем, что из уравнений(13) или(16) можно получить уравнение неразрывности вдифференциальной форме. Представим второе слагаемое этих уравнений (поверхностный интеграл) вразвёрнутом виде, воспользовавшись правилом вычисления скалярного произведения двух векторов :∫∫ ρ ⋅ (V ⋅ n) ⋅ dS=S∫∫ ρ ⋅ (Vx⋅ cos α + Vy ⋅ cos β + Vz ⋅ cos γ ) ⋅ dS(17)SЗаметим, что выраженияcos α ⋅ dS = dS yz ≈ dy ⋅ dz; cos β ⋅ dS = dSxz ≈ dx ⋅ dz; cos γ ⋅ dS = dSxy ≈ dx ⋅ dy(18)представляют собой проекции элементарной площадки поверхности S на координатные плоскости.

.Поэтому уравнения (13) и (16) можно записать в виде:∂ρ ⋅ dW +∂t ∫∫∫W∫∫ ( ρ ⋅Vx⋅ dy ⋅ dz + ρ ⋅ Vy ⋅ dx ⋅ dz + ρ ⋅ Vz ⋅ dx ⋅ dy ) = 0(19)SПрименим к уравнению (17) формулу Остроградского. Формула Остроградского выражает потоквектора скорости через замкнутую поверхность S через интеграл от дивергенции этого поля по объёму W ,ограниченного этой поверхностью.Остроградский опубликовал свою формулу в 1831 году в следующем виде:dpdqdr∫ ( dx + dy + dz ) ⋅ ω=∫ ( p ⋅ cos λ + q ⋅ cos µ + r ⋅ cosν ) ⋅ s(20)В наших обозначениях применительно к уравнению (17) эта формула принимает вид:∫∫∫ (W∂ ( ρ ⋅ Vx ) ∂ ( ρ ⋅Vy ) ∂ ( ρ ⋅ Vz )++) ⋅ dW =∂x∂y∂z∫∫ ( ρ ⋅Vx⋅ cos α + ρ ⋅ Vy ⋅ cos β + ρ ⋅Vz ⋅ cos γ ) ⋅ dS(21)SМихаил Васильевич Остроградский (1801-1862) окончилХарьковский университет в 1818 г., обнаружил необыкновенныеуспехи в математике, и уже через два года сдал все экзамены накандидата наук.

Однако, на него был написан донос, что он непосещал лекций по философии и занятия по «богопознанию ихристианскому Учению». Его не утвердили в степени кандидата науки лишили университетского диплома.В возрасте 21 года, в 1822 году, Остроградский переезжает вПариж и продолжает изучение математики в Сорбонне, вПолитехнической школе, в колледже де Франс у знаменитых учёныхКоши, Пуассона, Фурье, Лапласа, Лежандра.За шесть лет жизни в Париже молодой математик опубликовалв трудах Парижской Академии наук несколько выдающихся работ,получил признание Коши и многих выдающихся французскихматематиков.

Но Михаила влечёт на родину. В 1828 г. онотправляется домой. По дороге его ограбили, и от Франкфурта-наМайне он добирался до Петербурга пешком. В России заподозрительным пешеходом с порочным студенческим прошлым былустановлен тайный полицейский надзор, о чём он, к счастью, не догадывался всю жизнь.С возвращением на родину начался плодотворный творческий период его жизни: уже через два годаего избирают членом Академии наук по прикладной математике, а чуть позже его избирают членом многихзарубежных Академий наук.Основные работы Остроградского посвящены математической физике,механике, гидродинамике, теории упругости, аналитической механике, распространению тепла.Формулу Остроградского он опубликовал в 1831 г. в возрасте 30 лет.

Для одного частного случаяаналогичная формула была получена Гауссом в 1813 г. Поэтому в западной литературе эта формуланазывается «теоремой Гаусса-Остроградского».Жизненный путь, научная и педагогическая деятельность Остроградского служили примером длямногих поколений российских граждан. Молодых людей, отправлявшихся на учёбу за границу, родныенапутствовали словами: «Становись Остроградским».Мы применим формулу Остроградского для преобразования поверхностного интеграла пообъёмный интеграл по объёму W .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций