Lektsia__2_Konspekt (949203), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Из уравнений (16), (17) и (21) следует:∂ρ ⋅ dW +∂t ∫∫∫W∫∫∫ (W∂ ( ρ ⋅Vx ) ∂ ( ρ ⋅Vy ) ∂ ( ρ ⋅ Vz )++) ⋅ dW = 0∂x∂y∂zS в(22)В уравнении (22) внесём знак частной производной по времени под знак интеграла – это можносделать, так как интегрирование ведётся по пространству, и результат не зависит от последовательностиопераций. Кроме того, сумма интегралов равна интегралу суммы, если переменная интегрирования и областьинтегрирования для обоих интегралов являются одними и теми же. С учётом сказанного уравнение (22)можно переписать в виде:∂ρ∫∫∫ ( ∂tW+∂ ( ρ ⋅Vx ) ∂ ( ρ ⋅Vy ) ∂ ( ρ ⋅ Vz )++) ⋅ dW = 0∂x∂y∂z(23)Если интеграл от некоторой функции равен нулю на произвольной, любой и каждой, областиинтегрирования, то такая функция тождественно равна нулю.
Следовательно, из уравнения (23) и того факта,что контрольный элемент с объёмом W выбран произвольно, в любой области изучаемого потока жидкости,произвольной формы и размеров, следует, что подинтегральное выражение тождественно равно нулю:∂ρ ∂ ( ρ ⋅ Vx ) ∂ ( ρ ⋅ Vy ) ∂ ( ρ ⋅ Vz )+++= 0∂t∂x∂y∂z(24)Уравнение (24) совпадает с уравнением (21), полученным на прошлой лекции и являетсядифференциальной формой уравнения неразрывности.Примеры использования интегральной формы уравнения неразрывности для решения задачприведены в Пособии к лекции 2, доступ к которому открыт для Вас в Docs Google.com.3. Напряженное состояние жидкости. Соотношения напряжений.Рассмотрим самый распространённое состояние жидкости в природе: жидкость находится подвоздействием сил, например, силы тяжести, атмосферного давления или инерционных сил (допустим,жидкость находится во вращающемся сосуде).
Выделим в жидкости произвольную поверхность S , а на нейвыберем произвольную площадку ∆S очень малых размеров. Обозначим точку в центре площадки точкой М,а результирующую всех сил, действующих на площадку,∆ Pn .Напряжениемотношения силыPn в точке М называется предел∆ Pn к величине ∆S при стремлении∆S к нулю:Pn = lim∆S →0Напряжение∆Pn∆S(25)Pn является векторной величиной, индекс n указывает на ориентацию площадки, ,нормалью к которой являетсяn . Направление вектора Pn может отличаться от направления нормали, вбольшинстве случаев именно это и наблюдается.Выделим в жидкости элементарный объём кубической формы, ориентированный по осям координат(каждая грань кубика перпендикулярна какой-либо оси).
В механике жидкости принята следующая системаобозначений напряжений. Все напряжения, в том числе, нормальные и касательные, обозначаются буквой Pс нижним индексом из одного или двух символов. Полное напряжение индексируется по имени нормали,перпендикулярной площадке, в которой рассматривается напряжение. Например, полное напряжение вплощадке, перпендикулярной оси 0y, обозначаетсяP y . Если напряжение P y разложить на составляющиевекторы по направлениям осей координат, то нормальная составляющая напряженияP y будет обозначатьсяP yy , а касательные напряжения получат обозначения P yx и P yz . Аналогично обозначаются напряжения востальных гранях.Опыт показывает, что жидкость всегда находится в сжатом состоянии.Поставим задачу определить, как связаны между собой напряжение в произвольно ориентированнойплощадке с напряжениями в этой же точке, но действующими в площадках, перпендикулярных осямкоординат.Выделим в потоке жидкости элементарный тетраэдр 0АВС с вершиной в точке 0, образованныйнаклонной плоскостью АВС и боковыми гранями А0В, А0С и В0С.
На жидкость в объёме тетраэдрадействуют массовые и поверхностные силы. Массовые силы – это силы тяжести и силы инерции. Онипропорциональны массе тетраэдра, которая равна1⋅ ρ ⋅ dz ⋅ S AOC . Поверхностные силы – это (в нашем3случае) силы, действующие на грани тетраэдра, они пропорциональны площади этих граней. Легко увидеть,что с уменьшением размеров тетраэдра влияние массовых сил становится менее заметным. Если мыуменьшим все линейные размеры тетраэдра в 1000 раз¸то поверхностные силы уменьшатся в миллион раз, амассовые силы станут меньше в миллиард раз. Поэтому при стремлении размеров тетраэдра к нулювлиянием массовых сил можно пренебречь.Применим принцип Д’Аламбера, согласно которому сумма всех сил, действующих на частицытетраэдра, и сил инерции равна нулю. В проекции на ось 0y, отбрасывая слагаемые с массовыми силами,получим следующее уравнение:− P ny ⋅ S ABC + P xy ⋅ S0 BC + P yy ⋅ SAB 0 + Pzy ⋅ SA 0C = 0(26)Заметим, что из рассмотрения треугольника 0ВК, следуетBK =OK11111; S AOC = ⋅ dx ⋅ dy = ⋅ OK ⋅ AC ; SABC = ⋅ AC ⋅ BK = ⋅ AC ⋅ OK ⋅cos γ2222cos γS A0C = S ABC ⋅ cos γ .Аналогично, S 0 BC = S ABC ⋅ cos α и S AB 0 = S ABC ⋅ cos β(27)Таким образом,(28)Из уравнений (26) и (28) следует:P ny = P xy ⋅ cos α + P yy ⋅ cos β + Pzy ⋅ cos γ(30)Аналогичными рассуждениями получим два других уравнения:P nx = P xx ⋅ cos α + P yx ⋅ cos β + Pzx ⋅ cos γ(29)P nz = P xz ⋅ cos α + P yz ⋅ cos β + Pzz ⋅ cos γ(31)Или в векторной форме:P n = P x ⋅ cos α + P y ⋅ cos β + Pz ⋅ cos γ(32)Жан Леро́н Д’Аламбе́р (1717 —1783) — французский учёныйэнциклопедист.
Широко известен как философ, математик имеханик. Член Парижской академии наук (1740), ФранцузскойАкадемии (1754), Петербургской (1764) и других академий.Д’Аламбер работал вместе с Дидро над созданием знаменитой«Энциклопедии наук, искусств и ремёсел». В 1752 году, прирешении одного дифференциального уравнения с частнымипроизводными эллиптического типа (модель обтекания тела),встретившегося в гидродинамике, Д’Аламбер впервые применилфункции комплексного переменного. Об этом методе поговоримпозже.4. Тензор напряжений, его свойстваМы видели, что напряжённое состояние жидкости характеризуется девятью величинами –нормальными и касательными напряжениями.
В механике жидкости принято работать с тензором –физической величиной, определённой для каждой точки пространства. Тензору соответствует его матрица(таблица компонентов) из трёх столбцов и трёх строк компонентов тензора. Первым индексом компонентатензора принято обозначать номер строки, вторым - номер столбца. Мы, однако, будем использовать внашем курсе лекций в качестве индексов не цифры, а обозначения координат. Например, тензорнапряженного состояния жидкости будет выглядеть следующим образом :PxxП = PyxPzxPxyPyyPzyPxzPyzPzz(33)Свойства тензора напряжений.1. Матрица тензора симметрична.
Вам уже известна со второго курса теорема, согласно которойкасательные напряжения, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках иперпендикулярно линии пересечения этих площадок, равны по величине:Pxy = Pyx ; Pxz = Pzx ; Pyz = Pzy2. Для тензора напряженийсумма его компонентов на главной диагонали(34)( Pxx + Pyy + Pzz ) являетсяинвариантом линейных преобразований координат. Поскольку геометрический смысл линейныхпреобразований координат заключается в повороте координатных осей, это означает, чтосумма нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным площадкам, независит от ориентации площадок. Это позволяет характеризовать напряжённое состояние жидкостискалярной величиной – гидродинамическим давлением, равным средней арифметической величиненормальных напряжений, взятой с обратным знаком:1p = − ⋅ ( P xx + Pyy + Pzz )3(35)3.
Для любой точки жидкости существует, причём, единственная, система координат, в которой тензорнапряжений имеет диагональный вид: все касательные напряжения равны нулю, а нормальныенапряжения равны по величине:−p 000 −p 000 −p(36)Такая система координат называется главной системой координат, а оси – главными осями тензоранапряжений.Конец 2-й лекции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
