Lektsia__15_Konspekt (949266)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция № 15. Уравнение Навье-СтоксаПлан лекции1. Гипотеза Стокса2. Уравнение Навье-Стокса, концепция вывода3. Уравнение Навье-Стокса для изотермического течения несжимаемой жидкости4. Уравнение Навье-Стокса в безразмерном виде. Числа и критерии подобия.1. Гипотеза СтоксаЗакон трения Стокса или обобщённый закон Ньютона обычно применяют в следующемвиде:∂Vy ∂Vz∂Vx∂V+ λ ⋅( x ++)∂x∂x∂y∂z∂V∂V∂V∂V= − p + 2⋅ µ ⋅ y + λ ⋅( x + y + z )∂y∂x∂y∂z∂Vy ∂Vz∂V∂V= − p + 2⋅ µ ⋅ z + λ ⋅( x ++)∂z∂x∂y∂z ∂V ∂V = p yx = µ ⋅  y + x ∂y  ∂x ∂V ∂V = pzy = µ ⋅  y + z ∂y  ∂zpxx = − p + 2 ⋅ µ ⋅(1)p yy(2)pzzpxyp yz ∂V ∂V pxz = pzx = µ ⋅  z + x ∂z  ∂x(3)(4)(5)(6)Если применять закон трения Стокса для жидкостей и газов, для которых дивергенциявектора скорости не равна тождественно нулю, то возникает серьёзная проблема: каковфизический смысл коэффициента λ ? Как его определить ? Более ста лет эти вопросы оставалисьбез ответа.

Сейчас, в эпоху высоких скоростей, сверхзвуковых полётов, многое прояснилось, хотяважные вопросы, связанные с коэффициентом λ , включая терминологию, продолжаютобсуждаться в научных кругах.Чаще всего коэффициент λ называют второй вязкостью или объёмной вязкостью. Втораявязкость проявляется в сжимаемых средах и характеризует превращение механической энергии втепловую при объёмных деформациях.

Коэффициент λ ответственен за интенсивностьпоглощения звуковых колебаний, и для определения его используют экспериментальные данныепо поглощению и дисперсии звука. Величина λ зависит от температуры и давления, в жидкостяхона больше, чем в газах, на 1—3 порядка.Стокс был первым, кто рассмотрел проблему второй вязкости. Он в совершенстве зналтеорию упругости и гидродинамику и обладал научной интуицией.Он первым связалλкоэффициентс особенностями распространения звука. В своих выводах он опирался и нааналогию теории упругости и гидродинамики, и на свои физические представления.

И всё же егогипотеза, чрезвычайно востребованная временем, была скорее гениальной догадкой, нежелинаучно обоснованным результатом.В 1845 году Джордж Стокс опубликовал свою гипотезу: коэффициент λ жёстко связан сдинамической вязкостью µ соотношением:23⋅ λ + 2⋅ µ = 0λ = − ⋅µ(7)31Гипотеза Стокса в громадном количестве практических ситуаций оправдана, иподтверждается опытом, хотя существует и множество ситуаций, когда она не верна, или несовсем точна.В случае подтверждения гипотезы Стокса закон трения Стокса становится применимым идля несжимаемых, и для сжимаемых жидкостей и газов в следующем виде.2 ∂Vpxx = − p + µ ⋅  2 ⋅ x − ⋅ divV 3 ∂x ∂V2p yy = − p + µ ⋅  2 ⋅ y − ⋅ divV 3 ∂y2 ∂Vpzz = − p + µ ⋅  2 ⋅ z − ⋅ divV 3 ∂z ∂V ∂V pxy = p yx = µ ⋅  y + x ∂y  ∂x ∂V ∂V p yz = pzy = µ ⋅  y + z ∂y  ∂z ∂V ∂V pxz = pzx = µ ⋅  z + x ∂z  ∂x(8)(9)(10)(11)(12)(13)Именно в этом виде, с учётом гипотезы Стокса, мы используем закон трения Стокса привыводе уравнения Навье-Стокса.2.

Уравнение Навье-Стокса, концепция выводаИсходными уравнениями для вывода уравнения Навье-Стокса являются уравнениядинамики в напряжениях и закон трения Стокса. Концепция вывода проста: достаточноподставить в уравнения движения соотношения закона трения, который связывает компонентытензора напряжений со скоростями деформаций. В результате из уравнений движения исчезнутчастные производные от нормальных и касательных напряжений, и число неизвестных величинрезко сократится.Вспомним, как выглядят уравнения динамики в напряжениях в проекции на оси координат:∂PdVx∂P1 ∂P= X + ⋅ ( xx + yx + zx )dtρ ∂x∂y∂zdVy∂P∂P1 ∂P= Y + ⋅ ( xy + yy + zy )dtρ ∂x∂y∂z∂PdVz1 ∂P∂P= Z + ⋅ ( xz + yz + zz )dtρ ∂x∂y∂z2(14)(15)(16)Подставим уравнения (8-13) в уравнения (14-16) и получим уравнения Навье- Стокса.:∂V ∂V  1 ∂ dVx∂V 21 ∂p 1 ∂ ∂V ∂V  1 ∂ = X − ⋅ + ⋅  µ ⋅ (2 ⋅ x − ⋅ divV )  + ⋅  µ ⋅ ( y + x )  + ⋅  µ ⋅ ( z + x )  (17)dtρ ∂x ρ ∂x ∂x 3∂x∂y  ρ ∂z ∂x∂z  ρ ∂y dVy∂V ∂V  1 ∂ ∂V 2 1 ∂ 1 ∂p 1 ∂ ∂V ∂V = Y − ⋅ + ⋅  µ ⋅ ( y + x )  + ⋅  µ ⋅ (2 ⋅ y − ⋅ divV )  + ⋅  µ ⋅ ( z + y )  (18)dtρ ∂y ρ ∂x ∂x∂y  ρ ∂y ∂y 3∂y∂z  ρ ∂z ∂V ∂V  1 ∂ dVz1 ∂p 1 ∂ ∂V ∂V  1 ∂ ∂V 2= Z − ⋅ + ⋅  µ ⋅ ( z + x )  + ⋅  µ ⋅ ( y + z )  + ⋅  µ ⋅ (2 ⋅ z − ⋅ divV )  (19)dtρ ∂z ρ ∂x ∂x∂z  ρ ∂y ∂z∂y  ρ ∂z ∂z 3В этих уравнениях коэффициент динамической вязкости, которая в общем случае, зависитот температуры и давления, является в неизотермических течениях жидкости и газа функциейчетырёх переменных ( x , y , z , t ) и не может быть вынесен за знак производной.

Но визотермических течениях, в силу слабой зависимости динамической вязкости от давления, еёможно считать постоянной величиной и вынести за знак производной. В этом случае обычнозаменяют частное от деления динамической вязкости µ на плотность ρ коэффициентомкинематической вязкости ν , м2/с:µν =(20)ρ3. Уравнение Навье-Стокса для изотермического течения жидкостиПолагаякоэффициент µуравнении (17):постоянной величиной, выполним дифференцирование в∂ 2VydVx∂ 2Vx 2∂2V∂2 V1 ∂p∂∂ 2Vz= X − ⋅ + 2 ⋅ v ⋅ 2 − ⋅ν ⋅divV + v ⋅+ v ⋅ 2x + v ⋅+ v ⋅ 2x(21)dtρ ∂x∂x3∂x∂y ⋅ ∂x∂y∂z ⋅ ∂x∂zили ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V  2dVx1 ∂p∂∂= X − ⋅ + v ⋅  2x + 2x + 2x  − ⋅ν ⋅divV + v ⋅divV(22)dtρ ∂x∂y∂z  3∂x∂x ∂xИспользуем обозначение дифференциального оператора Лапласа (лапласиан, оператор дельта)∂ 2Vx ∂ 2Vx ∂ 2Vx∆ 2Vx =++ 2(23)∂x 2 ∂y 2∂zОкончательная форма уравнения:dVx1 ∂p1∂= X − ⋅ + v ⋅ ∆ 2Vx + ⋅ν ⋅divV(24)dtρ ∂x3∂xВыполним аналогичные действия с уравнением (18) :dVy∂ 2V∂2 V 2∂2 V∂ 2Vx1 ∂p∂∂ 2Vz= Y − ⋅ + v ⋅ 2y + v ⋅+ 2 ⋅ v ⋅ 2y − ⋅ν ⋅divV + v ⋅+ v ⋅ 2y(21)dtρ ∂y∂x∂x ⋅ ∂y∂y3∂y∂z ⋅ ∂y∂zили ∂ 2Vy ∂ 2Vy ∂ 2Vy  2dVy1 ∂p∂∂= Y − ⋅ + v ⋅  2 + 2 + 2  − ⋅ν ⋅divV + v ⋅divV(22)dtρ ∂y∂y∂z  3∂y∂y ∂x()()(()()Окончательная форма уравнения в проекции на ось 0 y :dVy1 ∂p1∂= Y − ⋅ + v ⋅ ∆ 2Vy + ⋅ν ⋅divVdtρ ∂y3∂y(3()()))(23)И ещё раз выполним аналогичные действия с уравнением (19)∂ 2Vy∂ 2VxdVz1 ∂p∂ 2Vz∂2 V∂2 V 2∂=Z − ⋅ +v⋅ 2 +v⋅+v⋅+ v ⋅ 2z + 2 ⋅ v ⋅ 2z − ⋅ν ⋅divVdtρ ∂y∂x∂x ⋅ ∂z∂y ⋅ ∂z∂y∂z3∂zили ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V  2dVz1 ∂p∂∂= Z − ⋅ + v ⋅  2z + 2z + 2z  − ⋅ν ⋅divV + v ⋅divVdtρ ∂z∂y∂z  3∂z∂z ∂xОкончательная форма уравнения в проекции на ось 0z :dVz1 ∂p1∂= Z − ⋅ + v ⋅ ∆ 2Vz + ⋅ν ⋅divVdtρ ∂z3∂zВекторная форма записи уравнения Навье-Стокса для изотермического течения:(()(()))dV11= F − ⋅ grad ( p) + ν ⋅ ∆ 2V + ⋅ν ⋅ grad (divV )dtρ3(24)(25)(26)(27)Уравнение Навье –Стокса для изотермического течения несжимаемой жидкости.Вы уже знаете, что для несжимаемой жидкости дивергенция вектора скорости равна нулю.Уравнение Навье-Стокса для изотермического течения несжимаемой жидкости ещё болееупростится:dV1= F − ⋅ grad ( p) + ν ⋅ ∆ 2V(28)dtρИли в проекциях на оси координат: ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V dVx1 ∂p= X − ⋅ + v ⋅  2x + 2x + 2x (29)dtρ ∂x∂y∂z  ∂x ∂ 2Vy ∂ 2Vy ∂ 2Vy1 ∂p=Y − ⋅ + v ⋅ 2 + 2 + 2 ∂xdtρ ∂y∂y∂z222∂ V ∂ V ∂ V dVz1 ∂p= Z − ⋅ + v ⋅  2z + 2z + 2z dtρ ∂z∂y∂z  ∂xdVy4.(30)(31)Уравнение Навье-Стокса в безразмерном виде.

Числа и критерии подобия.Рассмотрим в качестве примера уравнение Навье-Стокса в проекции на ось 0x (29): ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V ∂Vx∂V∂V∂V1 ∂p+ Vx ⋅ x + Vy ⋅ x + Vz ⋅ x = X − ⋅ + v ⋅  2x + 2x + 2x (32)∂t∂x∂y∂zρ ∂x∂y∂z  ∂xВведём относительные, безразмерные величины следующим образомVVVV%x = x , V%y = y , V%z = z , где V - характерная скорость ;VVVxyzx% = , y% = , z% =, где L - характерный размер, например, диаметр;LLLX % Y %ZX% =, Y =, Z =, где F0 - характерная массовая сила, например, g , Н/кг (33)F0F0F0pp% =, где p0 - характерное давление, например, атмосферное,p0tt% =, где T - характерное время, например, период колебаний.T4Заметим, что справедливы соотношения типа :∂Vx V ∂V%x ∂ 2VxV ∂ 2V%x= ⋅;= 2⋅ 2∂tT ∂t%∂x 2L ∂x%Перейдём в уравнении (32) к относительным величинам:(34)p ∂p% v ⋅ V  ∂ 2V% ∂ 2V% ∂2V% V ∂V%x V 2 % ∂V%x % ∂V%x % ∂V%x⋅+⋅ (Vx ⋅+ Vy ⋅+ Vz ⋅) = F0 ⋅ X% − 0 ⋅ + 2 ⋅  2x + 2x + 2x (35)T ∂t%L∂x%∂y%∂z%ρ ⋅ L ∂x% L  ∂x%∂y%∂z% Все члены этого уравнения имеют одну и ту же размерность, в данном случае, м/с2 (Н/кг) .Каждый член этого уравнения представляет собой произведение двух комплексов величин:- относительных, безразмерных величин:∂V%x  % ∂V%x % ∂V%x % ∂V%x  % ∂p%  ∂ 2V%x ∂ 2V%x ∂ 2V%x ,  Vx ⋅+ Vy ⋅+ Vz ⋅, ++ 2 (36), X ,∂t% ∂x%∂y%∂z% ∂x%  ∂x% 2 ∂y% 2∂z% - размерных коэффициентов; в данном случае размерность коэффициентов м/с2 (Н/кг):p0 v ⋅VV V2,, F0 ,,(37)T Lρ ⋅ L L2Очень важно отметить, что размерность каждого коэффициента одна и та же.Следовательно, если мы поделим всё уравнение на один из этих коэффициентов, то получимV2уравнение в безразмерном виде.

Разделим уравнение на коэффициент:L∂V%∂V%∂V%F ⋅LpL ∂V%x∂p%v  ∂ 2V%x ∂ 2V%x ∂2V%x ⋅+ (V%x ⋅ x + V%y ⋅ x + V%z ⋅ x ) = 0 2 ⋅ X% − 0 2 ⋅ +⋅++ 2  (38)V ⋅ T ∂t%∂x%∂y%∂z%Vρ ⋅ V ∂x% V ⋅ L  ∂x%2 ∂y%2∂z% Введём общепринятые обозначения:∂V%∂V%∂V%∂V%1∂p% 1  ∂ 2V%x ∂ 2V%x ∂ 2V%x Sh ⋅ x + (V%x ⋅ x + V%y ⋅ x + V%z ⋅ x ) = ⋅ X% − Eu ⋅ +⋅++ 2 (39)∂t%∂x%∂y%∂z%Fr∂x% Re  ∂x% 2 ∂y% 2∂z% Мы получили очень важную форму уравнения Навье-Стокса - уравнение в безразмерномвиде, коэффициентами которого являются степенные безразмерные комплексы физическихвеличин, определяющих все закономерности движения жидкости и газа.

Коэффициентыуравнения (по-другому, числа и критерии подобия), названы в честь имени учёных, внёсшихсвоими работами основной вклад в изучение процессов, связанных с данным безразмернымкомплексом.Число Струхала Sh ( или Sr , St )– безразмерный параметр, равный отношению характерногоLвременидвижения частиц к характерному времени T нестационарного процесса.VL(40)Sh =V ⋅TЧисло Струхала - один из критериевподобия нестационарных течений жидкостей игазов, характеризующий постоянство протеканияпроцессов во времени.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций