Lektsia__1_Konspekt (949198), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Я не оговорился. Различиемежду газом и жидкостью в нашем курсе настолько несущественно, что в дальнейшем я буду говорить ожидкости, а подразумевать и жидкость, и газКраевые задачи гидродинамики.При изучении движения жидкости нас интересуют:- скалярные величины: плотность ρ , кг / м 3 , температура T , K ;- векторные величины: скорость- тензоры: напряжениеVм, с/ ;p , Па.Итого нам необходимо в общем случае найти 11 неизвестных функций (плотность, температуру, трикомпонента скорости и 6 из 9 компонентов тензора напряжений). Каждая из этих функций являетсяфункцией четырёх независимых переменных: координат и времени: x, y , zи t .Следовательно, для решения задачи нам надо иметь 11 уравнений, и, кроме того, сформулироватьначальные и граничные условия (условия на границе изучаемой области).В наиболее общем случае мы имеем систему нелинейных дифференциальных уравнений в частныхпроизводных с краевыми условиями.В нашем курсе мы сумеем вывести все фундаментальные уравнения механики жидкости и газа втом виде, в котором они используются во всём мире в научных работах, в справочно-техническойлитературе, в университетах всех стран.Одно из фундаментальных уравнений - энергетическое, связывающее температуру с другимифизическими величинами, Вы будете изучать во втором семестре, а мы ограничимся частным случаемэтого уравнения:T = const ,то-есть, ограничимся в нашем курсе рассмотрением только изотермических течений.Остальные 10 фундаментальных уравнений нам предстоит вывести и проанализировать.

Вотих названия:Уравнение неразрывности (или уравнение сплошности);Уравнение динамики жидкости в напряжениях (три уравнения в проекциях на оси координат);Закон трения Стокса (шесть уравнений).3. Уравнение неразрывности в дифференциальной форме.Напомню, что плотность жидкости – это скалярная величина, определяемая как предел отношениямассы жидкости к её объёму, когда объём стягивается к этой точке∆m dm=∆w→0 ∆wdwρ ( x, y, z , t ) = limСледовательно,dm = ρ ⋅ dw(1)Рассмотрим контрольный элемент жидкости w , состоящий в любой момент времени из одних итех же частиц жидкости.

Масса такого элемента в Ньютоновской механике сохраняет свою величинупостоянной. Поэтому для контрольного элемента справедливо:d(dm) = 0(2)dtЗаменим в уравнении (2) выражение dm и раскроем производную произведения двух величин:dddρd (dw)(dm) = ( ρ ⋅ dw) = dw ⋅+ ρ⋅=0dtdtdtdt(3)Вычислим приращение объёма контрольного элемента жидкости через скорости. Рассмотримконтрольный элемент в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz . Его объёмв момент времени t равенdw t = dx ⋅ dy ⋅ dz(4)За время dt каждая грань контрольного элемента переместится на некоторое расстояние,вследствие чего объём изменится.

Левая грань, параллельная плоскости y 0 z , перемещается вдоль0x со скоростью Vx . Правая грань, параллельная этой же плоскости y 0 z , перемещается со∂Vx∂x .скоростью Vx +∂xСоответственно, этими гранями за промежуток времени dt будут пройдены расстояния Vx ⋅ dt и∂V(Vx + x ∂x) ⋅ dt .∂xоси(t + dt ) длина контрольного элемента в направлении оси 0x станет равной∂V∂V= dx + (Vx + x ∂x) ⋅ dt − Vx ⋅ dt = dx + x ∂x ⋅ dt(5)∂x∂xВ момент времениdx t + dtАналогично, вдоль других осей:dy t + dt = dy + (Vy +∂Vy∂y ) ⋅ dt − Vy ⋅ dt = dy +∂Vy∂y ⋅ dt∂y∂y∂V∂Vdz t + dt = dz + (Vz + z ∂z ) ⋅ dt − Vz ⋅ dt = dz + z ∂z ⋅ dt∂z∂zВ момент времени (t + dt ) объём контрольного элемента будет равен:∂V∂V∂Vdw t + dt = ( dx + x ⋅ dx ⋅ dt ) ⋅ (dy + y ⋅ dy ⋅ dt ) ⋅ (dz + z ⋅ dz ⋅ dt )∂x∂y∂zПриращение объёма контрольного элемента за время dt равно разности объёмоввремени (t + dt ) и dt :d (dw) = dw t + dt − dw t(6)(7)(8)в моменты(9)Раскроем скобки в выражениях (8,9) и расположим слагаемые по степенямdt :d (dw) = dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dt 0 +∂Vx ∂Vy ∂Vz++)+∂x∂y∂z∂V ∂V ∂V ∂V ∂V ∂Vdx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dt 2 ⋅ ( x ⋅ y + y ⋅ z + z ⋅ x ) +∂x ∂y∂y ∂z∂z ∂x∂V ∂V ∂Vdx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dt 3 ⋅ ( x ⋅ y ⋅ z ) −∂x ∂y ∂zdx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dt 1 ⋅ (dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dt 02dtиПроизведём сокращения и, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка (3), получим:dtd (dw) ≈ dw ⋅ dt ⋅ (∂Vx ∂Vy ∂Vz++)∂x∂y∂zИли, поделив на dt ,получим:∂V ∂V ∂Vd (dw)≅ dw ⋅ ( x + y + z )dt∂x∂y∂zПодставив в (3) выражение (10) и поделив надифференциальной форме:∂V ∂V ∂Vdρ+ ρ ⋅( x + y + z ) = 0dt∂x ∂y∂z(10)dw , получим уравнение неразрывности в(11)Вы можете встретить уравнение неразрывностиобозначений, например,dρ+ρ⋅ div V( )=dtгде дивергенция скоростис использованием других общепринятых,(12)∂Vx ∂Vy ∂Vz++)∂x∂y∂z(13)0div(V ) равна:div(V ) = (илиdρ+ ρ⋅∇ Vdt=(14)0где символом ∇ обозначен оператор набла (оператор Гамильтона), который определяетсяследующим образом:∇=где∂∂∂⋅i + ⋅ j + ⋅k∂x∂y∂z(15)i , j , k - единичные векторы по осям x , y , k .Равенство∇V =получаютсимвольно,формально∂Vx ∂Vy ∂Vz++∂x∂y∂zприменяяквычисления скалярного произведения двух вектороввекторам(16)∂ ∂ ∂∇  , ,  и V { Vx , Vy , Vz } правила ∂x ∂y ∂z (a ⋅ b) = ax ⋅ bx + a y ⋅ by + az ⋅ bz(17)Получим более распространённую, но столь же общую форму уравнения неразрывности.Вспомним выражение полной производной по времени от функции четырёх переменных:d ρ ( x, y, z, t ) ∂ρ ∂ρ dx ∂ρ dy ∂ρ dz=+⋅ +⋅ +⋅dt∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dtИли заметив, чтоVx =(18)dxdydz, Vy =, Vz =, получим полезное выражение:dtdtdtd ρ ∂ρ∂ρ∂ρ∂ρ=+ Vx ⋅+ Vy ⋅+ Vz ⋅dt∂t∂x∂y∂z(19)Раскроем уравнение (11), используя выражение (19) и перегруппируем слагаемые, как этопоказано ниже:∂V∂V∂ρ∂ρ∂ρ∂ρ∂V+ (Vx ⋅+ ρ ⋅ x ) + (Vy ⋅+ ρ ⋅ y ) + (Vz ⋅+ρ⋅ z) = 0∂t∂x∂x∂y∂y∂z∂z(20)∂ρ ∂ ( ρ ⋅ Vx ) ∂ ( ρ ⋅ Vy ) ∂ ( ρ ⋅ Vz )+++=0∂t∂x∂y∂z(21)∂ρ+ div( ρ ⋅ V ) = 0∂t(22)∂ρ+ ∇( ρ ⋅V ) = 0∂t(23)ИлиИлиИлиЧастные случаи уравнения неразрывности.1.

Установившееся движение жидкости – движение, при котором в любой точке все физическиевеличины остаются постоянными в течение всего времени наблюдения; в установившемся режимедвижения частная производная от плотности по времени равна нулю. Уравнение неразрывности впространстве в установившемся режиме принимает вид:∂ ( ρ ⋅ Vx ) ∂ ( ρ ⋅ Vy ) ∂ ( ρ ⋅ Vz )++=0∂x∂y∂z(24)div( ρ ⋅ V ) = 0(25)∇( ρ ⋅ V ) = 0(26)∂Vx ∂Vy ∂Vz++=0∂x∂y∂z(27)divV = 0(28)илиили2. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости ( ρ = const ) в пространстве:или3. Уравнение неразрывности для плоского движения несжимаемой жидкости ( ρ∂Vx ∂Vy+=0∂x∂y= const ):(29)4.

Уравнение неразрывности для одномерного движения несжимаемой жидкости ( ρ = const ):∂Vx=0∂xилиVx = V = const(30)Следовательно, из уравнения неразрывности следует, что в этом виде движения в любой момент времениво всех точках скорость одинакова.Значение и применение уравнения неразрывности.1. Уравнение неразрывности является одним из основных фундаментальных уравнений, незаменимойсоставляющей математической модели механики жидкости и газа. В этом главное его значение.2.

Уравнение неразрывности может быть использовано для проверки корректностиуравнений,описывающих поле скоростей, полученных, например, экспериментальным путём.3. Уравнение неразрывности может быть использовано для вычисления одной из компонент вектораскорости, если заданы остальные.4. Уравнение неразрывности может использоваться для уточнения экспериментальных коэффициентов ваппроксимационных формулах поля скоростей.5.

Уравнение неразрывности может быть использовано для сокращения необходимого объёмаэкспериментов по определению поля скоростей.Контрольные вопросы, задачки и примеры см. в файле «Пособие к лекции № 1» на сайте Google Docs.Конец лекции № 1.

Характеристики

Список файлов лекций