Шпоры (948204), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

V²/2 - удельная кинетическая энергия жидкости.

Энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости.

Механическая энергия жидкости может иметь три формы: потенциальная энергия, энергия давления и кинетическая энергия.

Первая и третья формы механической энергии известны из механики, они свойственны твердым и жидким телам.

Энергия давления является специфической для движущихся жидкостей. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может преобразовываться в другую, однако полная удельная энергия идеальной жидкости при этом как следует из уравнения Бернулли, остается без изменений.

5.8. Вывод дифференциальных уравнений движения

идеальной жидкости и их интегрирование (уравнений Эйлера).

Единичные массовые силы или проекции ускорений на оси: Х, У и Z.

Если давление в точке М обозначить через Р, давление вдоль оси Х в точке N - будет сумой давления в точке М и приращения по координате Х.

Сила давления: .

Скорость движения жидкости в точке М обозначим через V , а ее проекции через V_х, V_y V_z . Проекции ускорения, с которыми движется выделенный объем, будут равны: V_х/dt, V_y/dt, V_z/dt.

Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси будут иметь вид

ρ*δхδyδz*(dV_х/dt) = Xρ δхδyδz - (dp/dx)* δхδyδz;

{ ρ*δхδyδz*(dV_y/dt) = Yρ δхδyδz - (dp/dy)* δхδyδz;

ρ*δхδyδz*(dV_z/dt) = Zρ δхδyδz - (dp/dz)* δхδyδz;

Система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости, называемая уравнениями Эйлера.

(5.16)

Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений (5.16) на проекции элементарного перемещения по осям и сложим уравнения:

В проекциях на ось X:

В проекциях на ось Y:

В проекциях на ось Z:

Просуммировав эти проекции, получим:

(5.17)

Учитывая, что выражение в скобках является полным дифференциалом давления: .

Произведение проекции скорости на дифференциал скорости можно выразить следующим образом:

Уравнение (5.17) можно переписать в следующем виде

Xdx +Ydy + Zdz = (1/ρ)*(dp) + d(V²/2), (5.18)

или dU = (1/ρ)*(dp) + d(V²/2).

где U – силовая функция.

Интегрирование этого уравнения выполним для основного частного случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила - сила тяжести. При направлении оси вертикально вверх

X = 0, Y= 0, Z = - g.

Подставляя эти значения в уравнение (5.17) получим

gdz + dp/ρ + d(V²/2) = 0 или dz + dp/(gρ) + d(V²/2g) = 0.

Так как для несжимаемой жидкости ρ = const, предыдущее уравнение можно переписать в виде

d(z + p/(gρ) + (v²/2g)) = 0, z + p/(gρ) + (v²/2g) → const.

Если записать это уравнение для двух сечений струйки 1-1 и 2-2, оно примет вид первой формы уравнения Бернулли: = Н

6.1.Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости.

При движении реальной жидкости на преодоление сопротивлений, связанных с вязкостью, требуются затраты энергии, поэтому удельная энергия движущейся вязкой жидкости не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а уменьшается вдоль потока.

При выводе уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости вместо неравномерного распределения скоростей рассматриваются средние скорости и средние значения удельной энергии жидкости в данном сечении. Измерение скорости в различных точках сечения потока выполнить сложно, измерение средней скорости потока выполнить проще и они могут быть сделаны с большей точностью.

6.2. Мощность потока

Мощностью потока называется полная энергия, которую проносит поток через данное сечение в единицу времени.

Мощностью называется отношение работы, выполненной за определенный промежуток времни к длительности этого промежутка. Например, для гидроцилиндра

где давление p = ρgh, , работа А =pghS*L, массовый расход δQ_m = ρW/t = ρ(L*S) /t

Мощность элементарной струйки это произведение полной удельной энергии струйки жидкости в виде третьей формы уравнения Бернулли в данной точке

gН= gz + p/(ρ) + (V²/2), на элементарный массовый расход струйки δQ_m = ρ(V*δS /δt).

δN = gH*δQ_m = (gz + p/ρ + v²/2)*ρ* v*δS = P*δQ

Мощность всего потока ,

6.3 Коэффициент Кориолиса

Для определения полной удельной мощности потока разделим мощность потока на средний массовый расход: Q_m = ρQ = , где Q=Vср*S.

Умножив и разделив последний член на V , получим, переходя к напорам (третья степень в знаменателе получается умножением на скорость в составе расхода)

(6.6)

Коэффициент Кориолиса представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии того же потока и в том же сечения, но при равномерном распределении скоростей, поскольку интеграл от dm = ρ*VdS – масса потока в данном сечении:

Возьмем два сечения реального потока, первое и второе, и обозначим средние значения полного напора жидкости в этих сечениях соответственно Н_ср1 и Н_ср2. Тогда

Н _ср1 = Н_ср2 + Σh_п, где Σh_п - суммарная потеря полного напора на участке между рассматриваемыми сечениями.

Это уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости:

(6.8)

От уравнения для элементарной струйки идеальной жидкости это уравнение отличается четвертым членом - потерей полного напора, и коэффициентами Кориолиса, учитывающим неравномерность распределения скоростей. Скорости, входящие в это уравнение, являются средними скоростями в первом и тором сечениях потока.

Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости - это закон сохранения механической энергии.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - уравнение баланса энергии с учетом потерь.

6.4 Гидравлические потери .

Гидравлические потери удельной энергии, выраженные напором или давлением, зависят от формы и размеров трубопровода, скорости течения и вязкости жидкости.

При турбулентном режиме движения жидкости гидравлические потери пропорциональны скоростям во второй степени, в единицах длины h _п = ζ V² _ср /(2g),

Безразмерный коэффициент потерь ζ - дзета называется коэффициентом сопротивления и равен отношению величины потерянного напора к скоростному напору.

Гидравлические потери разделяют на местные потери и потери на трение по длине.

Значение ζ вообще зависит от формы местного сопротивле­ния, шероховатости его стенок, условий входа и выхода из него жидкости и основного критерия динамического подобия напор­ных потоков - числа Рейнольдса.

Число Рейнольдса обычно относят к сечению трубопровода, в котором находится местное сопротивление

.

где V и Q - средняя скорость потока и расход в трубе; D - диа­метр трубы; ν- кинематическая вязкость жидкости.

Число Рейнольса определяет режим течения жидкости. При его значении меньше Re≤2300 режим течения жидкости называется ламинарным, от слова ламина – слой или слоистым.

Ламинарным движением жидкости называется режим ее течения упорядоченным слоями без ее перемешивания.

Струи жидкости, находящиеся на разном удалении от оси движутся с различными скоростями. Наибольшую скорость имеет осевая струйка, при стенках скорость равна нулю.

Увеличение скорости понижает устойчивость ламинарного течения и нарушает его режим. На устойчивость ламинарного режима оказывают влияние вязкость жидкости, плотность, скорость движения частиц, а также диаметр трубопровода.

При увеличении скорости струйки разрываются, разрыву предшествует образование волнообразных колебаний. При усилении колебаний струйка полностью перемешивается с окружающей жидкостью. Движение частиц производит впечатление беспорядочных вихрей. При числах Рейнольса больше Re>2300 режим течения жидкости становится турбулентным.

Турбулентным движением жидкости называется режим ее течения неупорядоченным слоями с их перемешиванием.

6.5.Местные потери

Местные потери энергии вызваны изменениями формы и размера трубопровода, вызывающими деформацию потока. Жидкости, протекая через местные сопротивления, изменяет скорость и образует вихри. После отрыва потока от стенок вихри образуют области, в которых частицы жидкости движутся в основном по замкнутым траекториям.

Каждое местное сопротивление характеризуется значением коэффициента сопротивления ζ, которое приближенно можно считать постоянным для данной формы местного сопротивления.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)