Шпоры (948204), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость. Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и равными δx, δy и δz. Точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. F=Fx+Fy+Fz = mA, A= F/m = Fx/m +Fy/m +Fz/m=X+Y+ Z,

Давление Р есть функция координат x, y и z, вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково по закону гидростатического давления. При переходе от точки М например к точке N функция P получает приращение, равное частному дифференциалу (∂р/∂х)*δх, поэтому давление в точке N’ равно Р + (∂р/∂х)*δх,

Р – [Р+(∂р/∂х) *δх]= (∂р/∂х)*δх.

На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях трех координатных осей запишем в следующем виде:

X*ρ δхδyδz - (∂р/∂х)*δхδyδ =0 Y*ρ δхδyδz - (∂р/∂y)*δхδyδz=0Z*ρ δхδyδz - (∂р/∂z)*δхδyδz=0

X – (1/ρ)*(∂р/∂х) = 0 Y - (1/ρ)*(∂р/∂y) = 0 Z - (1/ρ)*(∂р/∂z) = 0

Система дифференциальных уравнений гидростатики называется уравнениями Эйлера.

X*dх+У*dy+Z*dz - (1/ρ)*[(∂р/∂х)dx) + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] = 0

dP = - ρg*dz , P = - ρg*dz + C (3.6a)

Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной поверхности для которой при Z = Z₀ , Р=Р₀ . Получим С= Р₀+ ρg*Z₀

Подставим С, получим P= Р₀+( Z₀ -Z) ρg Р = P₀ + ρgh

3.4. Пьезометрическая высота.

Пьезометрической высотой называется заглубление точки измерения относительно пьезометрической плоскости.

3.5. Вакуум.

Жидкость будет следовать за поршнем и с ним поднимется на некоторую высоту от свободной поверхности с атмосферным давлением. Давление под поршнем будет уменьшаться

а) Для точек, расположенных под свободной поверхностью воды давление определится по формуле для гидростатического закона P_абс= Р_ат+( Z₀ –Z₂) ρg,

при этом Z₀ > Z₂ и разность положительна ( Z₀ –Z₂)>0.

б) Z₁ > Z₀ разность (Z₀ – Z₁)< 0 отрицательна, согласно уравнению

P_абс= Р_ат + ( Z₀ –Z₁) ρg = Р_ат - ρgh₁, ,

h₁ = hвак = (Рат — Рабс) /(ρg). (3.10)

По мере подъема поршня абсолютное давление жидкости под ним уменьшается. Нижним пределом для абсолютного давления в жидкости является ноль.

Максимальное значение вакуума численно равно атмосферному давлению, поэтому максимальную высоту всасывания жидкости можно определить по уравнению (3.10), если в нем положить Рабс = 0. Таким образом,

H_mах = Рат/(ρg) = Рат/γ.

3.5.1. Измерение вакуума

Вакуум в жидкости А можно измерять при помощи U-образной трубки (на рис.3.8) или перевернутой U-образной трубки, один конец которой опущен в сосуд с жидкостью (см. рисунок слева).

3.6. Приборы для измерения давления.

3.6.1. U-образный манометр

Р_м = h₁ρ₁g + h₂ρ₂g.

3.6.2. Чашечный манометр

Р_аб = Р_ат + ρ_ртgh

Р_A = Р_ат + ρ_ртgh- ρgh₀

3.6.3. Для измерения разности давлений в двух точках служат дифференциальные манометры, простейшим из которых является U-образный манометр (рис.3.11а).

Если при помощи такого манометра, обычно заполняемого ртутью, измерена разность давлений Р₁ и P₂ в жидкости плотностью ρ, которая полностью заполняет соединительные трубки, то

Р₁-Р₂= hg(ρ_рт – ρ).

Для измерения малых перепадов давления применяют двухжидкостный микроманометр, представляющий собой перевернутую U- образную трубку, заполненную маслом или керосином в вёрхней части (рис.3.11б).

Р₁-Р₂= hg(ρ₂ – ρ₁).

3.6.7. Манометры с упругим чувствительным элементом.

4.1. Сила давления жидкости па плоскую стенку

Давление жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под произвольным углом α, определяется по основному уравнению гидростатики Р=Р₀+hρg

δFж = P*δS =(P₀ + ρhg) δS = P₀*δS + ρhg*δS,

где Р₀ — давление на свободной поверхности, h — глубина расположения площадки δS.

Переходя к пределу при стремлении площадки δS→0, получим выражение

,

где у — координата площадки dS, h = у*Sinα .

Интеграл представляет собой статический момент площади S относительно оси Ох , который равен произведению площади S на координату у_с ее центра тяжести - точки С:

Усилие давления жидкости на плоскую, наклоненную стенку равно

Fж = P₀S+ρg(y_c Sinα) S = P₀S+ρgh_cS, (4.1)

здесь h_c = (y_c Sinα)— глубина расположения центра тяжести площади S.

Fж = ρg (H₀ +h_c)S = P_cS, (4. 2)

Сила давления жидкости Fж = ρgh_cS – это вес объема V = h_cS жидкости.

Полная сила давления жидкости Fж на плоскую стенку равна произведению площади стенки S на гидростатическое давление Р_с в центре тяжести этой площади.

1. когда давление Р₀ является атмосферным F_{изб ж} = P_cS= ρgh_cS.

2. давление Р₀ может существенно отличаться от атмосферного

F= F₀ + Fж = (P₀+Pс)S.

4.2. Точка приложения силы давления.

Внешнее давление Р₀ передается всем точкам площади S одинаково, и его равнодействующая сил внешнего давления F₀ будет приложена в центре тяжести площади S с координатой - у_с.

Для нахождения точки D приложения силы давления Fж от веса жидкости применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, в данном случае элементарных сил.

(4.4)

где - момент инерции площади S относительно оси Оx.

4.3 Сила давления жидкости на криволинейную стенку.

Нахождение силы давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае приводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов.

Rс_в =Pжв= Р₀F_г + G = Р₀F_г + ρgV₀, (4.8)

Объем V₀ называют – объем тела давления..

Rсг=Pжг= F_вρgh_c+ F_в Р₀ = F_в(ρgh_c+ Р₀). .

Сила давления жидкости на криволинейную стенку будет равна сила реакции стенки Rж = P и направлена в противоположную сторону.

4.4. Плавание тел.

Описанный выше прием нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости па криволинейную стенку используют для доказательства закона Архимеда.

F_А = F_в2 - F_в1 = G_ACBD =Vρg. (4.11)

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости вытесненной телом и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тел.

4.5. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью.

Относительным покоем называется равновесие жидкости, находящейся под действием сил тяжести и инерции в движущемся сосуде.

При относительном покое положение свободной поверхности и поверхностей уровня, отличается от их положения для жидкости в неподвижном сосуде.

Основное свойство поверхностей уровня - равнодействующая массовых сил всегда нормальна к этим поверхностям. dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz)

Если dР=0 на поверхности уровня - это поверхности равного давления

X*dх+У*dy+Z*dz = 0

Из этого выражения следует, что работа массовых сил вдоль поверхности равного давления равна нулю. Это значит, что в состоянии относительного покоя результирующее ускорение перпендикулярно к соответствующему элементу поверхности равного давления.

Рассмотрим два случая относительного покоя.

Первый случай: сосуд, движущийся прямолинейно и равноускоренно.

Второй случай: сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью.

1. Проекции массовых сил, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны произведениям проекций единичных сил, умноженным на массу выделенного объема.

Fx = mX, Fy = mY, Fz = mZ.

Результирующую единичную массовую силу, действующую на жидкость, найдем как сумму единичных векторов силы инерции j и силы тяжести g. Единичная сила инерции Fи = j = - a направлена в сторону противоположную ускорению а (рис.4.5).

Проекции сумм массовых сил на оси:

Ox: X = j - gSinα,

Oz : Z = -gCosα,

Оx: Y = 0.

(1/ρ)dp = [(j - gSinα)dx – (gCosα)dz].

Р = ρ [(j - gSinα) x – (gCosα)z] + С

Если Р = const С₁ - Р = const, где Р получим уравнение изобарических поверхностей ρ [(j - gSina) x – ρgCosa* z] +С₁ = 0

х₀ = 0, z = z₀, находим С₁=ρg z₀Cosα для свободной поверхности.

ρ [(j - gSina) x – ρgCosa* z] + ρg z₀Cosα = 0 (j - gSina) x –gCosa*( z + z₀) = 0

Для определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно к уравнению (4.16) нужно добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать первоначальный объем жидкости в сосуде и выразить его через размеры сосуда В и Н и первоначальный уровень h.

Если сосуд движется только под действием силы тяжести, то j= gSinα β = 0.

При нулевых условиях: х = 0, z = z₀, P = P₀ в формуле (4.14), получим C = P₀+ (ρgCosa)z₀: Р = ρ [(j - gSinα) x – (gCosα)z + С

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)