ИродовЗадачник (947483), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние 1 = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума Лх = 0,36 мм. 6.59. Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов (? = 25 В, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми т( = 50 мкм. Определить расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии ( = 100 см от щелей. 6,60.
Узкий пучок моноэиергетических электронов падает под углом скольжения д = 30' на естественную грань монокрпсталла алюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани монокристалла, г) = 0,20 нм, При некотором ускоряющем напряжении 1У, наблюдали максимум зеркального отражения.
Найти сГ„если известно, что следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения в т1 = 2,25 раза. 6.61. Узкий пучок моиоэнергетических электронов падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол д =- 55 с нормалью к поверхности, наблюдается максимум отражения четвертого порядка прн энергии электронов Т = 180 эВ.
Вычислить соответствующее значение межплоскостного расстояния. 6.62. Узкий пучок электронов с кинетической энергией Т =- = 1ОкэВпроходитчерез поликристаллическую алюминиевую фольгу, образуя ва экране систему дифракционных колец. Вычислить межплоскостное расстояние, соответствующее отражению третье~о порядка от некоторой системы кристаллических плоскостей, если ему отвечает дифракционное кольцо диаметра Е1 = 3,20 см. Расстояние между экраном и фольгой 1 = 10,0 см.
6.63. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов 11, падает на поверхность металла, внутренний потенциал которого Ц = 15 В. Найти: а) показатель преломления металла для электронов с 1У = 150 В; б) отношение 1У/1),, при котором показатель преломления отличается от единицы не более чем на т1 = 1,0%. 6.64. Частица массы пг находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна 1.
Найти возможные значения энергии частицы, имея в виду, что реализуются лишь такие состояния ее движения, для которых в пределах данной ямы укладывается целое число дебройлевских полуволн. 6.65. Интерпретировать квантовые условия Бора на основе волновых представлений: показать, что электрон в атоме водорода может двигаться только по тем круговым орбитам, на которых укладывается целое число дебройлевских волн. 6.66. Оценить наименыпие ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массы 1 мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.
6.67. Оценить с помощью соотношения неопределенностей неопределенность скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома 1 = 0,10 нм. Сравнить полученную величину со скоростью электрона на первой боровской орбите данного атома. 6.68. Показать, что для частицы, неопределенность местоположения которой Лх = Л/2п, где Л вЂ” ее дебройлевская длина волны, неопределенность скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.
6.69. Свободный электрон первоначально был локализован в области размером 1 — - 0,10 нм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей время, за которое, ширина соответствующего волнового пакета увеличится в г1 =- 10 раз. 6.70. Оценить с помощью соотношения неопределенностей мшшмальпую кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером 1 =- 0,20 нм.
6.71. Электрон с кинетической энергией Т ж 4 эВ локализован в области размером 1 = 1 мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости. 6.72. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна 1.
Оценить с помощью соотношения неопределенностей силу давления электрона на стенки этой ямы при минимально возможной его энергии. 6.73. Частица массы пг движется в одномерном потенциальном поле У = йх'/2 (гармонический осцнллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле. 6.74. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра. 6.75. Параллельный пучок атомов водорода со скоростью о =- — — — 600 м/с падаег нормально на диафрагму с узкой щелью, за которой на расстоянии 1 = 1,0 м расположен экран.
Оценить с помощью соотношения неопределенностей ширину 6 щели, прн которой ширина изображения ее на экране будет минимальной. 6.76. Найти частное решение одномерного временнбго уравнения Шредингера для свободно движущейся частицы массы и. 6.77. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины 1 с абсолютно непроницаемыми стенками 10 ( х ( 1). Найти вероятность пребывания частицы в области '/,1= х =.'/,1.
6.78. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна 1. Найти нормированные волновые функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты х в середине ямы. 6.79. Доказать, что волновые функции стационарных состояний частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками являются ортогональными, т. е.
удовлетворяют условию ~ф„ф„йх=О, если и' ~ п, Здесь 1 — ширина ямы, а — целые о числа. 6.80. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы 1 такова, что энергетические уровни расположены весьма густо. 244 Найти плотность уровней г(Ц6Е, т. е. нх число на единичный интервал энергии, в зависимости от Е. Вычислить НА/дЕ для Е == 1,0 эВ, если 1 = — 1,0 см. 6.81, Частица массы т находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти: а) возможные значения энергии частицы, если стороны ямы равны 1, и 1,; б) значения энергии частицы на первых четырех уровнях, если яма квадратная со стороной 1. 6.82.
Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (О < х < < а, 0 < у < Ь). Определить вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области 0 < х < а/3. 6.83. Частица массы гл находится н трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроннцаемымп стенками. Сторона куба равна а. Найти: а) собственные значения энергии частицы; б) разность энергий 3-го н 4-го уровней; в) энергию б-го уровня и соответствующее ему число состояний (кратность вырождения).
6.84. Показать с помощью уравнения Шредингера, что в точке, где потенциальная энергия частицы (/(х) имеет конечный разрыв, волновая функция остается гладкой, т. е. ее первая производная по координате непрерывна. 6.85. Частица массы т находится в одномерном потенциальном поле (/(х), вид которого показан на рнс. 6.2, где (/(0) = оо. Найти: а) уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в области Е < (/„; привести это уравнение к виду з1п И = + й1 )/РР~2тИ/„, где й = ~'2яЕ13. Е Ф Показать с помощью графического решения данного уравне- г ния, что возможные значения энергии частицы образуют дис- янс, 4.2. кретный спектр; б) минимальное значение величины 1'(/,, при котором появляется первый энергетический уровень в области Е < У,.
При каком минимальном значении 1'(/, появляется и-й уровень? 6.86. Воспользовавшись решением предыдущей задачи, определить вероятность нахождения частицы с энергией Е = (/„/2 в области х 1, если 14(/, -= ('/,л)' л7'ль 6.87. Найти возможные значения энергии частицы массы т, находящейся в сферическн-симметричной потенциальной яме У(г) =- =-: 0 при г < г„и У(г) = оо при г = — г,, для случая, когда движение частицы описывается волновой функцией ф(г), зависящей только от г. 24$ У к а з а н и е.
При решении уравнения Шредингера воспользоваться подстановкой ф(г) =- Х(г)/г. 6.88. Имея в виду условия предыдущей задачи, найти: а) нормированные собственные функции частицы в состояниях, где ф(г) зависит только от г; б) для основного состояния частицы наиболее вероятное значение г„р, а также вероятность нахождения частицы в области г ~ г„р. 6.89. Частица массы т находится в сферически-симметричной потенциальной яме (/(г) = — 0 при г.с г, и (/(г) = (/, при г) дп а) Найти с помощью подстановки ф(г) = у(г)/г уравнение, определяющее собственные значения энергии Е частицы при Е ~ (/0, когда движение описывается волновой функцией ф(г), зависящей только от г.