ИродовЗадачник (947483), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пусть поверхностная плотность заряда на сфере радиуса Я зависит от полярного угла б как о = о, соз б, где оэ — положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров радиуса К, заряды которых одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри данной сферы.
3.18. Найти вектор напряженности электрического поля в центре шара радиуса И, объемная плотность заряда которого р = аг, где а — постоянный вектор, г — радиус-вектор, проведенный из центра шара. 3.19. Равномерно заряженная очень длинная нить, расположенная по оси круга радиуса К, ° -- — --е упирается одним своим концом в его центр.
~К ~ 1 Ч Заряд нити на единицу длины равен Х. Найти поток вектора Е через площадь круга. 3.20. Два точечных заряда ди — д располоРис. 3.3 жены на расстоянии 21 друг от друга (рис. 3.3). Найти поток вектора напряженности электрического поля через круг радиуса )г. 3,21. Шар радиуса К равномерно заряжен с обьемной плотно-.
стью р. Найти поток вектора напряженности электрического поля 100 через сечение шара, которое образовано плоскостью, отстоящей от центра шара на расстояние г; ( Я. 3.22. Две длинные параллельные друг другу нити равномерно заряжены так, что на единицу длины каждой из них приходится заряд Х. Расстояние между нитями равно 1. Найти максимальное значение напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой системы, расположенной между нитями. 3.23. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена равномерно по длине с поверхностной плотностью о = а, соз р, где ~р — полярный угол цилиндрической системы координат с осью г, совпадающей с осью данной поверхности.
Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля на оси г. 3.24. Напряженность электрического поля зависит только от координат х и у по закону Е = а (х1 + у))/(х' + у'), где а — постоянная, 1 и 1 — орты осей х и д. Найти поток вектора Е через сферу радиуса Й с центром в начале координат. 3.25; Шар радиуса Я имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния г до его центра по закону р = р, (1 — г/)1), где ра — постоянная.
Полагая диэлектрическую проницаемость шара и окружающего пространства равной единице, найти: а) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния г; б) максимальное значение напряженности Е„„, и соответствующее ему значение расстояния г . 3.26. Система состоит из шара радиуса )1, заряженного сферически симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью р = а/г, где а — постоянная, г — расстояние от центра шара.
Найти заряд шара, при котором модуль вектора напряженности электрического поля вне шара не будет зависеть от г. Чему равна эта напряженность? Диэлектрическая проницаемость шара и окружающей среды предполагается равной единице. 3.27. Пространство заполнено зарядом с объемной плотностью р = р,е, где рэ и а — положительные константы, г — расстояние от центра данной системы. Найти модуль вектора напряженности электрического поля как функцию г. Исследовать полученное выражение при малых и больших г, т.
е. при ага ч.-". 1 исоа,'х 1. 3.28. Внутри шара, заряженного равномерно с объемной плотностью р, имеется сферическая полость. Центр полости смещен относительно центра шара на величину а. Найти напряженность Е поля внутри полости, полагая диэлектрическую проницаемость равной единице. 3.29. Внутри бесконечно длинного круглого цилиндра, заряженного равномерно с объемной плотностью р, имеется круглая цилиндрическая полость.
Расстояние между осями цилиндра и полости равно а. Найти напряженность Е электрического поля в полости. Диэлектрическую проницаемость считать равной единице. 3.30. Имеются два тонких проволочных кольца радиуса Р каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны д и — д. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстоящими друг от друга на расстояние а. 3.31. Имеется бесконечно длинная прямая нить, заряженная равномерно с линейной плотностью А = 0,40 мкКл/м. Вычислить разность потенциалов точек 1 и 2, если точка 2 находится в ц = 2,0 раза дальше от нити, чем точка 1.
3.32. Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре полусферы радиуса Й, заряженной равномерно с поверхностной плотностью о. З.ЗЗ. Находящаяся в вакууме круглая очень тонкая пластинка радиуса Я равномерно заряжена с поверхностной плотностью и. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния 1 от ее центра. Исследовать полученное выражение при 1-~ 0 и 1,'~. Я. 3.34.
Найти потенциал ф на краю тонкого диска радиуса Я, по которому равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью и. 3.35. Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого имеет вид ф = аг, где а — постоянный вектор, г— радиус-вектор точки поля. 3.36. Определить вектор напряженности электрического поля, потенциал которого зависит от координат х, у по закону: а) ф = а (х' — у'); б) ф = аху, где а — постоянная. Изобразить примерный вид этих полей с помощью силовых линий (в плоскости х, у).
3.37, Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид ф = а (х' + у') + Ьг', где а и Ь вЂ” постоянные. Найти модуль и направление вектора напряженности поля. Какую форму имеют вквипотенциальные поверхности в случаях: а) а>0, Ь)0; б) а>0, Ь<0? ,У 3.38. Заряд д распределен равномерно по Е! объему шара радиуса Я. Полагая диэлектричег скую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал: а) в центре шара; б) внутри шара как функцию расстояния г от его центра. 3.39.
Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом р (рис. 3.4) может быть представлен как ф = рг/4пз,г', где г — радиус-вектор. Найти с помощью этого выражения модуль вектора напряженности электрического поля диполя как функцию г и О. 3.40. Точечный диполь с электрическим моментом р, ориентированный в положительном направлении оси г, находится в начале координат. Найти проекции вектора напряженности электрического ню поля Е, и Е ~ (на плоскость, перпендикулярную к оси г в точке 3 (см.
рис. 3.4)). В каких точках В ( р? 3.41. Точечный электрический диполь с моментом р находится во внешнем однородном электрическом поле, напряженность которого равна Е„причем р Т) Е,. В этом случае одна из эквипотенциальных поверхностей, охватывающих диполь, является сферой. Найти ее радиус. 3.42. Две параллельные тонкие нити равномерно заряжены с линейной плотностью Х и — Х.
Расстояние между нитями равно 1. Найти потенциал и модуль вектора напряженности электрического поля на расстоянии г.'> 1 под углом б к вектору! (рис. 3.5). Рис. 3.5, Рис. 3.6. 3.43. Два коаксиальных кольца, каждое радиуса Я, иэ тонкой проволоки находятся на малом расстоянии 1 друг от друга (1 ~' Я) и имеют заряды д и — д. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси системы как функции координаты х (рис. 3.6). Изобразить на одном рисунке примерные графики полученных зависи- Й мостей. Исследовать эти функции при ( х ) ~ 1?. 3.44. Две безграничные плоскости, отл л стоящие друг от друга на расстояние 1, заряжены равномерно с поверхностной плотностью и и — о (рис. 3.7).
Плоскости имеют коаксиальные отверстия радиуса Я, ! причем 1< Я. Взяв координатную ось х с началом отсчета О, как показано на рисунке, найти потенциал и проекцию вектора напряженности электрического поля Е„ на оси системы как функции координаты х. Изобразить примерный график ~р (х). 3.46. Имеется плоский конденсатор с круглыми тонкими пластинамн радиуса 1?, отстоящими друг от друга на расстояние 1 (1 с~ Я) и заряженными равномерно с поверхностной плотностью и и — о.
Найти потенциал и модуль вектора напряженности электрического поля на оси системы как функции расстояния х до пластин, если х ь1. Исследовать полученные выражения прн х ~ 1?. 3.46. Диполь с электрическим моментом р находится ва расстоянии г от длинной нити, заряженной равномерно с линейной плзт- мастью д. Найтк силу Р, действующую на диполь, если вектор р ориентирован: а) вдоль нити; б) по радиус-вектору г; в) перпендикулярно к нити н радиус-вектору г. 3.47. Найти силу взаимодействия двух молекул воды, отстоящих друг от друга на расстояние 1 = 10 нм, если их электрические моменты ориентированы вдоль одной и той же прямой. Момент каждой молекулы р = 0,62 10 " Кл м. 3.48. Найти потенциал ф (х, у) электростатического поля Е = а (у( + х)), где а — постоянная, 1 и 1 — орты осей х и у. 3.49.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
