Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 34
Текст из файла (страница 34)
При определенных значениях М и Р возникают только новые формы равновесия (в=О). Определение критических состояний здесь можно было бы произвести и аналитически, однако при отлаженной программе делать это нецелесообразно н удобнее переложить вычисления сразу на машину по уже разрзботанному алгоритму. Кривые, ограничивающие область устойчивости, представлены на рис. 332 и понятны без объяснений. 14Р Возвратимся к решению вадачи 113. Легко убедиться в том, что трубопровод, защемленный одним концом, не имеет форм равновесия кроме исходной, прямолинейной. Действительно, из решения задачи 113 используем у = А з1пах + В сов ах+ Сх+В, по для иных граничных условий, а именно: при х=О у=О и у'=О, при х=1 у"=О и у"'=О.
откуда В + 1) = О, Аа.+ С= О, А з1п Ы -1 В сов а1 = О, А сов а1-- В з)па1 = О. Из двух последних выражений вытекает, что для А и В ненулевые решения существуют, если з1п'а1+созза1 = О, что невозможно. Следовательно, А = В = С= О = О, и стержень не имеет форм равновесия, отличных от исходной прямолинейной. Необходимо обратиться к поиску форм движения. Заметим, кстати, что существование этих форм легко обнаруживается, если через гибкий резиновый шланг подавать под достаточным давлением воздух от компрессора.
Точно такое же колебательное движение можно наблюдать при подаче воды через шланг, лежащий, например, при заливке катка на мокром скользком льду. Пусть масса трубы на единицу длины будет лг„ а масса жидкости, также отнесенная к единице длины, тм, На 312 Решение 3АдАч и ОтВеты нА ВОИРОсы 444З отрезке 44х (рнс. 383) имеем соответственно массы «4,4гх н я4 4Гх. При поперечном движении трубопровода на отрезке 4Гх возникает инерционная сила, равная — уу (гпт + Лгж) 44Х ау В связи с тем, что поток частиц поворачивается с угловой асу скоростью — , возникает кориолисово ускорение. Соотдхдт' ветствующая инерционная У сила будет: д у — 2 — оаш 44х. дх дГ С тем же знаком пишем выражение для силы, связанной с кривизной потока 4или с нормальным ускорением): ау — — отл4 с)Х.
ах Рис. 383. Сумма этих сил, деленная на 44х, дает интенсивность попе- речной «внешней» нагрузки. Следовательно, дгу д'у ау ау Е/ — = — — (лт +ш ) — 2 — ощ — — ~т~ дх4 дГ4 ™ дх дГ ж дх™ Перейдем сразу же к безразмерной форме. Положим, что у=У1е(е+'"ч ш; А=1,4; х=)~. Г)) у ей т (жт 4 Я4ж) 4~ Тогда получим: дг4 +0',~~, +.2РХ4е+Йе) — „+(е+г4з)'У=О, (2) д4У 4РУ дУ где р=о)/ —,, к=)/ (3) Первый параметр характеризует расход жидкости через трубопровод, второй — соотношение между массой жидкости и массой трубопровода.
З»З »е»» »ч. тстопчивость В заделке при ~= О Г = О и †„ = О. На конце стержня а»' при в=1 имеем: л2»' лз» вЂ” =О и — „=О. нр а~з Теперь задача сводится к определению областей изменения параметров р и н, при которых вещественная часть е показателя е+гы (1) принимает положительные значения. Имея в виду переложить операцию поиска на электронную цифровую машину, положим: Из двух первых граничных условий следует, что Се — — С, = О. Два лругих условия принимают вид ,~~ С„п (п — 1) = О, ~~ С„л (и — 1) (а — 2) = О. (4) Полагая коэффициенты С, и Сз неопределенными, напишем уравнения (4) в слелующем виде: аС2+ бСЗ сСа -+ с(Сз — О. (б) Условие существования ненулевых решений будет, очевидно, следующим: ! а Ь =аФ вЂ” Ьс=О.
с Ф (6) Перейдем теперь от комплексной формы написания уравнений к вещественной, Положим, что У=У,+ЕГ, и соответственно Сл=Ал+1В У ~~А ~л Г ~~~В ~е Подставляя У в уравнение (2) и разбивая его на вещественную и мнимую части, получаем рекуррентные формулы для 314 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1140 определения А„ и В„: А„= ( — Ь-А„а(и — 2)(и — 3)— 1 л (л — 1) (л — 2) (л — ) — 2])хеА„з (а — 3) + (от — е') А„, + + 2]!хсоВл а (и — 3) + 2гоеВл 1], (у) В,= л (л — 1) (л — 2) (л — 3) ] — 61В „(и — 2)(л — 3)— — 2ЬИВВл-3(л — 3)+ (сот — еа) Вл-А — 28хсоА„А (л — 3) — 2гоеА, А].
Уравнение (6) также разобьем па вещественную и мнимую части, полагая а=а, 4-1аа, Ь=Ь, +!Ьм с=с, +(са, с(=с(, +!г)а. Тогда получим два уравнения: А)1 =а1л1 — а,ла — Ь,с, +Ь,ст=О, 0а — — а1йа-Г- аа141 — Ь,с, — Ь,с, =О. (8) Если положить С1=1 (Аз= 1, Ва — — 0), а СЕ=О (Аа= =Во — — 0), то из сопоставления выражений (4) и (5) видно, что первая сумма (4) равна а, а вторая равна с. Следовательно, прн Аа = 1 и В, = Аа — — Ва =- О имеем: а1=~1А„а(а — !), а,=~аВ,а(и — 1), с, = а~а А „и (л — 1) (и — 2), са = ~а В„п (и — 1) (а — 2).
Если же мы примем, что Са —— О, а Со=1, т. е. положим Аа = Ва — Ва — — О, Аа = 1 и вычислим по рекуррентным формулам (7) козффициенты А„и В„, то получим: Ь,=~~' Алп(п — 1), Ь = ~ч.", В„п (п — 1), л1=~1А„п(п — !)(л — 2), г(а — —,'У!В„л(п — !)(и — 2).
Таким образом вычисляются величины, входящие в уравнения (8). Этим, собственно говоря, и определяется порядок вычислений на машине. Сначала надо составить подпрограмму вычисления величин В1 и )2а (8) при фиксированных параметрах х, ]), со и е. 1ю гстоичивость 3(3 140! Степенные ряды сходятся быстро, и величины А„и В„при л 30 уже, как правило, имеют значения, меньшие машинного нуля, Затем для фиксированных к и 8 определяем такие е н ю, чтобы удовлетворялась система (8). Поиск реализуется при помоьци простейшей линейной интерполяции.
Задаваясь на плоскости е, сэ тремя точками, определяем соответственно этим точкам три значения О, и Оа (8). По трем значениям О, и Оз строим в пространстве две плоскости: О,=й,(е; а) и Па= 0а(е; ы). Линия их пересечения пересекает плоскость е, в в точке, координаты которой соответствуют корням системы (8). Дальше производится последующее сближение до тех пор, пока не будет выполнено заданное условие точности. Если вычисления производить при изменении параметра 3, то можно проследить за тем, как меняется частота ы и параметр затухания е в зависимости от скорости потока при заданном к, т. е, при ааданном соотношении масс потока и стрежня.
На рис. 384 показано несколько таких кривых. Характерно, что в рассматриваемой задаче не наблюдается смыкания частот, с которым мы сталкивались ранее. Это связано с тем, что скорость потока является не только возбуждающим, но одновременно и демпфирующим фактором, проявляющимся в наличии кориолнсовых сил. Даже прн самой малой скорости о имеется затухание, и корни характеристического уравнеция будут не мнимыми, а комплексными. С возрастанием скорости потока первая частота н (при малых к) возрастает, затем начинает уменьшаться и обращается в нуль, но величина е во всех случаях остается отрицательной.
Это означает, что нарастающих отклонений по форме первого тона не возникает, а имеет место либо колебательное, либо апериодическое затухание. Первый переход е в положительную область происходит при частотах, соответствующих второму тону. Соответствующие кривые на графике (рис. 384) отмечены индексом (ем вы), Причудливо выглядит зависимость частоты колебаний ы и критической скорости потока 8 от параметра 3!6 Ршнение злдлч и ответы нл вопеосы 1ИЭ (рис. 885).
Прн к(0,545 возбуждаются колебания второго тона, Прн большем х возникают колебания по третьему Рвс. 364. тону, что проявляется в резком возрастании частоты. Затем при большей относительной массе жидкости колебания происходят по четвертому тону и частоты растут. В предельном 317 гю гстоичивость случае, когда масса трубопровода мала по сравнению с массой жидкости, частота и критическая скорость неограниченно возрастают. Бели масса стержня равна нулю, система устойчива при любой скорости потока.
~~ы йт ~Р 47 44 4~ 4Х Ог 4Г 4У /Р» Рис. 385 341 В этом случае балка также может потерять устойчивость плоской формы изгиба, но произойдет зто уже при больших перемещениях у сильно искривленной балки, что исключает применение обычной теории устойчивости. Когда говорится о боковом выпучивании полосы с узким прямоугольным сечением, то слово «узким» добавляется не для того.
чтобы показать, что в противном случае не будет выпучивания, как может показаться на первый взгляд, а для того, чтобы подчеркнуть, что к моменту потери устойчивости балка в плоскости изгиба почти не искривляется. 318 РЕШГНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1газ Наглядным примером того, что полоса, изгибаемая в плоскости минимальной жесткости, может потерять устойчивость плоской формы изгиба, является так называемое спутывание волоска у приборов. Волоском называют всем хорошо известную плоскую спиральную пружинку, которая устанавливается на оси баланса карманных и ручных часов (рис. 386). Волосок устанавливается также на оси.
стрелки у большинства измерительных приборов — манометров, барометров. указателей скорости самолета, высотомеров, вольтметров, амперметров и других приборов. Лента волоска, установленного в при- боре, изгибается в плоскости минимальной Рис. 386. жесткости. При некотором угле поворота оси, который называют обычно углом ,У спутывания, волосок теряет устойчивость плоской формы изгиба — спутывается. Поэтому рабочий угол поворота устанавливается всегда ниже угла спутывания. 142» Вероятность выпучивания стержня ь в ту или иную сторону определяется его начальной погибью, случайными неоднородностями в материале и отклонениями линии действия силы Р от оси стержня. Степень влияния случайных факторов зависит от жесткости стержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
