Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Нг, 2созч 1 У г,Н' Ч. РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 359 ли Условие — = О является условием равновесия (условием НР = экстремума энергии) и приводит нас, как и следовало ожи- Ряс. 431, дать, к уравнению (1), полученному ранее. Условие минимума энергии запишется как т — )О, ф,р2 Рсшеяие 'злдАч и гзтзеты ИА збпРОсы тми или рг с — РН соя ф+ — «оз 2ф ) О.
с, Согласио обозначениям (2) имеем — — рсозгр+ ргсоз 2ф ) О. л 4 Исследуя полученные кривые, мы замечаем. что для некоторых участков этих кривых условие устойчивости выполняется. з для некоторых — нет. На рис. 43! участки. соответствующие неустойчивому равновесию, проведены штриховыми линиями. Для оси ординат условие устойчивости запишется в виде л — — р+р >0, 4 откуда получаем: р ~ — ~1 — гггà — Л) и р ) — ~1 + гг7à — Л1. 1 1 Для Л=0,5, например, вертикальное положение трубки будет неустойчивым при 0,853 ) Р ) 0,147. На рис, 431 стрелкой показан рост угла ф в функции силы Р в случае .Л=0,5, Вначале угол ф остается равным нулю. При р=б,и7 трубка отклоияется от вертикали, и далее по мере возрастания силы Р угол ф асимптотически приближается к значению гр=п.
При этом при ф) — пор- 2 шенек будет силой Р из трубки вытягиваться. В реальной системе перемещение поршенька, а вместе с ним и возрастание силы Р ограничены длиной трубки, Построенные кривые показывают, что угол ф может также аскмптопгчески приближаться к значеиию -А . маирммер или случая Л=0,5 при р) 0,853. Это озиачает. что ори пестаточио большой силе осадка пружины, находящейся в трубке, возрастает настолько сияьио, а вместе с ним настолько ж РАзные ВОпРОсы и злддчи быстро убывает плечо силы Р, что последняя не в состоянии перекинуть трубку ниже горизонтали.
В пределе при и Р сову ~р = — осадка пружины —, как нетрулно установить, с, равна Н, Эти формы равновесия, однако. являются неустой« чивыми. При Х > 1, т. е. при достаточно большой жесткости спиральной пружины, илн прн достаточно малой высоте нли жесткости второй пружины сн вертикальное положение трубки при любых значениях силы Р остается всегда устойчивым, хотя и существуют формы равновесия трубки в отклоненном положении. Для того чтобы трубка приняла зту форму равновесия, необходимо дать ей нрм помощи внешней силы большое боковое отклонение.
Па рис. 431 изображены также ветви кривых р= Р(ф) для отрицательных значений р. Эти кривые показывают, что при — ~(~р(п трубка может находиться в равновесии прн 2 силе другого знака. Этот вид равновесия легко себе представить, если учесть, что теоретически поршеиек может смещаться. в трубке на величины, ббльшие Н. Прн Л > Н сила Р, имея другой знак, будет удерживать трубку в указанном положении равновесия. 'Таким образом, иы рассмотрели формы равновесия при О (фч,п.
Этим, однако, ие исчерпывается все многообразие возможных форм. Анализ этого вопроса можно было бы продолжить. расширив область изменения угла ~р за пределы и вправо и за пределы нуля — влево. Рассмотренный пример является примером простейшей нелинейности, где без большого труда удается получить полное решение и наглядно показать его многозначность. В общем же случае решение нелинейных задач представляет собой одну из наиболее сложных и актуальных проблем современной математики и механики. 166> Задача является типичной задачей о большях перемещениях упругого бруса. Обратимся к решению задачи 129.
Упругая балка. показанная на рис. 337 (стр. 248), может быть уподоблена половине дуги лука. При а=1 выражение (5) (стр. 249) принимает вяд и= Р(фс) — Р(ф ). (1') Ч, РИЗНЫЕ ВОПРОСЫ П ЗИДИНП! згз !ай Мы получаем, таким образом, усилие Р, в натянутой тетиве и длину тетивы а, которая при дальнейших деформациях системы остается неизменной. Рассмотрим теперь второй этап изгиба бруса.
Здесь величина !рв нулю ие равняется и остается неизвестной. Определение этой величины будем производить следующим образом. Задаемся величинами и и фе. Из выражения (3') находим б по условию: и йьбпф,= з(п —. 2 Затем из (!') Определяел! В= Р( —,) — Р(ре). Выражения (6) (стр. 249) дают: ус 2 — = — лсозф,, Рис. 433. а из выражений (7) (стр. 250) находим: l / хс хс Ус — = — созб+ — з(пб, ! / ус ус хс — = — соз б — — в!п б. Наконец, определяем длину а тетивы (рис, 433): хс а= —, соя б откуда "с а Г ! = созб' Это отношение должно равняться 0.945.
При постоянном й задаемся несколькими значениями !р и повторяем подсчеты, пока не добьемся того, чтобы — равнялось 0,945. Такой 374 Решение 3АДАч Н Ответы ИА ВопРОсы !мз подбор пронаводим для нескольких аначеннй *. Результаты сводим в таблицу: Затем вычисляем перемещение тв (рис. 433): Ю ю а у * ~И мт — = — з1пЬ+ — ~ — —, ЕУ 'с.7.
1 Е Ад (71 н усилие (рис. 433): 01 Я = 2Р з1п Ь, — = 25з з!п б. Е/ ,И Для тех же значений Ф и фе ЕУ получаем: Ф, 3Р 1 Е/ 0.045 0,24 О,!92 0,6Я и юу Ед-м 0,337 0,967 ,0,459 1,22 0,585 1,54 На рис. 434 показан граЕ1 фик зависимости — от —. Еу Площадь, ограниченная этой кривой на интервале 0 — — , Рис.
434. дает выражение упрутой эиергнп, передаваемой стреле при спуске. На рнс, 434 показана и интегральная кривая для энергии У, Эта кривая получена простым планиметрированием первого графика. Ю РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 325 пн! Теперь перейдем к числовому подсчету. Прн заданном — = 0,6 снимаем с кривой с — = 0,53, и ЕУ У= 0,53 — =0,53 =695 кг ° см. ЕУ 1бг ° и ° 2' Эту внергию приравниваем кинетической энергии стрелы жег / 2У и= —, а о= у ', =5800 см/гак=53 м/сек.
— / 2 ° 695 981 На самом деле скорость и буде~ несколько меньше, так как часть энергии уйдет иа сообщение кинетической энергии гетине н дуге лука. Сила Я. которую необходимо приложить к луку, чтобы задать стреле вычисленную скорость, также определится из графика рис. 434: — =1,6. !с=1,6, =35'кг.
Ег ~---о,е ! ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Андреева Л. Е., Упругие алементы прибором Машгиц 1962. 2. Б ивер ма и В. Л. и Бояршинов С. В., Расчет храпового механизма пружинного типа, Труды кафедры сопротивления материалов МВТУ, изд. МВТУ, 1947. 3. Болотин В. В., Некоисервзтивиыз задачи теории упругой устойчивости, Физматгиз, 1961.
4. Динкин А. Н., Продольный изгиб, ГОНТИ, 1939. 5. Коробов А. П., Расчет колес с большим числом спиц, Известия Новочеркасского индустриального ип-та, Строительная часть, т. 4 (18), 1935 — 1936. 6. Ля в А., Математическая теория упругости, ОНТИ, !935. 7. Мухин О. Н„Лниамический критерий устойчивости трубопровола с протекаю:цей жидкостью. Изв. АН СССР, Механика, гй 3, 1965. 8. Пановко Я. Г» Губанова И. И., Устойчивость и колебания упругих систем, иза-во «Наука», Главиая редакция физико-математической литературы, 1966.
9. Попов Е. П., Нелинейные задачи статики тонких стержней, Гостехиздат, 1948. 10, Ржаницын А. Р., Расчет соззужзиий с учетом яластических свойств материалов, Стройзознчориздат, 1949. 11. Ржаницын А. Р., Вопросы мехаиики систем, леформируюшихся во времени, Гостехиэдат, 1949, 12. Филоненко-Бородич М. М., Курс сопротивлеиия материалов, т. 1, Физматгпз, Москва, 1961. 13.
Филоиеико-Бородич М. М., Курс сопротивления материалов, ч. П, ! остехиздат, 1956. 14. Ци гаер Г., Сб. сПроблемы механики» под род. Лрайдена Х. и Т. Кармана, вып, 2 ИЛ, 1959. 15. Ясинский Ф. С„Избранные работы по устойчивости сжатых стержней, Физматгиз, 1962. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
