Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Относительное удлинение в окружном направлении (Л вЂ” л)МР— (Л+е»ЛВ 2 (Л+ л) л Р Л ' Относительное удлинение в осевом направлении е равно нулю. Следовательно. получаем Е лЕ 2 О,= — (е„+ре )= —— 1 Иа 1 — иг Л" Е еЕ 2 и = — (е +»ге,)= — р — — 1- —. л 1 Рз л 1 „Л' Таким обрааом, мы приходим к выводу, что для того чтобы вывернутый цилиндр сохранял цилиндрическую форну, Рис. 420. необходимо на его тоРцах пРиложить напРЯженна Ол, пока- ванные на рис. 420. Сч видно, действительная форма вывернутого цилиндра будет такой же. какую получил бы цилиндр, если бы ои был нагружен на горцах обратной системой сил (рис.
421). Момент М, к которому сводятся напряжения а„на единице дуги контура, будет +щт ЕЬ' 2 гггяба — »" »2 1 г 12(1 — Ф) Л /ц2 мВ1 ч. заныв вопгосы н злдлчн Выделим иа цилиндра двумя осевымн сечениями полоску, ширина которой равна единице (рис. 422). Эту полоску можно рассматривать как балку на упругом основании, так как радиальная составляющая сил Т, действующих на эту полоску Рнс. 421. Рис. 422. со стороны соседних частей оболочки, пропорциональна прогибу полоски чп. Усилие Т, приходящееся на'единицу длины, будет Т= — Ел, а ее радиальная составляющая— Т ы 4= — -к = — — Ел.
(1с Знак минус лля д принят вследствие того. что эта нагрузка направлена в стврону, противоположную прогибу. Но и — чиж = д = — —, Еи, рч ЕУ Еаз где — = — жесткость полоски при стеснен- 1 — и' 12(1 — н') ном изгибе. Тогда имеем: теич1+ 4йчтв = О, 4)1» 12(1 — И ) К*И' Решая это уравнение, получим си= е-"'(А з(п ах+В соз ях)+ ее""(С ып (гх+ О соз ях). Так как цилиндр достаточно длинен, ограничимся рассмотрением перемещений в зоне одного контура.
Отбрасывая возрастающую часть решения, т. е. полагая С = О = О, по- лучим чп = е-з "(А з! п лх+ В соз лх). 360 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1181 Постоянные А и В определятся из условий: при х=0 М = — чв =М, Е.Т чзг 1 а при х=О Я=М„,г=О (ти =0), или Ед 2йа 1 Р Еа 12 (1 — Нз) 12 (1 — Н') Л ' откуда А+В=О, А= — В= —— и а% ' %пвх тв ~» е а2п ' та=-Д.
е-А»(соз йх — з)п йх), Но так как йа= ' ', то я» 1 а Р = 2 ти,„„= з. Форма вывернутого цилиндра в утрированном виде показана на рис. 423, 1а21, Из условий равно- весия имеем твз(1+и)=Р= у(и). Графически (рис. 424) решаем это уравнение относительно и. Корни уравне- тв /.и йд йе игггааати Рас. 423.
Рис. 424. ния определяются координатами точек пересечения прямых тв'((+и) с кривой Р=)'(и). Проводя несколько лучей, строим зависимость твт( от и (рис. 424). ив1 Ю РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ С другой стороны, сила Ж определяется величиной укорочения каждого стержня еГ аь М= —. Из чисто геометрических соображений (рис. 425) выражаем сьь' через вю ,ц 1 1 созна сова ' За малостью углов «а и и имеем ое 1 —— 2 !в а' 1 —— 2 ~ — (а — а'), ! Подставляя по и а.
получим Тогда сила Н будет М= —,и'11Н вЂ” 2). 24 В. И. Феодосьев При лгюа!=1,0 шарин скачком меняет свое положение, переходя из точки, характеризуемой вечнчнной смещения и = 1,8. к точке и = ь. Обратный перескок происходит прн лгсоЧ = 0,8. Прямой перескок может произойти, понятно, и при лквт1 ( 1,0 (но большем, чем 0.8), если только шарику будет сообщено достаточно большое возмущение. 1Вж ° Высота расположения точки О деформированной системы над горизонтальной плоскостью будет Н вЂ” тв. Тогда угол наклона стержней к горизонту будет Н вЂ” ев 7Ф а= —.
Ш Если обозначить через М У сжимающее усилие з стержнях, ага то из условий равновесия, очевидно, получим Рис. ' 425. Р=Здга=ЗЙг —. 362 гашении задач и отвиты нл вопэосы наа, Сила Р будет иметь следующее выражение: Р = — тэ(Н вЂ” тли — — ) . Зйг . мь ть 2) Полученную зависимость можно переписать в безразмерной форме г Н( )( 2Н) н представить в виде кривой (ряс. 426). Эта крявая имеет две экстремальные точк~ А и В. На первом участке ОА мроисходит одновременное возрастание нагрузки и прогиба.
Когда Рнс. 426. сила Р достигает значения, соответствующего первому экстремуму, происходит скачкообрааное изменение прогиба (АС, как это покааано стрелкамн). Прн дальнейшем росте нагрузки перемещение тэ продолжает увеличиваться. Если теперь систему разгрузить, то стержни останутся в свободном состоянии при — =2, т. е.
уаловая точка стержней окажется на Н величину Н ниже неподвижной горизонтальной плоскости. Прикладывая нагруаку обратного знака, можно вызвать обратное прошелкнвание системы В0 и вернуть ее в начальное положение. чч эдзнып воппосы и злдлчн 363 ыз! участок АВ кривой соответствует неустойчивым формам равновесия. Таким образом, при аначенняк силы Р, лежащей между двумя экстремумами (рис.
426) 1 ЕЕНз 1 ЕЕНа — — — <Р<+ —— ф~3 Р Уз система имеет три формы равновесия; две устойчивые и третью — промежуточную — неустойчивую. В частности, при Р= 0 эта неустойчивая форма соответствует расположению стержней в горизонтальной плоскости — 1). При малейшем отклонении от этого положения .Н стержневая система ааймет либо верхнее, либо нижнее ж — — е ~ положение.
А 1813. Будем считать, что х прямоугольное поперечное л' сечение не деформируется н У поворачивается в результате а- силового воздействия на ' а угол ф вокруг некоторой точки О, находящейся на 0 расстоянии с от оси сим- Ркс, 427. метрии (рис. 427). Рассмотрим в сечении пружины точку А с координатами х и у. После поворота сечения эта точка примет положение А' н приблизится к оси симметрии на Ь = [х соз(а — ф) — у з1п(а — ф)! — (х сов а — у з1п о). За малостью углов а н ф можно записатгп сова ~ 1 — — а'. з(па ~ а; 1 2 еоз(а — ф) ~ ! — — (а — ф)й, з1п(а — ф) ~чс (а — у), 1 и тогда получаем 4=хф(а — ~~)+уф, 24ь РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 11 аа соответствующее пере- Окружное относительное удлинение, мешенню Ь, будет: Ь е= с — хсоа а+у Мпо В1 2)+ е,= Напряжение О, равно ог=Ее,.
Ряс. 428. Теперь определим нормальную силу в осевом сечении пружины е-а +АД И= ) ( о,ахпу1 г-Ь -АП подставляя полученное выше выражение он имеем Ж=Е ) ~ с1хиу= ха (а — ~2-) + уи с-Ь АЛ =Ейр(а — ~~) (а — Ь+с1п — ). Но, рассматривая условия равновесия половины кольца 1рис. 428), убеждаемся, что И=О. Иа етого условия на« ходим а— с= —. а 1и— Ф Ч. РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 365 ма1 Найдем теперь момент М: с-а +АД М= ) ~ ос(хз!п(а — ф)+усов(а — ф)]с(хс(у, с-О -АД М= Е ) ) (х(а — ф)+ у) ЕхЕу, -Аж гас а' М = ЕИ ~~ф ~а — — ! (а — ф) ! — — — + 2са — 2сЬ + 2 12 2 ЬЪ Ис ЬЗ' + са 1п ')+ ф! 1.
а) 12 а) С другой стороны, иа условий равновесия полукольца (рис. 428) вытекает, что 2М= ) — Ьаз1пйл18 — ) — а сйпОИО, с 2пЬ 2па о о М = — (Ь вЂ” а). Р 2л Таким образом, получаем ,Р (ь — ) = еиф ~~ — ф)( — ф) Я вЂ” ф+ Ы И* Ь1' + 2са — 2Ьс + сз 1п — ) + — 1п — ). а) 12 а!' Исключая отсюда с и подставляя вместо а и ф соответственно Н й~ — и —, где ов — осадка пружины, находим: Ь вЂ” а Ь вЂ” а' 2ПЕИ Пг е 1 г1 Ь+а Р = — ов ' '(Н вЂ” — ) (Н вЂ” ов) (Ь вЂ” а)с ~ 1 2) 2 Ь вЂ” а Ь 1я — ) Ис Ь~' + — 1п— 12 а ~' Непосредственной числовой проверкой можно установить, Ь что при 1 < — ( 4 справедливо соотношение а 1 Ь+а ! 1 Ь вЂ” — — — ас, !п —.
2Ь вЂ” а Ь 12 а' !и— а й66 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ ИА ВОПРОСЫ нза Поэтому Р= 6 и ", тв1ВЧН 2)ТН Ти)+Лт~. Полученная зависимость между силой Р и осадкой пружины чв является нелинейной н в зависимости от отношения— Н Л может носить различный характер. ! Н Н Н Н Р~ Рис.
42Э. Па рис..429 покаааны кривые зависимости 6 (Ь вЂ” аР е= Ь пад!л— Ю Н от — „при различных — „, т. е. Проследим, как меняется вид характеристики пружины 'еч Н Ре= У! — ) в зависимости от —. Кривая, соответствующая ~Л! Л ' Р. РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ Н вЂ” —.— О, представляет собой характеристику плоской диско- в вой пружины. Возрастание высоты Н вызывает прежде всего повышение начальной жесткости пружины, а затем наруше- Н нсе монотонности хода кривой. При значении — = у' 2 А (это легко получить из анализа полученного выражения) на характеристике пружины появляется участок с отрицательной производной, расположенный между двумя экстремальными точками. Этот участок можно назвать участком отрицатель- ной жесткости, поскольку возрастание прогиба в данном случае происходит прн уменьшении нагрузки.
Такой режим Работы пружины является неустойчивым, а усилия, соответ- ствующие экстремальным точкам, будут критическими для данной пружины. После достижения усилием первого экст- реиума пружина, минуя неустойчивый участок, скачком из- менит свой прогиб. Дальнейшая работа будет происходить на правой устойчивой возрастающей части характеристи- ки.
Разгрузка пружины вызовет обратное скачкоооразное изменение прогиба, соответствующее второму критическо- му усилию. Дальнейшее повышение высоты пружины Н дает, как видно из рис. 429, еще большее искривление характерн- Н стики, и при значениях — ) 2 у 2 последняя начинает и пересекать ось абсцисс. Пружина при силе Р = 0 имеет, сле- довательно, трн формы равновесия, из которых две — ус- тойчивы, а третья — промежуточная — неустойчива. Такая пружина после выщелкивания и разгрузки в начальное поло- жение не возвращается и сохраняет упругий остаточный прогиб, соответствующий точке пересечения кривой с осью абсцисс.
Сравните решения этой задачи и задачи 182. !34. Рассмотрим условие равновесия трубки в отклонен- ном состоянии (рис. 430). Если обозначить через Н рассто- яние от верхнего края поршенька дн шарнира в начале на- гружения, то тогда, очевидно, Р~ Н вЂ” ~ сбп гр = с~р, Р соз и 1 с, откуда получаем — = —,11 ~~ 1 — — мстпгр~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
