Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 38
Текст из файла (страница 38)
404) является замкнутой поверхностью, и давление даст в этом сечении только нормальную силу, равную произведению давления на площадь сечения «в свету». Прн любой форме трубкн силы давленая не дадут вовсе изгибающего момента. Необходимым условнем работы трубки является деформация контура поперечного сечения. Какую бы некруглую форму сечение трубки нн имело, под действием внутреннего избыточного давления контур этого сечения стремится принять форму окружности.
Прн этом малая ось сечения несколько увеличится, а большая уменьшнтся, и весь контур примет примерно такую форму, какая показана штриховой й41 ьт! Ч. РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ла- .: г) б иг 3 —;уг — ив Сгигина лерагагв Геиеиаа аигадааа а4ааала аадаалд Рис. 405. через л„, толщину среднего слоя — л,. Модули упругости дерева поперек и вдоль волокон соответственно Е' и Е". Теперь вычислим Е,р и Етр. Йля первого образца при растяжении силой Р имеем: о'бй, + 2оибй„= Р, е (Е'бй, + ~Еи(гйв) = Р. линией на рис. 404. При этом каждое продольное волокно трубки почучит некоторое перемещение по направлению, параллельному малой оси сечения.
На рис. 404 это перемещение для волокна глл обозначено через тв. Когда волокно тл переместится на величину тв, оно перейдет на дугу большего радиуса н в нем появятся растягнвающие напряжения. В волокнах, лежащих ниже нейтральной оси, появятся сжимающие напряжения. Трубка при этом будет распрямляться В свете сказанного становится ясным, почему трубка круглого сечения не реагирует на внутреннее давление. В этом случае контур сечения только растягивается, и величина тв булез ничтожно малой. Поэтому и изменение кривизны ~рубки круглого сечения весьма мало и при обычной постановке экспериментз не обнаруживается.
Если большая ось сечения расположена в плоскости симметрии трубки, то величина ш будет другого знака и кривизна трубки при внутреннем давлении будет не уменьшагься. а увеличиваться. Л Ер 167 В общем случае для фанеры — ~ —, так как уг Е,Р ' жесткость фанеры на изгиб зависит не только от толнаины и ориентировки слоев, но и от их расстояния от средней плоскости, В качестве простейшего примера рассмотрим трехслойную фанеру (рис.
405). Обозначим: толщину наружных слоев ж РАзиыв ВОпРОсы и зАдАчи по1 Из полученных выражений (!), (2), (3) и (4) видно, что в общем случае Е1р Е1н — Ф вЂ”. Еср Еш л д Например, если принять й, = —, а л„= —, то Е1р Е,а В +7Е" Е,р ' Еж 7Е'+Е" 1миВ. В предложенной задаче все выкладки проделаны правильно, и ошибки как таковой нет. Полученный результат является следствием того, что в основу решения было положено предполозкение об отсутствии поперечных сил и изгибающих моиентов в сечениях оболочки.
Если учесть эти силовые факторы, то вычисленные перемещения будут ииеть ограниченную величину. Можно получить правильное решение и по безиоментной теории, если только учесть изменение внутренних сил за счет изменения фориы оболочки в процессе нагружения. Резюмируя, можно сказать, что при определении напряжений пренебрежение изгибной жесткостью не вносит существенных погрешностей в реп~ение задачи. При оценке же перемераеиий такое пренебрежение не всегда допустимо. 169. В поставленном вопросе не указано, каким образом прикладывалась к пружине нагрузка Р. Постепенно или внезапно? Если нагрузка прикладывалась постепенно.
малыми порциями, так что в любой момент нагружения система находилась в равновесии, то тогда неверно выражение (1). Потерянная грузом энергия положения будет не Р2 о2 — а с ' 2с' и баланс энергий сходится. Если же нагрузка приложена внезапно, то при осадке груз будет обладать еще и кинетической энергией, равной разности энергий (1) и (2), В дальнейшем груз будет совершать колебательное движение около положения равновесия до тех пор, пока его кинетическая энергия не будет рассеяна. 170» На поставленный вопрос в лучшем случае приходится обычно слышать следующий ответ.
З44 РЕШЕНИЕ ЗЛДЮ1 И ОТВЕТЫ НД ВОПРОСЫ П10 Угол поворота витка в осевой плоскости определяется закручиванием участка пружины на длине дуги АВ, если сечение В принять за условно неподвижное, т. е. ''4кГлв ~ ~Гав Ф— (1 4 в — — 2птс а„в). ау а~ Такой ответ, однако, ошибочен. Витки пружяны в осевой плоскости не поворачиваются вовсе (ф=0). Но позвольте, — скажет пытливый читатель, — с этим нельзя согласиться.
Если мы рассмотрим весьма малый участок витка длиной д1з (рнс. 406), то ведь в осевой плоскости Рис. 406. одно сечение относительно лругого поворачивается. Поэтому, если одно сечение мы примем за неподвижное, то второе в осевой плоскости уже обязательно повернется, Значит, утверждение о том, что угол 1р во всех сечениях равен нулю, является неверным! Однако не следует забывать, что рассматриваемый элемент витка получает еше дополнительный поворот в плоскости у1е1 на угол тг (угол изменения наклона витков).
Поэтому если сечение (2) повернулось в осевой плоскости за счет закручивания на угол М 1(8 ау Ч. РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 32Ц но известно, что РГгг 0=— и„ а так как М, = Рг(, то, оче- гвг видно, ггф= О. 1а1 ° Рассмотрим пружину как пространственный брус. В каждом сеченнн витка растянутой пружины возникает крутящий момент Мв = РРс соз а н нэгнбаюший моРис. 407. мент М„,в=Ргс згпа (рнс. 407). Определим предварительно увелнченне высоты пружины ЛН: МивгМ1ввг 22л МвМ~в ла ЬН— +1 где М,„„н М,„— нзгнбаюшнй и крутящий моменты от еднннчных сил, приложенных взамен сил Р, равные соответ- ственно М,„= й згп а.
М,„= )7 соз ой следовательно, РггЧ, РКЧ ЬН = — з!пта+ — созта, Е.г где 2 — длина внтков пружины. Найдем тот угол, на который повернется в горнзонтальной плоскостн верхннй конец пружины относительно нижнего, Прикладываем к концам пружины единичные моменты 23 В. и. Фввлосввв то одновременно оно повернулось в обратную сторону ггл в этой же плоскости на угол 0 — (см. рнс.
406). 27 Угол поворота сечения (2) в осевой плоскости. очевидно, будет ИФ РЕШЕНИЕ ЗЛЛАЧ Н ОТВЕТЫ ИА ВОПРОСЫ !Рн (рис. 408, а). Тогда имеем: М1„,„— — — соз а; М,„= 5!и а; Агизгл21 ккг вк Г л4кдг~ к Ла Е1 ',~ 0УР Гагр=Ргс! ( — — — ) 5!па сова. 1 1ч 1аХ ЕГ) (2) Рассмотрим раввертку пружины (рнс. 408, б). Очевидно, 222,рз ( Н2 (2 Так как ! остается постоянным, то 29раМ+02242 Гзкр+2НГАН=О, где значок Ь означает приращение соответствующего 2Г(р Рвс. 408. параметра, Из этого выражения получаем: !И = — — 2!кр — -21--г ЬН. !с И Ф Подставляем сюда Ь~р и ЬН: Р!22! ! ! ! М= ~ — — )5!посоза— '(аУР и) Из треугольника рис.
408, б следует, что — и Н =~рй!Ка. ч!2 СО5 а Кроме того, очевидно, ~р= 2пп, йр 2н Ьи, где л — число витков. Из выражений (1), (2) н (3) ягсключим 1. Н и вр: 1 1Ъ Ьл = Рй'и1 — — — ~ в1п и, (Ор'р Е3) 2РЮ~ в1п а РЛв ЬЯ = — + — в!па(1 — 1два). ОХр Е3 Если пружина иавита иа круглой проволоки диаметра вг', то ОУ,=Оф.
Еу = О (1 + 1в) —, и тогда получаем: ЬН вЂ” л +" сов Окв (1+и) сова ' а1Р1свл П жпа + л Олк4 1+И ' ЯРК' ваап а 1+ 2И сов' а а ю ~<.„~ Знаки. стоящие при правой части полученных выражений, укааывают на то, что при растяжении пружины длина ее увеличивается (гьН) О), число витков увеличивается (Ьл ~ О), а радиус уменьшается (Ь)с ( О), Если угол и мал, ! то находим: 04РЕ ! Одв 32РР~ 1 -~- 2н Ола4 1+ а ! 'ив 2. Лля этого фасонной пружине следует дать предварительное Рис.
409. поджатие, например при помаши второй пружины (рис. 409). При иагружении такой системы число рабочих витков будет воэрастать. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 173Ф Система в укаэанном положении не находится в равновесии. Бели мы попробуем определить величину реак- газ!а=У Ряс. 410. Ряс. 4!1. ции нижней опоры, не учитывая деформации системы, то получим не имеющий практического смысла результат: Я= + СО.
Действительно, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно верхнего шарнира (рис. 410), получим; Я ° О+Ра=О, откуда и находим приведенное выша значение реакции Я. Для определения реакции необходимо, следовательно, учитывать горизонтальное перемещение нижнего катка. Будем Р считать, что равновесие РРа системы наступает при угловом смещении нижней опоры <р (рис. 411). Из условий равнове- сия, очевидно, Р = Яф угг Отреаок АВ в резульдуч'~ ~Ею~ тате деформации рамы увеличился на Рнс.
4!2. а(1 — соа!р) ж —. ае1 2 С другой стороны, эта же величина может быть определена путем перемножения эпюр заданных сил на эпюры единичных сил (рис, 412). Таким образом, получаем: Ю РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 349 Поскольку перемещения рамы невелики, величиной в 2 в скобках по сравнению с единицей можно пренебречь. Далее, Р подставляя вместо Ф в правую часть уравнения —, получаем: Я' 7аl ЗР'Е1 1'у4. Для системы, подобной показанной на рис, 137, новые формы равновесия появляются при больших перемещениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
