Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 33
Текст из файла (страница 33)
впервые обнаружился факт существования систем, анализ устойчивости которых не может быть произведен на основе определения форм равновесия по Эйлеру. Действительно. в простейшем случае, когда жесткости стержня в двух главных плоскостях разны, имеем следующие уравнения равновесия: ЕУу" = — Ру+ Мх', ЕЫ' = — Рх — Му'. Они получаются из уравнений (1) задачи 107 (см.
стр. 218) заменой анака при Р на обратный. Решение уравнений остается прежним: у=А сова х+В з!па1х+Ссоза х+0з!патх, х = А з!п а,х — В сова,х+ С з!и азх — 0 соз азх, гж ястоичивость и тогда получаем обычное значение для критической силы «в 4Р Итак, при сколь угодно малом, отличном от нуля, значении М и сколь угодно большой силе Р стержень не имеет форм равновесия, отличных от прямолинейной. Точно такой же результат получается и в случае, если плоскость момента М при изгибе стержня поворачивается вместе Г с торцовым сечением.
В случае «полуследящего» момента, создаваемого двумя гру- ,4/ замп, система, как мы уже видели на примере решения задачи 125, имеет формы равновесия, отличные от исходной. Таким образом, обнаруживается аналогия с поведением системы, рассмотренной в предыдущей задаче. Там, однако, мы имели один внешний силовой фактор: момент М. Р В предложенной же задаче у нас два силовых фактора: сила Р и момент М.
Если приложена только сила Р, то при ее возрастании происходит переход к новой форме равновесия. Для момента же (за исключением «полуследящегов) характерен переход к новым формам движения. Поэтому интересно проследить за поведением системы в области совместного действия двух факторов и определить, где раньше возникает форма движения, а где — форма равновесия, Дифференцируя выражения (1) два раза по х и добавляя члены, соответствующие инерционным силам, получим: дну дзх д1у дзу Е1 — — М вЂ” +Р— +рР— =О, ' дх' дха дхз дР д'х д'у д'х д'х (4) Как увидим далее, поведение системы существенно зависит от отношения жесткостей на изгиб в главных пло.
скостях. Поэтому в уравнениях (4) взамен одной жесткости Е5 введено две: Еу, и Е3а. Теперь начало координат удобнее поместить в заделке (рис. 378), Независимо от условий нагружения при х= О ду дх имеем у=я= 0 и — = — =О. дх дх 304 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1139 ВЫРажЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ Цх И ЯУ ДЛЯ ИЗОГНУТОГО стержня усложняются введением члена, содержащего крутяший момент, т. е. где М,, и М, — изгибающие моменты относительно подвижных осей уи гн Необходимые соотношения легко ф дф М ф~ Рис. 379. получаются, если приравнять нулю суммы моментов сил, действующих на элемент дх относительно осей у, и я, (см. рис.
379, где показаны проекции этого элемента иа плоскости ху и хе). На конце стержня 0= — Р—, 1~= — 1Π—, ду У дх' х дх' дМ дх дМ, У~ дх д'2 д '' д'у М вЂ”, дхг ' 222~ ис кстопчивость — =О. ~ еА — + р — — м 1 дзу ду ' дхз дх ! дзх дх Еуа +~ +М з дхз дх Если плоскость действия момента М при изгибе стержня поворачивается вместе с торцовым сечением, то, очевидно, прн х=( Мп —— М,,=О и тогда имеем еще два условна: (6) Если плоскость действия момента М при изгибе стержня дх не поворачивается, то при х=з имеем Мт —— М вЂ” и дх М, = — М вЂ” и тогда ду дх з дхз дх~х з Наконец, в случае «полуследяшего» момента получаем: здх' дх~ (8) Перейдем к безразмерным параметрам.
Для этого при- мем, что у=У(езелз. х= у — Ле' ", ГЕ,)з г' Е./, где У и Š— безразмерные искомые функции, зависящие только от х, ьз — безразмерная частота, а ло В. И Феллл«лез поэтому при х= Р независимо от поведения момента М имеем два граничных условия: еешенне задач н ответы нл вопоосы !139 В качестве независимого переменного вместо х возьмем — После подстановки х, у н г в уравнения (4) полу- 1 ' чим систему обыюювеппых лифференциальных уравнений — и — 'о,,*з + Р',у о — ы'У = О ~РУ д~Л о2У ! (О) где Л4о и ро — безразмерные момент и сила: М1, Рто '~!о= Р = —.
Ф Е.1~Е/о Ег~ ' Величина 1о характеризует отношение жесткостей / ЕЛ Предполагается, что Е1, — минимальная жесткость, поэтому А»1. Используя безразмерные параметры, преобразовываем также граничные условия. о) сЫ При к=О имеем У= 2=0, — = — =О. Фе ~1~ Для конца стержня, т, е. при ь= — 1 в случае нагружения моментом, плоскость которого поворачивается вместе с торцевым сечением, получаем: азу Лу г'г ! «го лг о,~(о ~ (!0) (11) При неповорачиваюшейся плоскости лействия момента два первых условия сохраняются, а два последних принимают вид ° ~ ФУ ол~ !нов ФУ ~ —,— ~Ио — ~ ~0, ~ о +Мо — — О.
(12) н0о В случае «полуследяшего» момента опять условия (10) остаются в силе, а взамен выражений (11) получим: ъч. устойчивость Для решения задачи едннственно целесообразным является прнмененне машинного анализа. Алгоритм уже выработан прн решении предыдущнх зздач. Примеч, что У=~~А,Дл, Е=~~Влчп, и подставим г' и Е в уравнення (9), после чего получим следующие рекуррентные формулы: 1 Ап = п (п — 1) (п — 2) (л 3) ) ™еВ4-г (И вЂ” 1) (И вЂ” 2) Х )((и — 3) — ))гА,(» — 2)(и — 3)+ыгАп 4), 1 Вп — п (л — 1) (л — 2) (л — 31 ) оАл-4 (» 1) Х рг 444 )((и — 2)(и — 3) — —,В„г(и — 2)(и — 3)+ —,Вп ) (14) аГ »3 Так как в заделке )'= Е= О, — = — = О, то, очевндно, аь Аз = А, = Ве — — В, = О.
анАз+аггАз+аыВз+а44Вз = О. агзАг+ аггА„+ аззВг+ аг4В, = О, аз4Аг+ азгАз+ аззВг+ азгВз — — О, О. (15) а44Аг-)- азгАз-4; »4зВг+ аыВз = Два первых уравнения получаются нз выражений (10), а два других — либо нз (11) нлн (12), нлн (13), смотря по тому, каким моментом М нагружен стержень. Если прн заранее фиксированном значении параметров Л4е, )1, л и 4в положить Аз=1, а Аз=Вг=В,=О. то по рекуррентным формулам (14) можно найтн Аа, В4, Аз.
Вз..., 20л Еще четыре коэффнцнента Аг, Аз, Вг н Вз должны быть выбраны так, чтобы выполнялнсь граничные условия на конце стержня, т. е. прн ~= 1. Для этого обращаемся к выраженням (!0), а также в зависимости от условий натруженна к выражениям (11), нлн (12), нлн (13). Так как коэффнцненты Аг, Аз, Вз и Вз входят во все перечисленные выражения линейно, то четыре уравнения относнтельно этих коэффициентов можно написать в виде 308 РЕШЕННЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 033 Затем суммированием до некоторого и, например до а = 30, находим значения производных от функций У и 4. при ь = 1, т. е.
— = ~~)~~ А~а! ~ — ~ = ~ В л, РХ 143 У Рис. 380. заново в преиюложенин, что Аэ — — 1, а АЕ=В2 — — ВЗ вЂ” О, то найдем, очевидно, коэффициенты а12, аю, а32 и а42. Затем надо принять В2=1 и, наконец. В3=1. В итоге четырехкратного повторения цикла находим все коэффициенты системы (15). Условием существования ненулевых решений для У н д является равенство нулю определителя ап а!2 аж ам ОМ О22 аж а24 О31 О32 !133 !334 О41 И42 П43 П44 (16) =1'.) =О.
Найденные суммы подставляются в выражения (10) и (11) или (12) или !13). Соответственно получаем коэффициенты а!1, а21, а31 и асч системы (15). Если повторить все выкладки аза1 Ис УСТОЙЧИВОСТЬ Таким образом, анализ устойчивости сводится к определению таких соотношений между Ме. р, «а и л, при которых выполняется условие (!6). Практически надо зафиксировать в пеРвУю очеРедь паРаметР Л, затем — б и, наконец,— Мз. Давая еа равные значения, подбираем такое, при котором определитель Р обращается в нуль.
Затем меняется Ме и снова подбирается ы. Таким образом определяется зависимость а» от Ме при гл фиксированных 8 и аг. На рис. 380 показана такая у,г зависимость для л = 2. Очевидино, строить все ф ' графики или выводить на ~ьа печать множество данных т. ~з =ги нет необходимости. В логику программы нетрудно ввести признаки, по ното- ~г'ге ~/у а рым можно судить о по- (р ведении частоты в зави- '/а (4 симости от Ме и 8. Если частота обращается в нуль, 4~ зто значит, что найдена новая форма равновесия.
г ~' С Если частоты двУх пеРвых Р.' /аг Г а бз' Ага форм смыкаются, значит Рис. 331, найдена форма движения. Естественно, отношение жесткостей ладолжно при этом поиске оставаться неизменным. Результаты поиска критических значений параметров р н Мв представлены на рис. 381. Для граничных условий (11) и (12) они оказались совершенно одинаковыми. Иначе говоря, рааличия между нагружением следящим и неследящим моментом не обнаруживается. Для каждого фиксированного л = у*ЕЦЕУа область устойчивости (рис. 381) ограничивается криволинейным четырехугольником ОАВС. Точка А /' Рга является общей для всех кривых, Здесь 8= — = ~Г 2 1' Е2а ' что соответствует значению критической силы паЕ2, р 1 ав — Ма 318 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОЕЫ 1139 Кривые АВ дают условия перехода к новой форме равновесия и соответствуют изгибу в плоскости минимальной жесткости (ЕУ1).
Любопытно, что с возрастанием момента критическая сила возрастает. Это происходит потому, что приложенный момент заставляет стержень при изгибе откло няться от плоскости минимальной жесткости. ЕгР 04 РУ 138 IУ УР 34 ™о Г Ряс. 382. Верхняя часть кривых АВО, показанных на рис. 381, соответствует форме равновесия, связанной с изгибом в плоскости наибольшей жесткости. Значение параметра р в точках О в й раз больше, чем в точке А. Справа область устойчивости ограниченз условием перехода к колебательной форме движения.
Границы перехода отмечены на рис. 381 пунктирными линиями ВС. При л-ь1 область устойчивости стягивается в отрезок прямой ОА, Точка О смыкается с А, а С вЂ” с О. ЗП ыэ1 пп гстопчивость Для «полуследящего» момента, как и следовало ожидать, формы движения с нарастающей амплитудой не обнаруживаются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
