Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При ее > ее яр имеем сразу две новые формы: одну устойчивую, а другую— х76 РГШГиие 3АдАч и ОтВеты нА ВОпРОсы !1зз иеустойчивую, Участки кривых, характеризующие устойчивую форму, даны сплошными линиями. Строить кривые для определения критического значения до кр ее,р — — — ие обязательио. Его можно найти гораздо проще. На оси ордииат берем произвольную точку В и проводим ,еег А Е/ 'ре~Я утр Е„„р Ряс. 365. прямую АВ так, чтобы тангенс угла ОАВ равиялся величине К. Затем параллельно прямой АВ проводим касательиую к кривой Рйт!ВХ Получаем прямую С0.
Точка С дает как раз исколше зиачение ее„р. Действительно, дифференцируя Ле/В (!2) по РЩН и приравнивая производную нулю, находим: Ь тр РВ* = — К. Е,/ 1551 !У. УСТОЙЧИВОСТЬ Таким образом, экстремум имеет место при таком значении РНЫМ, при котором тангенс угла мехкду касательной и осью ординат равен — К.
Так определяется точка (). ОтреРй* Л зок ЕЮ равен К вЂ”. Складывая его с — (см, (12)), на- 1 е,г Я ходим искомое ез„р. Описанное построение для ззданного К следует проводить на графике рис. 354, где кривые дэны со строгим соблюдением масштаба. При очень малых значениях К, т. е. для относительно тонкостенного кольца, определение ее,р по графику не представляется возможным. Здесь целесообразно упростить приведенные выше уравнения, воспользовавшись малостью модуля эллиптических интегралов и, который уменьшается одновременно с величиной К. Итак, при малом 11 имеем: гщы=) '~ )(~-ь —,'е ~"1)н, Ф~ Ф~ Е(ф,) = ~ ~г 1 — к151пзфг(ф = ~ (1 — —, А151пзф~ г(ф. 0 о 51пф, = — 1; .,ф З,~, СО5 ф1 = — Е; 2 из уравнения (10) теперь получаем е= —.
Зп принимает вид Уравнение (9) 1ре — — 2ке —,' = 2к. Зл 2 После интегрирования получаем: А' Е(ф1) =ф, + — (ф, — 51пф, со5 111), л2 Е (ф,) = ф, — — (ф, — 51п 1111 соз ф1). 4 Зк Уго.т ф, мало отличается от Зп'2. Примем ф, = —,— е, где е — малая величина. Тогда В выражении (11) 3!и ~' приводим к виду в!и ~' =совороейпм(1+е) — 3!пгр совп(1+е), или го о Ро 3 3!и = — пе+о — —. уо1 в б ' 2 Уравнение (11) в итоге дает е= — !33 и, Зл Зн Из выражений (2) н (3) получим: Рого Р'(ф) 3 ЕУ гр« следовательно, откуда Выражение (12) для Оо/!г примет вид Ь 9но ' Рта « " Р!1« 1 32, Еу) —,,= — ( — ) +К вЂ” ' е,г до минимальное значение величина — получает прн Р сгановясь равной или ео«р = 2 9А ".
Для кольца с прямоугольным сечением Ь Х гт йо К= —, 12Р« повтому ео «р = ОЯО ( м ) (14) Величина ео может трактоваться и как температурное удлинение. Тогда ео „р — — ар„р — — 0,65 ф) 27В РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ !333 гзй 1У. УСТОЙЧИВОСТЬ Любопытно отметить. что в рассмотрешюй задаче степень влияния отношения л(гт на критические нагрузки ниже, чем в обычной задаче об устойчивости кольца. Обрашаясь к конгакгному давлению между кольцом и обоймой, получим: Лд ЕЕ ,л Д=— гт Л' откуда ВУу« = Р (У вЂ” у) — Рф(1 — х), откуда у = А з|п ах+ В соз ах + 1 — ф(1 — х), Р где а'= — —. ЕУ у=о и у'=О.
у =у, а у'=в1. При х=о При х=1 Для выполнения этик условий получаем четыре уравнения: В+У вЂ” р(=О, Аа+ф= о, А з1 и а1+ В соз ц1 = О, А соз а1 — В з1п а1 = О. Для обычного же нагруження кольца нормальными или центральнонаправленными силами (см, задачу 122) критическое значение д определяется отношением l(гтз, т. е. отношением 1г,'й в третьей степени. Поэтому кольцо в жестком «обрамлении» обладает сравнительно высокой устойчивостью. У 134» Предложенная задача снова В затрагивает принципиальные вопросы Ряс.
З66. устойчивости упругих систем, и се решение приводит к необходимости дать новую формулировку критерия устойчивости, Представим себе, что стержень несколько отклонился от исходного положения равновесия (рис. 356). Уравнение упругой линии будет РЕШГННЕ ЗАДАЧ П ОТВЕТЫ НА ВОПРООЫ рассматривая два последних уравнения, легко установить, что независимо от выбора а1 постоянные А и В равны нулю, поскольку определитель ! з!па1 соза1 соз а1 — з1п а1 в нуль не обращается. Но если А = В = О, единственной формой равновесия стержня остается исходная прямолинейная.
Во всех задачах, которые рассматривались выше, неизменно отождествлялись два понятия: «потеря устойчивости» и «существование иных форм равновесия, кроме исходной>. Поэтому в данном случае мы оказываемся перед выбором: либо отказаться от привычного и глубоко укоренившегося отождествления укаэанных понятий, либо же принять, что система сохраняет устойчивость при любых значениях силы Р. Правильным является первое. Исходная форма равновесия ус~ойлг чива только до некоторого значения силы Р. При силе, превышающей это значение, которое по-прежнему лу=с7~,-~1 будем называть критическим, про- 9 ля исходит переход не к новой форме равновесия, а к некоторой форме двихгенпя с нарастающим отклонением ,гг'=С:СР, от исходного положения равновесия.
Кригерием устойчивости является условие возникновения указанной Рнс. 357. формы движения и называется дина- мическим критерием устойчивости. Рассмотрим следующую механическую модель, показанную на рис. 357. Два однородных стержня, имеющих массы гл1 и вг~, связаны между собой пружиной жесткости с. Такая же пружина связывает нижний стержень с шарнирной опорой.
Линия действия силы Р постоянно совпадает с направлением оси верхнего стержня. За обобшеннь1е координаты примем углы поворота стержней ф1 и фа. Тогда перемещения центра масс каждого гт. устойчивость 28! етержня будут: у! = 1срг уг - — 21% + 1срг где 21 — длина каждого стержня. Моменты инерции относительно центральных поперечных осей каждого стержня соответственно равны /г лг,1г гег!' — н !г= 3 3 рг Вводя силы взаимодействия Ф' в шарнире (рис.
358), соста- //гря/ 44', вляем уравнения движения. Для верхнего стержня У=Р, Х=, р,+ш,)',, ~ су(/-Ю "гйгг+ /нгуг1+ (. (1) Х + с (агг — р,) = О. ) ~6~~ Ю Для нижнего стержня /уг р) сФ, + ур, — с Иг — фг)+ +Х21+лггу,1 — У2йр,=О. (2) Исключая у,, уг, Х и У и вы- Рнс. 358.
ражая моменты инерции через массы, получим два линейных дифференциальных уравнения относительно ср! и чг: 4 3- лг Р/Рг+2лгг1ггР, + с((уг — гуг) = О. (4лг Р ( лг Р) <р, -(-2лг !гсрг-)-(2с — 2Р1) !р! + 4 (3) +- (2Р1 — с) ~р = О. Положим, как зто обычно делается, <р, = А,е~~, фг — Аге (4) Пос.че подстановки приходим к двум уравнениям относительно А,иА,,: 14 А,(2лгг!г!гг — с) +-Аг ! 3 /яг!туг+ с) =О, А, ~4/нгРйг+ — т,! 1гг+ 2с — 2Р1 + + Лг(йщ 1гнг+ 2Р1 с) 0 282 РЕШЕННЕ ЗАДАЧ Н ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ~ ьтч Для определения условий существования ненулевых реше- ний приравниваем нулю определитель, Это дает квадратное уравнение относительно лт: 'т,а'Р~т татР г Р!з 9 — ~ (3+4р)+ — "3(8+р — 5 — ~+ — =О, (5) с с ~ ' с ~ 4 ж, гле р = —.
жт Свободный член в урзвнении (5) не зависит от силы Р. Следовательно, нельзя подобрать такое Р, чтобы и обрати- лось бы в нуль, а позтому, если вернуться к выражениям (4), видно, что углы ~р, и чь пе могут быть постоянными. Система пе имеет форм равновесия, кроме исходной. Рассмзтриваемая модель обладает тем же свойством, что и защемленный стержень, нагруженный следящей силой. Из уравнения (5) нетрудно также установить, что вели- чина ла при любой силе Р остается меньше нуля. Это озна- чает, что л не имеет вещественных значений, и условия дчя апериолнческого движения отсутствуют.
Примем, что И1~ — ' =в+ (е, г с и найдем условие, при котором е может быть величиной по- ложительной. Это соответствует возникновению колебательного движения с нарастзющей амплитудой. Разделяя в уравнении (5) вещественную и мнимую части, получим: !(Ет — ег)а — 4етгвЧ (3 + 4р) + + 3(е — ы)(8+и — 5 — )+ — = О, Рг~ 9 с ) 4 Ф Р! з 4егз (ет — ат) (3 + 4р) + бега ~8+ р — 5 — ) = О, с ) Исключаем ю. 'Тогда е44(3+ 4р)+ е'6 (8 + р — 5 — )+ 9 (8+р — 5 — ) +4 3+4р 4 откуда Р1 3 с 5 — — 8 — р ж )' 3+4И ет— 4 3+ 49 1У.
УСТОЙЧИВОСТЬ Наименьшее значение Р, при которОИ ез (а, следовательно, олин из корней е) принимает положительное значение, булет1 Р„р — — б, (8+)г — 1 3+ 4р). Величина критической силы зависит от распределения масс между стержнями.
В случае лг,=шт 1т= 1. Тогда Рая= ~ (9 — г' 7). Р Если масса первого стержня мала по сравнению с массой ф~ второго, р = О и Рея — — — (8 -- ф' 3). ~юг 4 у' По мере уменьшения массы с сг -о)1 верхнего стержня по сравнению г 1' с массой нижнего величина)г неограниченно возрастает. Так же (л с7р)-р)) 1' неограниченно возрастает и Рар. Это и понятно, В случае от- .. 7 43 сутствия поперечных инерцион- г г лгу ных сил верхний стержень будет всегда находиться иа одной г прямой с нижним. В системах, допускающих Рнс. 359. анализ устойчивости на основе исследования форм равновесия, т.
е. в обычных системах, динамический критерий дает те же результаты, что и статический. рассмотрим, например, ту же самую стержневую систему в условиях нагружения силой, сохраняющей свое направление (рис. 359). В атом случае взамен уравнений (1) получаем: Г =Р, Х = тзуп гагра+ лгзут1+ с (ф, — ф,) — Р2гфз= О. Уравнение (2) остается неизменным. Взамен уравнений (3) будем иметь: 4 3 те(чра+ 2т,гчр, +с(фз — (р,) — 2Р1ца =О, ( ' ° ) 4 4лгзР+ 3 ага ~р~+ 2тзРгрз т (2с — 2Р1)%, — сгрз — — О, 284 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ~!Зе а взамен уравнения (5) получим: ( — '~ (3 + 4(г) + — ' 3 ~8 + )г — — (8 + 2(г)~ -(- + ч ~г — ~~~ +. 4 ~ ~~ ) ~ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
