Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Рпс. 323. Аи соз и1 — Вп з1п и1 = ф. Составляем определитель системы трех уравнений относи- тельно неизвестных В, г" и ~р и приравниваем еге нулю. Это хХI л1г 11г 1г г ~ г ~ ~ З' 7 г У 1 Ф Рис. 329. дает трансцендентное уравнение — =и1 1иа1. П Зависимость критической силы от 111с показана на рис.
329 240 РЕШЕНИЕ ЭАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 11Ю а27е Дифференциальное уравнение упругой линии стержня (рис. 330) будет следу1ошим: ЕУу" = Р ( У вЂ” у) -1- М. (1) Сила Р равна, очевидно, весу жидкости Р = уптсял, где т' — удельный вес жидкости. Рис. 331. Рис. ЗЗО. Момент М определяется суммированием моментов элементарных сил г)Р (рис. 33!) относительно оси х. Угол ф поворота бака предполагается малым. После интегрированна получим: М = (2ля+ гс~) ф.
4 (2) Решаем уравнение (1) 261+ Я1 у=А в!пах+ В совах+у+ + <р. При х=О у=О и у'=О. Прн х=! у=У и у'=~у. Эти условия даятт: В+у+ ~~ +~ р=о, 2ья.т- !21 Ав!па1+Всова(+ — — 1р=О, Аасова! — Ваз1ЕЫ 1р. 241 1У. УСТОЙЧИВОСТЬ Из двух последних уравнений получаем: 4— Подставляя вначение Р, получаем: Л Тогда искомая величина — определяется из трансцендентного 1 уравнения и зависит от двух параметров: В зависимости от них в каждом конкретном случае может быть найден уровень жидкости, пря котором происходит потеря Ряс.
ЗЗ2. устойчивости. Если бы заполнение бака не обладало свойствами текучести, например, если бы бак заполнялся песком, момент М был бы меньше, чем (2), а именно: Ьа М = унт~ — 1р. 2 Это привело бы к заметному повышению критической нагрузки. Разница в критических силах будет тем больше, чем больше диаметр бака. Подвижность заполнения приводит й тому, что н в схеме, показанной на рнс. 332, также возможна потеря уетойчивости. Критический уровень наполнения и)1 определяется на того же трансцендентного уравнения (3) с заменой кругового тангенса гиперболическим. 16 в. и Фаалааьаа йа2 ргшеииа задач и ответы нл вопросы !вм 12й) ° Свободную длину стержня до приложения силы Р обозначим через 1з. Длина стержня в момент потери устойчивости будет ~=~0+ 2 Рср (1) 2с Рассмотрим стержень в искривленном состоянии (рис.
ЗЗЗ, а). Отбрасывая пружины, получим систему сил, действующих на планку. Эта система сил показана на рис. 333, б', Ю Рис. 333. Со стороны первой пружины будет действовать сила — — саф, Р 2 Р а со стороны второй пружины — + саф, где ф — угол 2 поворота планки. Каждую нз этих снл раскладываем на вертикальную н горизонтальную составляющие.
За малостью углов вертикальные составляющие остаются приблизительно равными полным значениям сил: РР— — саф и — + саф, 2 2 Горизонтальные составляющие длв первой и второй пружин соответственно будут: 1т, устойчивость где у — перемешенне конца стержня. удерживая только первые степени перемешеннй, получнм Рт' Р н 2 ! 2 Теперь составим дифференциальные уравнения изогнутой оси стержня: Е.!у" = ( 2 — са«р) (г + о — у)+ ~ — + са«р) 0' — а — у)— Р Р У вЂ” — — (! — х) — — — (! — х), 2 2 ! нлн у +ау=а — х — — «р «а = — ), У' 2са' ! Р1 ЕУ '1 Е1) ' откуда У 2са' у = А а1п ах -+ В сов ах + — х — — «р.
Ерв' При х= О у=О и у'=О. При х=! у= г' н у'=«р. Соответственно этим условням получаем: 2сас А а!и а!+ В соа а! — — «р = О, Еуа' АасоэЫ вЂ” ВавпЫ-~- — — «р=О. Х 2се« Юа' О 1 а О 1 ! 2са« Ера' сов а! О а1п а! 1 — а ила! ! а сова! откуда а! с!па! 4сл«! (2) 1 — соэ Ы Еу Рассматривая А, В, г и «р как неизвестные, прнравннваем нулю определнтель этой системы 244 РЕП!ЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ Искомая сила Р„р входит как в а, так н в 1. Подстаавм сюда 1 нз (1), т. е.
1 = 1о + = 1о ~ 1 + и ~о з ~ ' 2о ~ о 2ого~ Тогда уравнение (2) примет вид огоз!В~ого(1+да!о)1 'г! 2 1 — соо ~оГ (1+ алого!)) г, а (3) где з' Е,/ 2сго (4) Из этого уравнения прн заданных параметрах — н й опре !е деляется а1о, а затем и Р„р. ад др Р 4Д Д,Г 4Д 4Г у, Рнс. 334. Рцр а Иа рнс. 334 показана,завнснмость - — от — прн не~г !о а скольких значениях л, С увеличением †, величина Р„р возго растает, Точно так же Р„р возрастает с уменыпеннем 4р, т'.
е. с увеличенном жесткости пружин с. Прн с=со нмеем й= О. ий1 гж зстоичивость Тогда, если — ~ О, получаем а ге 4~Ре.г Р "Р Р д т. е. Ргз равно критической силе стержня с зашемлеиными коицами. В случае же, если — =О,но с по-прежнему равно гв бесконечности, находим лаЕ/ Р "Р ' Р о т. е. Р,р равно критической силе стержня с шариирио закрепленными концами. ай9. Предложенная задача затрагивает принципиально новые вопросы устойчивости и ие может быть решена обычнымн методами.
Р Лействительио, приводя сжимающие силы, показанные на рис. 123,в, к оси стержня, по-. лучим следующую схему нагружения (рис. 335). Стержень сжимается силами Р и одновременно изгибается двумя моментами М =Ре в сторону, обратиую повороту торцов. Уравнение упругой линни будет: В.lу" = — Ру + Ре, или =Ре у" + «'у = «'е («т = — ~ . Р ь — е.г ~ откуда у=Аз1пах+ Всозах+ е Рис. 335 при х =О прогиб у= О, как и при х= 21; следовательно, соз 2аГ-1 А=е В= — е, з1п гсов 2ег — 1 з= [ —;,„-~к- ~ — .с .>)~. Таким образом, получаются вполне определенные значения прогибов..которые имел бы стержень, если к нему с само~о .
начала иагружеиия были бы приложены миме«ты Реь.которыя 246 Решение зАдАч и ОтВеты нА ВОпРОсы йю нарастали постепенно с ростом сил Р. В приведенных выкладках, таким образом, не улавливается критический переход от прямолинейной формы равновесия к криволинейной, и мы получаем в чистом виде случай продольно-поперечного изгиба. Рассмотрим основные положения устойчивости. Упругая система называется устойчивой. если при любом, сколь угодно малом (подчеркиваем: сколь угодно малом) отклонении от положения равновесия система, предоставленная самой себе, возвращается к исходному состоянво. При этом, однако, остается открытым вопрос, вернется ли упругая система в исходное положение, если ее отклонить «посильнее», т.
е. задать ей не сколь угодно малое, а просто малое, но конечное отклонение, ббльшее некоторой наперед заданной величины (пусть даже очень малой величины), Не может л~ случиться, что система при сколь угодно малых отклонениях в исходное положение возвращается. а при некоторых малых, но ббльших заданной величины, отклоне! l киях — не воаврашлетсяу Действительно, это может иметь Рнс.
336. место. Механическим аналогом сказанному может служить, например, шарик, лежащий ца вершине выпуклости в маленькой лунке (рис. 336). Если этому шарику дать малое отклонение. он вернется в исходное положение, а если ему сообщить достаточмо большое отклонение, он в исходное положение не вернется. Если бы лунки не было, положение равновесия было бы попросту неустойчивым, Таким образом, мы прихолим к новой оценке устойчивости, основанной на сообщении системе не сколь угодно малых, а малых, но больших наперед заданной величины воамущений.
Такую оценку устойчивости называют оценкой устойчивости «в большом». Обычную же оценку устойчивости, основанную на сообщении системе сколь угодно малых перемещений, называют оценкой «в малом». Эта терминология перенесена в устойчивость упругих систем из общей теории устойчивости движения и в настоящее время стала общепринятой, Стержень в рассматриваемом примере устойчив в малом. но не всегда устойчив в большом, В самом деле, если мы ш. встопчнвость сообщим стержню весьма малое отклонение от прямолинейной формы равновесия, восстанавливающий момент Ре будет больше отклоняющих моментов Ру (поскольку у может быть сделано сколь угодно малым), и по устранении причин, вызвавших малое отклонение, стержень вернется к прямолинейной форме равновесия.
Это будет иметь место при любом 4нгЕУ значении Р, не превышающем,, когда стержень уже теряет устойчивость в малом по форме, показанной на рис. 123, б. В реальных условиях внешние возмущения (искривленность стержня, нецентральность приложения сил, случайные толчки) всегда имеют конечную величину, и в зависимости от этих условий стержень переходит к новой форме равновесия при большей или меньшей силе. Поэтому поня~ив устойчивости и неустойчивости в большом неизбежно связывается с отсутствием или наличием соответствующих внешних воз- действиЯ. Устойчивость в большом зто — расширение классической схемы и приближение ее к нашему интуитивно-повседневному представлению об устойчивости. Это — комплекс из свойств системы и возмущений.
действующих на систему. Поэтому анализ возможных форм равновесия является только частью исследования устойчивости н не решает задачи полностью. Это будет видно на примере решения некоторых последующих задач. Вернемся к зздапной схеме сжатого стержня н состзвнм уравнения упругой линии в больших перемещениях. Поскольку эти уравнения будут нужны нам и в дальнейшем, мы их выведем здесь в несколько более общей форме, чем это необходимо при решении рассматриваемой задачи *). Нз рис. 337 показана часть сильно изогнутого силой Р стержня. Введем две системы координат: систему ху, ориентированную по касательной и нормали к упругой линии в ваделке, и систему х'у', ориентированную по силе Р. Через Ь обозначим угол между направлением силы и осью х (в нашем случае Ь=О); ь — текущий угол между касательной к дуге упругой линии и осью х'.
') Этот вывод заимствован иамн из книги: Попов Е. П., Нелвиейиые задачи статики тонких стержней, Гостехнздат, И48. 248 РЕП!ЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ !1ЗР Кривизна бруса в произвольной точке будет, очевидно, выражаться через угол ь таким образом: ! р лз' где с(з — элемент дуги бруса. Изгибающий момент в точке А равен Мл,„=Р(у, у), где у' — координата точки Е. Теперь очевидно, что Р Дифференпируем это выражение по з: лзс Р йу' лзз Е5 Рз но — = з!пь. Ну' лз поэтому Р— = — — з!пь. л51 Еу Обозначим Р ра ЯЮ Еу Р (!) Тогда (т — = — р з!Вь. лз~ йз1 или же (зп' ~ — ) = — 2ртз!и —,соз —,сЬ.
/ Л~! лз 2 2 Рис. 337. Умножим обе части этого равенства на — и проинтегрируем: я'ь нз 1(! — ) — 4рз 1(С! ю п 1 1 (2) Постоянную С, обозначим через лт, а з!п †, — через (зз!Вф, т. е. (3) З!П вЂ . ~м Й З!П ф. 2 249 га эстопчивость !зз> Тогда уравнение (2) примет вил ! — = 21й соь ф. а'ь аь Но из (3) — = 2>! ыгь ) ! — А> 5>п> 4> а>ь (4) поэтому ! — = р ')> ! — да ь>па ф, р >!4> ль >гф гГь 1 Г 1 — а>5!и ф Интегрируя это выра>кение, получаем Р-', =- Р(ф) — ~(ф.). (б) я ~(ф)= ~ к>:ныл 4 ' е Значения этого интеграла даются таблицами в зависимости от и н ф. Теперь определим уравнение упругой линии х'(ь) и у'(ь): >4х'=соььг1ь, ау'=ь!пьгй, или же >!у = 2 ь!и —, соь —; а>ьч 2 2 с(х'=(! — 2ь>пз —;) >й, 2! Если же сюда подставить ь!и —," =Аз!пф, 2 получим: и'х' ! 2 )г(,ьзь!пзф 4Ф ль 2 = — А ь!пф г(ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
