Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Задаемся й, (илн значением модульного угла а, = агсз1п в,) и, пользуясь таблинамн полных эллиптических интегралов, (Х л)У .(Х Рис. 350. подбираем Фэ так, чтобы удовлетворялось уравнение (16). Практически это удобнее всего делать, построив сразу графики зависимости правой и левой частей уравнения от А1 и А2. Из (!7), (18) находим — ', а из (19) и (20) — значе- лЯ ' ние силы Р (20). Соответствуюший этой силе Р прогиб ти 268 ввшвиив злдлч и ответы нл вопвосы !132 Из (3) и (13) находим 1У. УСТОЙЧИВОСТЬ (уменьшение вертикального диаметра) будет согласно 115) ен = 2)с — у, — =2 — — 13 — ~ 1 — а1 — ч,].
(2ч 1 Г 2 Е~ Таким образом, определяется точка зависимости На рис. 350 показаны результаты подсчетов в виде кривой, подобной тем, которые были получены в трех предыдущих задачах. Минимальное значение критической силы оказывается равным Е3 Рпяп=21 де Однако это значение является пившим только формально, так как перемещение — равно при этом 2,65, Р т.
е. уменьшение диаметра кольца оказывается больше самого диаметра. Контур кольца принимает вид кривой, показанной на рис. 351, Ясно, что в реальных условиях начальные отклонения формы кольца от круговой являются незначительными, т. е. ~ остается существенно меньшим единицы. Для Л малых значений — расчет дает резко повышенные значения —, не укладывающиеся в масштабы кривой 1рис. 350). РЛ' Е1 В этом случае выведенные формулы удобно преобразовать, учитывая, что л1и Фа являются величинами малыми.
При этом 7Е272 1+2а, 2я 1+2Л, ' У Е1 2Л~ Ю' 1+ 4Л 4Л2 1~ — 'ж2лн 12 (22) Наконец, и! — ж 4ли 77 (23) Таким образом, при малых —, исключая из (22) и (23) ли 27 ' получаем Возвращаясь к концепции устойчивости в большом, изложенной на стр. 246, мы видим, что рассматриваемая задача в конечном итоге так и не получила разрешения. Найдены только формы равновесия, из анализа которых следует, что кольцо «очень устойчиво». Для того чтобы судить об устойчивости системы, должен быть учтен класс разумно ограниченных реально существующих возмущений н типы начальных несовершенств в виде погиби кольца и неоднородности материала.
Такого рода анализа ни в одной задаче сделать пока не удалось. В атом смысле рассмотренный пример не является исключением. Теория устойчивости упругих систем пока не может, например, дать удовлетворительного решения чрезвычайно важных практических задач, таких как устойчивость сферической оболочки под внешним давлением и цилиндрической оболочки при осевом сжатии.
133. Задача по своему характеру близка к предыдущей. Рассмотрим сначала формы равновесия кольца при больших перемещениях. Положим, что радиус кольца в свободном состоянии на величину Ь больше радиуса обоймы. Дуга АВС (рис. 352) 270 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Н ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1!эз Согласно (17), (!8), (19) и (20) ы. кстоичнвость 271 1331 имеет предполагаемую форму равновесия АВ'С'.
Точка В переходит в В', а С в в С'. Из условия равенства дуг АВ и АВ' устанавливаем связь между углами ф и ф,: 1 %= — 1 „,(ч — фо) (1) Ь где через е обозначено е = —. я' Теперь обратимся к уравнениям гибкого стержня (см. задачу 129, стр, 248). На участке С'В' имеем перегибную Рис. 353. Рвс. 352. форму. Точку С' принимаем за начало отсчета дуги г.
Она будет меняться от нуля до величины 1=-Яфз. Поэтому выражение (1) (стр. 248) принимает вид р'= — Ф Р11' Е1 о' (2) В точке С' угол наклона дуги ь = О, Следовательно, з)п фа = О. Примем фа= О. Эллиптический угол ф вдоль дуги з будет возрастать. В точке перегиба (что следует из выражения (4), стр. 249) он равен и/2. В точке К (рис. 353) он станет равен .г. Поскольку на участке КВ' точек перегиба уже больше нет, то в точке В' угол ф остается меньше, чем Зп/2. Обозначим его значение через ф,.
Из выражения (5) (стр. 249) после подстановки з = 1 получаем: р = р'(ф,). (3) В точке В' кривизна кольца известна. Она равна кривизне обоймы, т. е. Уравнение (4) (стр. 249) дает Й~о — = 2873 сов ф1. (4) Наконец, нам задан угол наклона кривой в точке В'1 ьв = 411. Тогда из уравнения (3) (стр, 248) получаем: 133 ! — 3!п ~ — — — ) = Ф 5!п ар . '12 2 1 — е (5) Уравнения (6) (стр. 249) дают значения координат точки В' в системе осей к.
у (рис. 353): У'--= Р В(Ф1) — 1, Ч'о Р— = — (1 — сов ар ). у, 2» В'уо 8 1 ' Как видно из рис. 353, х, = (!с — Ь) 3! п 1РИ (6) (7) Поэтому получаем еШе одно уравнение: 1 — о — Эо 2 1 — е !! В уравнениях (3), (4), (5) и (8) неизвестными являютсяа модуль эллиптических интегралов 73, эллиптический угол ф1, угол ой, и сила Р. Они должны быть определены в аависиа мости от е = —. Сначала из уравнения (4) исключаем 77 ' с помошью (3): ~Да 2л соз 1!, 1Р(ф ) (9) (8) Далее из уравнений (5) и (8) получаем: — — 2733!Вф ~/1 — !333!и'1Р = — 1. 1 — е 2В (411) 1 ~ (1Т1) 2?2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1133 !у.
устоичивость !55! 1 — е Исключаем — при помощи уравнения (9). Тогда тс соз(Р1 [2Е((Р1) — Р((Р1)! — 5!и (Р1 ~/ 1 — Ю 5!оа(Р1 = О. (10) В это выражение вхолят только две неизвестные л и ф(. Пользуясь таблицами эллиптических интегралов, можно на основании уравнения (10) составить следующую вспомогательную таблицу. г (И1 е (Фо сое ц е(о Е, Возвращаемся далее к уравнению (8), которое посла нолсга- цовки 6 принимает внд 1 — е . н — (ае Е ('т() 5!П = 2 — — 1.
(1!) Ее 1- Е(Ф) Пользуясь составленной таблицей, вычисляем по уравне- нию (9) для заданного е величину угла (ре, а затем полби- раем )с так, чтобы удовлетворялось уравнение (11). Наконец, из выражений (2) и (3) находим Р(та(П, 18 в. И Феодосьев 0 0,05 0,10 0,15 О,Ю 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 4,493 4,493 4,493 4,492 4,491 4,490 4,488 4,486 4,462 4,479 4,475 4,461 4,449 4,433 4,407 4,361 4,259 3,843 -0,976! — 0,9761 — 0,9759 — 0,9753 — 0,9749 — 0,9730 — 0,9719 — 0,9613 — 0,9538 — 0,8989 — 0,6451 — 0,2172 — 0,2174 — 0,2178 — 0,2!84 — 0,2194 — 0,2207 — 0,2224 — 0,2246 — 0,2274 — 0,2310 — 0,2355 — 0,2414 — 0,2492 — 0,2599 — 0,2757 — 0,3003 — 0,3439 — 0,4382 — 0,7641 4,494 4,497 4,504 4,517 4,536 4,559 4,590 4,626 4,670 4,723 4,784 4,856 4,940 5,038 5,152 5,281 5,421 5,530 5,313 4,494 4,49 ! 4,482 4,469 4,449 4,422 4,39! 4,352 4,255 4,196 4,129 4,052 3нбб 3,750 3,6!2 3,427 3,000 274 РЕШЕН11С ЗАДАЧ Г! ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1!33 Величина прогиба ), в точке С' определяется отрезком С'О (рнс.
353) и равна, очевидно, 3 = у, + (гс — Ь) (1 — соз ар,), или, согласно выражениям (1), (3) и (7), 2А '1 — Ча 1 а (ага) — = — (1 — сов ф ) +(1 — е) ~1+ соз -'1 — ~ . 1 — е ~ Результаты подсчетов сводим в график, представленный на рис, 354. Он отражает условия существования формы ~уг Жеуег" .Л гг'Х У,Х тг вт Па 1!ау еггдг, 4 ж Ркс. 354. равновесия несжимаемого кольца, помещенного в жесткука обойму.
Условие несакимаемости, молчаливо принятое в рассмотренном анализе, накладывает свой отпечаток на ход полученных кривых. Мы видим, что форма равновесия кольца с отставанием от обоймы существует всегда, лишь бы только величина ба была отлична от нуля. В действительности это, конечно, не так. Малая разность длин' кольца и периметра обоймы выбирается за счет сжатия кольца. Полученное ре- нл кстончивость ьтз) шение для форм равновесия остается справедливым и в случае сжимаемого кольца. Только под величиной Ь следует понимать уже не просто разность радиусов кольца и обоймы, а ту же самую величину, но за вычетом усадки, вызванной нормальными силами, возникающими в кольце.
Если упрощенно принять, что сжимающая сила одинакова для всех точек кольца и равна Р, то по.тучин~ или л л И1' ) К А' А' ЕУ (12) где у К= —. Я'Е ' (13) 1зч Теперь под величиной Л понимается разность радиусов, компенсируемая отставанием кольца от обоймы без изменения его длины, а под Ле — действительная начальная разность радиусов. Из выражения (12) видно, что для учета сжимаемости кольца надо на рис.
354 каждую точку графика сместить вправо на величину — К.и перестроить параметры РР/Е3, ртг' еу фз и Х/Й в зависимости от Ье/гс. Зто вносит качественные изменения в характер хода кривых и дает им новую интерпретацию. Перестройка кривых показана на рис. 355, Здесь задана величина К и три кривые Ргсз)ЕУ, ~ре и Е/)с те же, что были и на рис. 354. Они проведены тонкими линияни. Берем на кривой Ргс-',~Е1 произвольную точку. От точки а~ ру вправо откладываем отрезок К вЂ” и получаем точку Ьн еу Аналогично определяются точки Ьз и Ьз Затем точка а, смещается н соответственно получаются новые точки йо Ь, н Ьз.
Так по точкам строятся новые кривые Р)т'/ЕУ, н Х/й. Каждая из этих кривых имеет экстремум прн одном и том же значении аз=ее„р. Новые кривые проведены жирными линиями. При ее(ее,в сжимаемое кольцо не имеет форм равновесия с изогнутой отставшей от обоймы частью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
