Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Если при некоторых значениях безразмерной силы Р2 частота ы ч ' у, Р ,з имеет формы рзвновесня, отличные от прямолинейной. Если Рис. 367, нулевых точек для гэ не имеется, надо определять условия крзтпости частот, что соответствует условиям возникновения движения с нарзстающей амплитудой. Весьма эффектно выглядит другое решение, предложенное Л. И. Балабухом. Обращаемся к уравнению (8) задачи 134. 1221' Дифференцируя его два раза по ь и обозначая — „=!'э, поль лучим то же самое уравнение: — +б — — !а=О УУО 2 !ГО 2 Л(4 Л~2 но граничные условия теперь будут уже другими: — =О, 31 4 12ь при ь=О 'г'а=О и при ь=1 У' =О и (3) Следовательно, решение будет тем же, что и для сжатого стержня, защемленного по концам (рис.
367). Но здесь известно, что стержень не имеет колебзтельных форм потери устойчивости. Новая форма равновесия возникает при ап2Е) Р хя 72 291 Решение зддАч и ОтВеты нА ВОпРОсы паг В этом можно убедиться и на основе анализа уравнения (2), которое остается, кстати, одним и тем же как для граничных условий (1), так и для условий (3). Понятно, что форма равно- р ГР весня для стержня, показанного Рис, 363, на рис. 367, является относи- тельной в том смысле, что она должна рассматриваться в связаиной сястеме координат, которая движется с ускорением в пространстве вместе со стержнем (рис. 363). Здесь две составляющие Ргр уравновешиваются 2РЧЕ даламберовскими силами инерция д = — .
РГЕ' ' Понятно, что рассмотренная операция двукратного дифференцирования уравнения приводит к указанным выводам лишь дчя случая однородного стержня. При неьпавномерном распределении масс или при переменной жесткости результат будет иным. В качестве аналога можно рассмотреть два жестких стержня, связанных между собой пружиной жесткости с (рис. 369). При возникновении угла по- Р Р ворота ф система движется с ускорением. Вводя в центре масс уравновешивающие инерционные силы, получаем условие устойчи- РР Р(Р вости в виде Р 2сф= Рфа, Рис.
369 нли Р 2с "Р а р где а — расстояние от шар- нира до центра масс. Рнс. 370. При нагружении сила- ми Р, сохраняющими свое направление (рис. 370), распределение масс, естественно, не имело бы значения. В этом случае Р 2с кв 1 э где 1 — длина одного стержня, 295 1У. УСТОЙЧИВОСТЬ \281 138 Поставленная задача, несмотря на кажущуюся простоту, содержит в себе трудности того же характера, с которыми мы столкнулись в предыдущих задачах. Попробуем отыскзть условия существования фори равновесия, отличных от исходной.
Для этого представим, что балка выпучилась и вышла из плоскости начального изгиба (рис. 371). Обозначим через у боковое перемещение оси бруса, а через ф — угол поворота сечеиия относительно оси х. у ".' За положительные направления для у и гр примем те, которые показаны у на рисунке. ,3. В отклоненном положении в сечениях бруса в плоскости минималь- Рис.
371 ной жесткости возникает изгибающий момент. Этот момент равен Мгр и направлен в сторону увеличения кривизны бруса. Крутящий момент, возникающий в сечении искривленного бруса, равен Му' и направлен так, что стремится уменьшить угол ф. Счедовательно, Миэг =+ Мф Мг = МУ'. С другой стороны, Миэг = ЕУУ 'гзи = ОУгф ° где Ьггэ Ьдз у= —, у= —. 12'гЗ Теперь получаем уравнения Е3уи = Мзр, сгу',ф' = — Му', Их решение будет следующим: ф= А 21а ах+ В сов ах, ~эг у = — — ' (А 21и ах + В соа ах) + С, М где о2 Мз Е301г 296 Рец!ение зАдАч и ОЕВеты нА ВОпРОсы раз а А, В и С вЂ” произвольные постоянные, которые определяются нз следующих условий: при х= О имеем ф=О, у=О, у'=О.
Тогда получаем: В = О, — — ' В+ С = О. А = О. Так как А = В =С = О, то отсюда следует, что при любых конечных значениях момента М форм равновесия, отличных от плоской формы изгиба, ае' Лг«г««"" не существует. Остается исследовать формы движения и попытаться отыскать условия, при котов«ж««»«лгм««рых возможно движение стержня с нарастающим во времени отклонением. Рнс. 372.
Прежде чем перехо- дить к этому анализу, заметим, что и в случае следящего за торцевым сечением момента (рис. 372) стержень также не имеет форм равновесия, отличных от исходной формы плоского изгиба. Лишь в случае «полуследящего» момента, показанного на том же рисунке 372 пунктиром, возможно существование новой формы равновесия при М= т 'у'Е/ аl' «Полуследящий» момент может в с Рнс. 373. быть реализован при помощи двух грузов (рис. 373). Любопытно заметить, что возможность реализации заданных сил или моментов прн помощи сил веса во всех известных случаях является пока неизменной гарантией того. что устойчивость системы может быть исследована при помощи отыскания соседних форм рзвновесия.
Необходимости отыскания форм движения при нагрузках силами веса пока не возникало. Составим уравнения движения стержня. Для этого необходимо ввести в рассмотрение распределенную инерционную нагрузку Д2~ Чквсра = р асс 297 ~ц гстолчивость !эз] и распределенный инерционный момент, связанный с вращением масс относительно оси стержня дф ~„„, „=ру —;, где р — плотность материала, а тр — полярный момент инерции сечения.
Как известно, д Мозг дх' поэтому, дифференцируя первое из уравнений (1) по х два раза, а второе — один раз н прибавляя к правым частям соответственно Чинерч н гиинерю получим: д'у д'ф д'у Е5 — = М вЂ” — рР—, дх' дхо дР ' (2) Примем ,„.Г ья, от где У и Ф вЂ” безразмерные веаичины, зависящие от безразх мерной координаты ь= —, ы — безразмерная частота. Уравнения (2) принимают вид д'У дьФ вЂ” — Мо — — оРУ = О, д~' д"о (з) —, + Мо —, + й'ыоФ = О. ь где Мо — безразмерный момент, а )г — геометрическая характеристика: М! ЕУ Ур м=, и= — —, ° )~ Е3 ° 6/т бает (4) Исследование системы (3) при помощи средств функционального анализа приводит к очень громоздким преобразованиям. Поэтому здесь удобнее всего обратиться к помощи машины. Представим функции У н Ф в виде степенных рядов у ~~ ) ~гл Ф ~~ Е~о о-о,по,...
о-о,ьо,... 298 ГЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ йж Подставляя !' и Ф в уравнения (3), приходим к рекуррентным формулам: л и — ! ( — ) — 3) ва Ал-4+ "4ВВ -а(" — 2)(" — 3)! (5) Алвл л-а э л-а (л 2)(л 3) л 4 При вычислениях можно ограничиться 20 — 30 членами ряда. В заделке при х= О (ь=О) имеем у=О, — =0 и д дх ~р=О, следовательно, АВ=А, =Вэ= О. На конце стержня (при В=1) имеем: ВУ- —,= Мр, аГ, — = М длУ д4Р дУ, Последнее граничное условие выражает равенство нулю поперечной силы на конце стержня. Действительно, поперечная сила определяется из условий равновесия элемента 7АТ дАГл 44Г„+ —" дХ 42и Рнс.
374. (рнс. 374). Приравнивая нулю сумму моментов сил относительно оси хн находим: дМ~м )4 де дх дх ' ач. устоичивость Переходя к безразмерным параметрам. получаем: — — М с(а = О, — + М вЂ” = О, уу лФ Лаа о = Лг о лг— атаг оФ вЂ” — Мо — = О, ,уга о Л( или, положив ь=1, ,э~а А„п(л — 1) — Ма ~~.'~ В„= О, 1 В„в+Мо 1 А„а=О, 2ю Аап(л — 1)(л — 2) — Мо:Ра Вав = О. (6) При вычислении коэффициентов А„и В„первые три из них Аз, Аз и В, остаются неопределенными. Их надо подобрать так, чтобы были выполнены условия (6).
Но уравнения (6) относительно постоянных Аз. Аз и В, являются однородными. Поэтому их можно написать в виде апАз+аазАз+ аыВ, = О, аз, А я + паз А а + аззВ, = О, азаАз+ аазАз+ азаВа = О. Чтобы получить ненулевое решение, необходимо выполнить условие ааа паз Цз а, а аза лза пзя пзз Порядок вычислений теперь будет следующим. Задаемся параметром 1+и а йз=— ВУа Р1~ 24 а' ' Фиксируем Мо и ы. Далее полагаем Аа — — 1, Аз — В, = О и по рекурреитным формулам (5) вычисляем коэффициенты А„и В„а затем— левые части уравнений (6).
Они равны соответственно аи, а„и пзм Затем полагаем Аа — — О, А,=1, В,=О. Тогда левые части уравнений (6) дают нам значения паз, аю и аз,. Наконец, полагая Аз=Аз —— О и В,=1, находим п,а, аю зю гсшснис задач и отвпты нл вогп осы рж и паз. Вычисляя определитель, убеждаемся, что он, вообще говоря, не равен нулю. Тогда, изменяя значение ы, добиваемся того, чтобы а) = О. Так определяются частоты собственных колебаний я д 4ы для заданного момента Ме.
Меняя Ме, следим за поведением частот и подобно тому, как это делалось в предыдущих при- 0 мерах, определяем условия их кратности. При Ме = 0 имеем частоты собственных ког~ лебаний — изгибных (ы„м) л и крутильных (о„). По Юк 4Р мере возрастания Ме про- исходит сближеннечастот, КУ и при критическом значе- л пни момента Ме частоты ь,, становятся кратными (точ- ки А на рис. 375).
Р,Р На рис. 376 показана зависимость Ма„р от пад ! Р ,У ч' лб раметра гг. При гг = = 0,445Ме„р обращается в нуль. Это имеет место при совпадении частоты первого тона изгибных ы„,„ с частотой ы„ первого тона крутильных колебаний. Можно отметить, что первая наименьшая частота смыкается всегда со второй независимо от того, интерпретируется она нами как изгибная или как крутильная. Например, при й = 0,05 первая крутильная частота ыж = 31,4, в то время как изгибные частоты ыы,„= 3,5 и озаа,= 22. По мере увеличения момента смыкаются изгибные частоты. При увеличении параметра й первая крутильная частота падает и, котла она становится меньше второй изгибной, первая изгибная при увеличении Мс смыкается уже с ней.
Это видно и нз кривых, показанных на рнс. 375. В случае следящего момента, т. е. поворачивающегося вместе с торцовой плоскостью, меняются граничные условия, 301 !ч. гстопчивость 1зе! и взамен (6) имеем." У, А„.(. 1) =0, Хв„л=о, (7) ~~А„л(л — 1)(л — 2)=0. ~ Критические значения момента для условий (7) оказываются теми же, что и для условий (6). Это совпадение ~акр 4 66 64 06 66 Рнс. 376.
результатов не является случайным. Оно вытекает из взаимного обращения условий нагружения стержня на левом и правом концах подобно тому, как это делалось для систем. рассмотренных в задачах 134 и 135. 139® Задача вошла в литературу под названием задачи Е. Л. Николаи. Именно на примере ее решения в 1927 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
