Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 27
Текст из файла (страница 27)
а'у' Интегрируем эти выражения от нуля до ь; = р (Е(ф) Е(фе)) ! = — й (соь Фо — соз ф), х' / (б) Здесь через с" (ф) обозначен эллиптический интеграл первого рода 2% Рещение 3АдАч и Ответы ИА ВОпРОсы !!М где через Е (ф) обозначен эллиптический интеграл второго рода Ф Е(Ф) = 1 Фг! — 125!П2Ф с(ф. Эта функция также дается в таблицах. Переходя к системе координат ху, получим: — = — соз д+ — сбпб, х х' У вЂ” = — соз Ь вЂ” — з|пб.
у у' л' Теперь перейдем к граничным условиям для рассматриваемого стержня. При г=! имеем: М„,„=Ре созьс. Следовательно, ль Ре соз ь еу или согласно (1) — 1= — 82 — созь . е!Ь е с На основании выражения (4) имеем: 2Й соз фс — — — б — соз ьс, е но так как соз ~с — — 1 — 2 з!Е2 —, 2 то из (3) получаем; соз ь = ! — 2д2 З1п2 ф . Таким образом, мы имеем первое граничное условие в следующем окончательном виде: при г=! 2псозф = — б — (1 — 2йтз!Вяфс).
(8) Второе граничное условие таково: ь = 0 при г =О. или согласно (3) фе = О. Выражение (б) при г=! принимает вид Р(фс) = р 2б! ш, ястопчивость !ял Из (6) находим Р хс хс 2 — = — = — Е (фс) — 1 ° Сближение концов стержня Х будет Х= 21 — 2х', — = 4[1 — — „Е(ф )~. Наибольший прогиб равен .г = у' = — „А (1 — соя ф ), 21 (10) Теперь построим зависимость силы Р от максимального е прогиба У при некотором заданном отношении -. Порядок Ъ' подсчета будет следуюшим.
Поделом почленно уравнение (8) на (9): (11) Р ~Г') е Возьмем, например, — =0,02 и составим таблицу, выбирая А=а(пб; з1п!О', ... / л соя ф е л — = — — (1 — 2йтз1птф ). Р(ф ) 21 е При данном — задаемся величиной К а затем по таблицам 21 подбираем фс так, чтобы было удовлетворено уравнение (11). Затем из (9) находим р. а потом Р Р (2!)е 4Ре Ре и'Е! и2 ' Из уравнения (10) определяем —. Таким образом, получаем у 21 ' точку завкснмости 232 Решение ЗАЕАч и Ответы ИА ВопРОсы 1!аэ На основании этой таблицы строим кривую, показанную на рис, 338.
На этом же графике построены еше две кривые. Р 7,' а су 4е 41 ла а д Рнс. 333. Первая — соответствует случаю е=О; вторая, начинаюшаяся Р в точке — = 4, соответствует искривлению стержня по форме 1 а рис. 123, б. е Обсулим полученный результат. Кривая — = 0,02 при 21 Р малых прогибах падает. а затем, начиная с — =1,!4, воз- Ра растает. В точке В она пересекается с кривой †' = О. Эта 21 е точка является обшей для всех кривых, независимо от —. 21 ' Здесь и = —, и из уравнения (11) вытекает, что при 1 )~Г ' любом — имеем соаф =О.
Это означает, что момент на 21 конце стержня равен нулю и поворот торца равен 90' (рис. 339). Кривая, а= 0,02 не пересекает оси ординат. В левой 21 своей части опа асимптоти чески приближается к пря- !ч. устопчизость кой —, = 0,04. Таким обРазом, стеР>кень пРи -а)-~ 0 всегда у= а 21 устойчив в малом, если только речь идет о потере устойчивости по форме, показанной на рис. 123, в. Но при силе 4л'ЕУ е Р= (21)' при любом — стержень теряет устойчивость по 21 форме рис. 123, б.
Положим теперь, что'при — = 0,02 стер- 2( жень загру>кен, например, силой 2л>ЕГ >' Р '= (21)> ~.—. = -") Стержень при этом сохраняет прямолинейную форму. Попробуем его несколько отклонить от вертикали, задавая некоторое искри. вление его оси. Если это отклонение будет малым, стержень, предоставленный себе, вернется в исходное положение. Если же рнс 3ЗЭ отклонение будет достаточно большии ( Л бдльшим величины —,, рис. 338), стержень примет новую 21 ' криволмнейную форму равновесия, соответствующую точке Е (рис. 338), В зависимости от величины сообщенного отклонения система может вернуться к исходному положению, а иожет и не вернуться. Но это произойдет при силе Р, большей определенной величины.
При —,=0,02 это будет и при Рл1,14Р, (точка А рис. 338) и Р < 4Р„где потеря устойчивости происходит независимо от величины сообщенного отклонения. Таким образом, мы приходим к новому понятию интервала возможных критических усилий, в котором возможен переход к новому положению равновесия: 1,14Р, <Р < 4Р,. Потеря усто>(чивости произойдет в указанном интервале раньше или позже в зависимости от точности изготовления стержня и от того, сколь строго соблюдается центральность приложения силы Р, Но так или иначе, критические нагрузки в подобных системах определяются в укаэанном мнтервале как вероятные.
При Р ь 4Р, переход к новой форме равновесия неиабежен. 264 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ йЭЭ 13Р» При решении задачи необходимо отдельно рассмотреть форму равновесия (А) (рис. 340), при которой конец балки остается прижатым Ю к плоскости. Переход от прямолинейной формы к этой форме равновесия произой- Р дет, как известно, при пролольной силе Р созб= —. Ю,2Е1 »Р Теперь рассмотрим форРнс. 340. мы равновесия типа (Б) (рис.
340), Ясно, что переход к подобной форме равновесия не может быть осуществлен малым (сколь угодно малым) отклонением системы от начального положения. Действительно, сообщая концу балки некоторое отклонение с тем, чтобы балка не вернулась в начальное положение и приняла форму типа (Б), мы должны подох' 4) брать это отклонение достаточно большим, чтобы моиент силы Рсозб, уводящий балку от начального поло' жения, оказался больше всс- У' у станавливающего момента Р /4/; силы Рз!пб.
Иными словами, й мы должны дать смещение, х большее неноторой заданной величины. После этого системз,предоставленная самой у себе, не вернется в началь- ное положение. Рнс. 341. Теперь тгосмотрмм, при каких условиях возможны для балки формы равновесна типа (Б). В нашем случае возможно существование упругой линии только в таком аиде, когда все точки изогнутого бруса будут находиться выше горизонтальной плоскости.
Здесь имеются две возможности' брус изогнут целиком (рис. 341, Бг) и брус ивогнут частично (Бз), ! за1 гю эстопчивость рассмотрим первый случай (Б,), На конце балки при з=1 кривизна равна нулю ~ — = 0). Поэтому из (4) предыдущей 1 ль ~ гз задачи (стр. 249) следует. что фа= 2 ' При а= 0 имеем ь= — Ь.
Из (3) (стр. 248) получаем: Ь вЂ” сб и —, = й з1п 4 а 2 а из (1) н (5) (стр. 248 и 249) 52 ~р( ") р(ф )] (2) Координаты конца бруса в системе х'у' согласно (6) (стр. 249) будут: ха Е ( — -) — Е (фо) — 1 Р( — 2) — Р(ф) ус 2й соз ага ( — 2) — ~(ф,) (3) Из первого выражения (7) (стр. 250) находим горизонтальное перемешение точки приложении силы: о х Ус — = 1 — — соз Ь вЂ” — з1п Ь. 1 1 (41 Теперь для форм равновесия (Б,) можно при некоторых б (10, 20, 30 ) построить зависимость — от —. Для этого. о о а Р1' Е1 1' задаваясь значениями й, из (1) находим фа.
Из (2) по таблирга нам эллиптических интегралов находим —, а из (3) и (4)— ЕУ 1а величину — . 1 ' На рис, 342 показаны трп кривые. При их построении учитывается, что для формы равновесия типа (Б,) сила Р проходит выше начала координат и фз остается больше — —. 2' .238 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1лз! 131, Система в малом всегда устойчива. Рассмотрим систему в отклоненном положении (рис. 343).
Силу, сжимаюшую упругий стержень, обозначим через Я. Рнс. 343. Приравнвв нулю сумму моментов сил относительно точки О, получим Р ° 21 з1п <р = В ° ОА. (1) Воспользуемся, далее, известным правилол!, что сумма проекций отрезков ломаной равна проекции зал!ыкающей, и спроектируем замкнутый четырехугольник ООСВ сначала на вертикальную, а затем на горизонтальную ось.
Получим 21соз!р — а з)п!р = ВС ° соз!рп 1 (2) — а + 21 з! и !р+ а сов !р = ВС ° з1п !рл, 1 откуда имеем а в!п ч — — (1 — сол ф) !О <р— 21 соз ч! — — з!п и 21 Далее, находим а ОА = а соз !р, = У1+!й'чч соз и — — з!п !Г 21 — а а а 1 — 2 —, а!и в + 2 — 11 — сов и) 2! 4В 256 ввшвнни звдлч н ответи нл вопросы рая должна определяться Л Г7 типа (Ба).
В атом случае в точке О (рис. 341) фа= — -к" и вместо (1) будем иметь А=а!п —. Ь 2 (1') Вместо (2) получаем Р! 1, [ (к) (2') Штриховая кривая на сверху. При ббльшнх рис. 342 ограничивает эти кривые РР значениях — искомая зависимость Е3 соответственно форме равновесия 1т. Устойс1ИВОСтЬ Вместо (3) и (4) находим: Ф- — 1, ~2) (3') — =О, Ус Д1 л,'1 — — = 1 — — — соя б. 1,= 1 (4') Таким образом, здесь нз (!') находим л, Для некоторого РР с 1, произвольного — пз (2 ) находим †, а из (3 ) и (4 ) наЕ1 1 Х холим 1' Результаты подсчетов показаны кривыми рис.
342, расположеннымн выше пунктирной линии. Обсудим полученные результаты. Если б= О, происходит потеря устойчивости по Эйлеру при Р1а оа — = — = 2,46. Е1 4 Во всяком случае Рар определяется как вероятное в интервале 20,2Е.1 аа 1а б' прп'1еч Р„,„= 1 (Е). !7 В. И Феодосьев Р1' 20,2 Прн Ь чь О потеря устойчивости прн — ч, ' происходит ЕУ сов о только в большом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
