Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 22
Текст из файла (страница 22)
уаааа Рис. 296. Таким образом, определение искомой зависимости производится следующим образом. Задаваясь значением у,„, определяем момент инерции треугольника ОАВ. Далее, по формулам (2) н (3) определяем О и М. Проделывая эту операцию для нескольких значений т аа, можно построить искомую зависимость.
!'и'. УСТОЙЧИВОСТЬ 99» Длина верхней свободной части стержня равна а — )а=а — —. Р с ' Существование формы равновесия с искривленной осью для этого участка возможно при Р а для нижнего участка, имеющего длину Х= —,— пря с ' 4лоЕ1 Р> 6)' Обозначим л Р поЕ5 Тогда выписанные выше условия сушествования криволиней- ных форм равновесия примут вид Р(1 — Р)а> ро рз> 4ро. 1 Так как Х (Е то О (р (1. На этом интервале изменения р строим график функций р(1 — р)т и Рз (рнс.
297). Из этого графика и нз соотношений (1) видно, что для того, чтобы стержень не терял устойчивости, необходимо соблюдение следующих условий: 1 4 — ро> — и 4ро>1 4 27 откуда 16, Ро> 27' но по предыдущему и~Е3 . ро= — „, Рис. 297. следовательно, жесткость пружины с должна быть меньше следующей величины: 27 л'Е/ 16 Р 166. Рассмотрим контур изогнутой пластинки (рнс, 298).
Дифференциальные уравнения упругой линии для первой и второй частей пластинки при силе Р, направленной анна„ будут: Еуу,"+ Ру, = О, ЕЭу" — Ру =О, 206 вашвниа злдлч и ответы нл вопвосы роо рч. устончивость ко! Обозначая — =а', получаем; — 2 еу у,"+ ату, =О, у" — а'у =О. откуда у, = А, в!пах+В, совах, уа = А, зп ах + Ва сп ах.
Постоянные определяются из следующих условий: 1) при х = 0 у, = О. 2) при х=1 у,=у,, 3) при х = Е у', = у',, 4) при х = 0 у' = О. Из первого и последнего условий получаем В! =Аз=о. из второго и третьего— А, з1 и аЕ = Вр с'и аЕ. А, сов аЕ = Вз з'и аЕ, откуда следует, что !йаЕЕп а!=! Е1) нлн аЕ = 0,933, Р„р = —, 0,88ЕУ Ряс. 298.
Если сила Р направлена вверх, знак при ар меняется на обратный и трансцендентное уравнение Е1) принимает вид ЕП ЕаЕЙ ЕаЕ= 1, Но ЕОЕаЕ= — —, а й !а!=Ела!. Поэтому имеем !Ь аЕ Е !д аЕ !1! а( = — 1, откуда аЕ = 2,35, Рчр — ~ , 101, Рассмотрим стержень в изогнутом состоянии при отброшенной верхней опоре (рис. 299). Вертикальную реакцию этой опоры обозначим через Р,, а горизонтальную — через Я. Первый вопрос, который здесь возникает, — это вопрос о величине этих реакций. Сила 1,) определяется из условия равенства нулю моментов относительно точки А, что дает Р Асо начала выпучивания сила Р, = — , . Поскольку отклонение от прямолинейной формы может быть принято сколь угодно малым, при выпучивании силу Р, можно также Рнс.
299. Р считать равной — (см. решение задачи 103). 2 Теперь составляем дифференциальные уравнения изогнутой оси стержня по участкам: Е/у", = Р,у1 — Ях (О ( х ( — ), Еуу" =Р,у — Ях — Р(у,— у) ~ —, ( х ((1. или, иначе, у — ц~у = — 2и~ — х У ! у,' -1- а'у, = — 2аэ — х.+ 2аЧ, где ат = —. Р 2ЕУ ' Решая уравнения, получаем: у, =А айах+Всй ах+ — х, )О=СВ)пах+Е) совах — — х-1 2у. 2У ! у,=О, При х=О при х=— 2 при х=1 у~ уа У " у~ уа уа = 0 208 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 001 па ястоичивость ши Следовательно, 1) В=О, 2) А вЛ вЂ” -+ В с И вЂ” + ( = У а! а! 2 2 а! а! 3) С в|и — + Осев — +( = У 2 2 а! а! 2/ 4) Аа сИ вЂ” -4-ВавИ вЂ” +— 2 2 а! а! 2у =С«сов —, — ((ав|п — — —, 2 2 5) Св!па(+Осев«(=О.
Из уравнения 2) вытекает, что А=О (т. е. верхняя часть стержня не искривляется). Последние три уравнения принимают вид: С 5|« —, + Е~ сов — = О, а! а! 2 2 а! . «( 4У Са сов — — Ра в|п — — — = О, 2 2 С в|и «1 + 0 сов а1 = О. В том случае, когда определитель системы не равен нулю, все постоянные С, Е', у равны нулю. Тогда у,=уз=О, и стержень остается прямолинейным.
Решение может быть ненулевым, если определитель равен нулю. Это дает возможность найти критическую силу Р а( сов — О 2 а! в!ив 2 а( . а( 4 асов — — ав|п — —— 2 2 в!па1 сова1 О откуда а( а( 8пеЕУ в!п — =О, —,=н, Р 2 ' и ' «з Р 14 В. н Феодаееее Если бы верхний конем стержня имел возможность смешаться по вертикали, критическая сила была бы в четыре 18,7Е,( с лишним раза меньшей, т. е. —.
(е 210 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ 1122 1фдя. Снимем мысленно гайку с болта и рассмотрим силы. действующие на болт и на трубку. На рис. 300 показаны оси болта и трубки после потери устойчивости и показаны внутренние силовые факторы Р, Я и дИз. Очевидно, для трубки дНнзг = д У, — Юх — А~з. для болта Уз+9 + Дифференциальные уравнения упругих линий трубки и болта будут следующими: ЕДу",+Ру, =(~х+ М, 2~2У2 У2 д~ з' гд Обозначим: — = аз, Р Е2 Г2 я2 Р Ер)~ /АЙ и тогда имеем; у + а'у = — азх+ — ае, м р д р у — и у = — — Фтс — — н..
2 О 2 Мо 2 д 2 Р ° Р Рис. 300. Решая эти уравнения, получим: у, = А, в|па,х+ В, сова,х+ — х+ — ', ч' Атю О Аг. уе = Аа зй адх + В, сй адх + — х+ —. Р Р У~ =У2 при х=1 Уд =Уз. у,=О, у,=О, Последние два слагаемых обоих собой частные решения уравнений. В„А2, Вд, Ю и Мз определяются прн х=О у, = О, у, = О, выражений представляют Постоянные величины Ан из следующие условийл 2!1 !ч. устогачивость Из первых трех условий находам: Ме а, В,=В = — —, А,=А,—. Р ' а, Последние три условия дают: А, з!па,!+ В, сова,1+ — 1+ — =О, е м. А,з!~а,!+ Вгейаа1+ — 1+ — = О, !2 ага Р Р А,а, соз а,1 — В,а, з!и а,1 = А,пас!г а,1+ Ваня з!г па1.
Подставляем в зти уравнения В,, В, и А, из (1). Тогда А, з!па11+ — 1+ — (1 — сова,1) = О. 0 Мо Р Р А ~ зй ат1+ 1+ о (1 с!! аз1) О А!а, (сов а1 — сп а 1) + — (а, з! и а1+ а, з!! а)) = О. Мя Приравнивая нулю определитель системы, получаем 1 — соз а,1 з!и а,1 — 'в!! а,( 1 — с'п оа1 а~ а,(сова,! — спаа1) О и, з!па,1+аваева,1 откуда 2я,я,(с!гязсозг, — 1)=(я~ — в',)зп я,з!и яы (2) гле я, = а,1, г, = а,1. При заданном отношении жесткостей можно выразить г, через гн а затем, решая трансцендентное уравнение (2).
определить критическую силу затяжки Р. В частности, при Ег71 =Ее)а=Е/ имеем а,=за=в, и тогла с!г я соз г = 1. откуда т'Е./ 22,4Е1 я=4,73, Р ка Р Р 103» Можно утверждать, что форма упругой линии изогнутого стержня при заданной сжимаюшей силе будет одной и той же независимо от причин, какими вызвана зта сжимающая сила. 212 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ П04 При заданном отклонении стержня от прямолинейного положения сила, сжимающая стержень, при любых обстоятельствах должна быть одной и той же. Неограниченно уменьшая кривизну стержня, мы неминуемо придем к выводу. что критическая сила для рассматриваемого стержня будет одной и той же как в обычном случае нагружения стержня мертвым грузом.
так и в рассмотренном случае температурного воздействия. Можно рассуждать и так. Изгибающий момент в стержне пропорционален первой степени прогиба у, а изменение сжимающей силы происходит на вертикальном перемещении, пропорциональном второй степени величины у'. Следоватечьно, величина у может быть всегда выбрана достаточно К малой для того, чтобы можно было не считаться с изменением силы. и Я4.
При формальном подходе к выбору аппроксимирующей функж ции можно получить реРис. 301. вультат весьма далекий от действительности. Так, например, примем, что форма упругой линии для взарнирно закрепленного сжатого стержня (рис. 301) выражается функцией у = А (з1п — + — Е1п — 1!. ПХ 1 ПЛ4Х '4 ! В4 (1) При т — »со принятая функция неограниченно приближается к точному значению функции. выражающей форму упругой линии, т. е. у„, =А з!п —.
пх Критическая же сила Р, найденная на основе этой функции внергетнческим метолом, оказывается равной ЕУ ~ у» 41х о 1+во и'ЕУ ' »Р 4 2 !4 ~у' Фх о 1051 гч. зстончивость и при гл-ьсо, как видим, неограниченно удаляется от точного значения. Особенность функции (1) заключается в том, что она хорошо отражает вил первообразной функции у, но резко расходится с ней во второй нроиззолной, т.
е, в выражении кривизны. Пример поучителен тем, что при его помощи наглядно подчеркивается общее правило. При выборе аппроксимирующей функции необхолимо следить также и за степенью приближения ее производных, включая высшую нз вхолящнх в выражение энергии. ФР6 Сначала решим вспомогательную задачу. Возьмем шарнирно закрепленный стержень длиной Е нагруженный сжимающей силой )Ч и моментами Мз и М~ Р х з(п(п Рс$9(р ег л) Рис. 302.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
