Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Перемножая зпюры (рис. 254), получаем Е"!и! ™! Т+ М1+! В ° 621!. Обозначаем нормальную реакщ!ю правоМ опоры через Х!. Сила трения будет уХ! (рис. 255). Уравнение метода сил имеет вид 321Х +32= б. а! н. гвоматричвскнв свойства свчвнии. нзгив 159 Так как бнХ, есть перемещение в направлении 1, вызванное снлани Х, и уХп а б,р —.перемещение в том же напра влепил, вызванное силой Р, то бн определяется перемноже- Р Р Рлс.
255. пнем зпюр (7) я (2), а б, — перемножением зпюр (Р) и (2): де/4 ~ Ра ту раз д б|р — — — ~~~ . Тогда реакция оказывается равной Рис. 255. Эпюра суммарного изгибающего момента показана на рис. 256, 66. Рассчитывать ферму с жесткими углами в предположении, что стержни работают только на растяжение н сжатие, можно, если силы приложены в узлах. Действительно, рас- Р смотрим некоторую раму, составленную из ряда замкнутых контуров (рис. 257), таких, чтобы при шарнирном соединении стержней система оставалась геометри- Ряс. 257. чески неизменяемой. Положим, что рама нагружена силамн, приложенными только в узлах (сила Р н реакции опор).
При помощи метола сил раскроем статическую неопределимость рамы, вреаая в ев 180 Решение 3АдАч и ОтВеты нА ВОпРОсы 166 узлах шарниры и вводя в качестве упругих связей узловые моменты ХР Хм Хз, ... (рис. 258). Таким образом, для данной системы получаем 12 уравнении обычного типа: ьпх,+ь,х,+ ... +ь„— О, 1 561 Х1 + Ьззхз '1- ° ° ° + Ьтр = О, (1) Ь,,Х,+Ь, Х (- ... ~-Ь, =О, где коэффициенты Ь„, Ьж, ... определяются перемножением эпюр изгибающих моментов от единичных моментов, заменяющих моменты ХР Хз, ... Коэффициенты Ь,р, Ьтр, ...
Получаются перемножением этих же впюр на эпюру изгибавших 4 4)р.Хп Рис. 258. моментов от силы Р. Но сила Р и вообще все силы, приложенные в узлах фермы, при шарнирном закреплении стержней не дают изгибавших моментов. Следовательно, Ь, =Ь =...=О; (2) так как уравнения (1) являются независимыми, определитель системы не равен нулю (см. след. вопрос); в таком случае при соблюдении условия (2), очевидно, Х=Х=...=О. Следовательно. при поставленных условиях система с жесткими узлами эквивалентна системе с шариириыми соединениями стержней. Строго говоря, в системе рис. 257 все же возникают изгибающие моменты, обусловленные удлинением и укорочеиием стержней. Эти изгибающие моменты можно было бы получить из тех же уравнений (1), если только при подсчете бг! и ГБОметРические сВОйстВА сечений изГиБ !б! коэффициентОв Ьн, Ь,б, ..., Ь,р, Ьбр,...
Учитывать пеРемещения за счет растяжения н сжатия стержней. Однако, очевидно, напряжения, соответствующие этим моментам, будут много меньше напряжений, связанных с нормальными усилиями. В самом деле, при изгибе моментом М любого шарнирного бруса перемещения имеют величину порядка Мге Е,г' Р! а при растяжении ЕР ' В данном случае порядок этих величин одинаков, т. е. МР Р! Е.г' Ег' ' Но Р ор Р М = а„!!т.
поэтому имеем У низе Преет !!г! у т. е. оеж имеет величину порядка ор, —. Но — равно наибольшему расстоянию точки сечення от нейтральной оси, У проходящей через центр тяжести, следовательно, — — вели!р'! чина весьма малая (отношение части размера сечения стержня к его длине), Соответственно тот же порядок величины имеет н о„по сравнению с ар„,, 67» Определитель не может быть равен нулю. Если он обращается в нуль, то это свидетельствует о том, что система уравнений составлена неправильно. Каждое нз уравнений канонической системы представляет собой условие равенства перемещений, вызванных внешней нагрузкой, сумме перемещений, вызванных нензвестнымн вну- треннимн силами: Ь,р —— — ЬНХ, — Ь,ЗХ3 — бгЗХЗ— бар ЬагХб Ь33Х3 ЬЗЗХЗ !1 В.
И Феодосьев Ьор = ЬобХ! — ЬевХ3 — б,гзХЗ— При составленни уравнений рассматриваются только независимые перемещения. Нн одно нз перемещений не может 162 Решение 3АдАч н ОтВеты нА ВОпРОсы 1оа быть выражено через остальные, Следовательно, ни одно из уравиений не может быть комбинацией остальных уравнении. Все уравнения, таким образом, независимы, в частности линейно независимы. Определитель же системы линейно независимых уравиений, как известно, не может быть равен нулю. Если система составлена неправильно, т. е. рассмотрены зависимые перемещения (например, перемещения по осям 1, 2, 3 в плоской раме, показанной иа рис. 209), то определитель би бж б,а бт бю бю ба) баа боз 66~ Рассмотрим четверть кольца пружины (рис. 260). Сечение А Рис.
299, Рис, 200. относительно В не поворачивается. Ио смещается в осевом иаправлении. В сечении С возникает поперечная сила — и крутящий Р ф момент Х, (рис. 260). Определим зту величину, руководствуясь общим методом раскрытия статической неопределимости рам: ЬИХ, +б,р — — О. л14 'Ю4 Г 1' бн= — ~ Мы„ййр+-~ ~ М1,1446р, о о л/4 Ю4 1 б„= — '~ М„„М, байр+ — ~ М,„М, йбР. о о аа1 и.
Геометгические сяоиства сечений. изГиБ 153 где М,„,„= З1п ~р, М,„= соя ~р, Рр, Рй М „„= — — щп4р, М „= — (1 — сов~р), С вЂ” жесткость па кручение. Для квадратного сечения С = О, 1410а4. Интегрируя, получаем; и ЕУ( а 2 — — 1 — — (2~ 2 — — — 1) 4 44 + Е,г (и+1) Для квадратного сечения при 14=0,3 имеем: 'а' ег 12 1+и 2(1+и) тогда крутящий момент равен: Х, = 0,0375 —. 4 Суммарный изгибающий момент Мииг = 4 0,962 З1П ф. Ргг Суммарный крутящий момент М" 4 (1 — 0,962 соыр). Ргг Вертикальное перемещение сечения С относительно А будет: лм к,'4 ЕГ ) МиигМииг 4М + С ) МкМкк(9» 164 вяшение злдлч и ответы нл вопгосы 1йв где М„,„и ̄— суммарные изгибающий и крутящий моl " У менты, а М„„и ̄— соответствующие моменты от единичной вертикальной силы, приложенной в сечении С, т, е. М„,„= — гс з! и зр, М, = й (1 — сов р).
Таким образом находим Лс — — 0,962 ~ з1пз(рз(зр + с= 4ЕУ з пи + — ~ (1 — 0,962 соз ~р)(! — соз зр) з(зр = РЕз Г 4С о = — 0,9621 —,— 1)+ — [и — 2 р' 2— РЕ' и РЕ' 16ЕУ ' 1 2 ) 16 С вЂ” 0,962 ° 2 ~/2+0,962 ( — + 1)1; или окончательно Лс = — 0*0405 Чтобы получить полную осадку пружины, надо величину Л. умножить на удвоенное число рабочих колец 2п: РЕз РЕз Л= 2п — 0,0405, или Л=0,972 — ап. ЕУ Еа' Сравнивая эту величину с осадкой витой пружины квадратного сечения при том же числе рабочих витков и, т.
е. РКз2лп РЕзп 6 ° 0,141а' Еа' приходим к выводу, что прорезная пружина прниерно в 120 раз жестче витой. Вм) Рассмотрим некоторую плоскую замкнутую раму с постоянной жесткостью Еу и положим, что эпюра изгибающих моментов для нее построена (рис. 261). Разрежем контур этой рамы в некоторой произвольной точке и определим взаимный угол поворота сечений в месте разреза. Из условия неразрывности этот угол равен нулю. Для определения взаимного угла поворота берем интеграл ММ~ аз Е3 701 11 ГеОметРические своистВА сечении, изГиз 166 где М,— изгибающий момент от единичных моментов, при ложенных в месте разреза (рис. 261), т.
е. л11= 1. Поэтому при Еу=сопз1 получаем ~ М Та=6. Доказанное положение справедливо не только для замкнутых рам, но и вообще для всех рамных систем, где условия Рис. 261. закрепления не допускают поворота одного концевого сече ния относительно другого. Например, в каждой из систем, изображенных на рнс. 262, при любой нагрузке площадь эпюры моментов равна нулю, если Ей= сопз1. Рис. 262.
аО~ Разрезаем раму по шарниру и определяем взаимное перемещение сечений в месте разреза. Для этого к разрезанной раме в шарнире прикладываем две противоположно на правленные единичные силы (рис. 263), Выбор линии действии сил может быть сделан произвольно. 166 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ Искомое перемещение Ь будет равно: Но М, = х и так как Ь= О, то ~ Мх11З=О. Рис.
263. 71. Заметим предварительно, что площадь б1 . ометаемая любой балкой прн ее изгибе, определяется следу1Ощнм интегралом: Е,г где М вЂ” изгибающий момент от внешних сил, М, — изгибающий момент от распределенной нагрузки ннтен- лг1 сивности «единица» ~Ф= 1 — ~. ггг1' Рнс. 264.
Это выражение наиболее про- сто выводится тем же способом, что и обычные выражения для линейных н угловых перемещений. Для того чтобы определить изменение площади. ограниченной замкнутой рамой, надо предварительно найти выражение Мцм приложив к раме единичную распределенную нагрузку о = 1 (рис. 264). Но для кольцевой замкнутой рамы М, = О, следовательно, ЬР=О. Тем самым доказано сделанное предположение. тт~ 11. ГеОметРические сВОйстВА сечении. изГиБ 157 Совершенно ясно, что оно справедливо, с одной стороны, только в той мере, в какой допустимо пренебречь растяжением контура кольца, а с другой, — при условии, что система работает в области малых перемещений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
