Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов 1967 (947481), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В частности, если напря- г ження в балке не превы- д д шают предела пропорцио- ~~у ЕЯ нальности, то при Р)3,2 —, балка имеет. сверх основной Р начальной формы, еще две (2 и 3) (рис. 413). Форма 2 Рис. 413. устойчива, а 3 — неустой- Е3 чива.
При Р) 7,1 —, возможно существование неустойчивых форм равновесия 4 и 5 (рис. 413) и т. д. При постепенном нарастании силы Р форма 1, естественно, не может перейти в форму 2 или какую-либо другую. Однако если брус предварительно аакинуть влево, а затем нагрузить силой. большей 3,2)т-, то брус примет ЕУ форму равновесия 2. Ряс. 4!4. 17$. Возьмем две произвольным образом ориентированные системы координат. Одну — ХУЯ с началом в точке А н вторую — лув с началом в точке В (рис. 414). 369 Решение задач и отвпты иа воптосы 1чга Составляющие силы Р по осям ХГЕ обозначнм через Р, Р„, Р,.
причем Р„= Ру, Рг — Рлс, Р, = Рл, где 1, лг, л — направляющие косинусы снлы Р в системе координат Хг'Е. Перемещения точки З по осям хух обозначим через х, у, с. Этн перемещення будут связаны с компонентамн силы линейными соотношеннямн; Р = Р1= с„„х + с„„у+ с„сс, где С»„, с„„, ... — некоторые постоянные коэффнцненты, нмеющне характер жесткости.
Напрнмер, с — это сила. которую следует приложить в точке А в направленнн х, чтобы в точке В в направлении у получить перемещение, равное единице. Возводя в квадрат обе стороны каждого нз равенств (1) н складывая нх, получнм: Рт=(с~„+ст -1-ст )ха+(ст +с'„+ст„)ут+ +2(сссс„, +стас„,+с,„.с„) хс+ + 2 (с,ге „+ схтс„, + ссгсю) ух. Таким образом, мы видим, что вектор переме1цення в точке В будет описывать поверхность второго порядка с центром в той же точке. Это может быть однополостный нлн двуполостный гнперболонд нлн эллнпсонд.
По физической сущностн задача поверхность не должна иметь бесконечно удаленных точек; следовательно, это будет зллнпсонд нлн те поверхности, н которые эллипсоид может вырождаться. Понятно, что сказанное не служит еще полным доказательством, а является лишь простой догадкой. Строгое доказательство. которого мы здесь не приводим нз-за громоздкости выкладок, заключаетсв з следующем. Поворотом систем коордннат ХгЛ н хух преобразовываются уравнения (1) так, чтобы обратнлнсь з нуль вель кеэффкцнентов с„, с „, с„„ ъг, уАЗнгее нонгОсы и '3АдАчи Ж3 иа! с, с, и с, . Зля этого надлежащим образом подбираются три угла поворота одной и три угла поворота второй системы координат.
Тогда Рг= с„х, Рлг=сггУ. Рп=с 2, откупа, исключая 1, лг, в. получим уравнение эллипсоидеа хг т 21 р г+ р г+ р г ( — ',)' ( — '„)' ( —:)' 17Е. Прн повороте сечения кольца в осевой плоскости на угол 1р в точке А с координатами р, а (рис. 415) ! ! Рис. 415. возникает окружное удлинение е = —. Но по данным фигуры Ь !ь=р(з1п(а+1р) — з!пп!. а=й+рз!п<р. Так как р много меньше !с, то а=)с.
Поэтому имеем е= — (з!п(а+!е) — л!па!, !г и = Š— (э!п (н -4-гр) — е! и и]. Напряжемия а дают в сечении кольца нзгмбаюпм1Н момент относительно горизонтального диаметра, равиыи где 1ГР и у соответственно равнин «Г=рйнар, у=рсоа(а+ 1р). 352 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ (нт Тогда получаем г тл М= — з! ~ рз[ейп(а+хр) — з)па)соз(а+1р)ахрагн (2) Е Г или Ег' М = — п з!и я1.
4!7 ' С другой стороны, из условий равновесия половины кольца (рис. 307) вытекает, что М=шгс, Следовательно, 4 хайх 3!и 1Р= Е Елг' ' и Я При 0 (<р ( — момент т возрастает, достигая при 1р=— 2 2 максимального значения Еиг' гл ахх 4пх Для дальнейшего увеличения угла хр требуется меньший момент. При 1р=п, т. е. когда кольцо чвывернуто наизнанку», я2=0. Кольцо при этом находится в состоянии неустойчивого равновесия и при малейшем отклонении возвращается в начальное положение. При 1р) и иомент лх ( О. Это означает, что для удержания кольца в заданном положении в этом случае необходимо приложить момент' обратного знака. Полученное выше значение т,х можно рассматривать как критическое значение момента, при котором происходит, как говорят, «опрокидывание» кольца. 1а12, Выражение (!), полученное для напряжений О в предыдущей задаче, О=Е ~ (з(п(а+1р) — з(па! Е изменится введением дополнительного слагаемого Еу р ми а — =Е— Е отражак1шего предварительное напряжение изгиба.
Теперь имеем: О = — а)п(а -!- 1р). Ер )2 Ч. РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ па1 Взамен выражения (2) получим М = — ~ ~ р'з1п(а+ф) соз(а+ ф) сгр вгф=О. Е =л~ Это означает, что кольцо, имеющее указанные предварительные напряжения, будет вывертываться в осевой плоскости без приложенвя внешних сил. Такое кольцо является как бы упругим механизмом. Читатель может без особого труда проверить сказанное на опыте, Имеются предложения использовать описанный эффект лля замера величины так называемого внутреннего трения, возникающего в материале при леформациях. 173 Поставленная задача может быть решена в рамках статического полхола.
Нз рассматривая Динамического эффекта, связанного с не равномерным вращением троса, определим закон изменения Рис. 4!6. уравновешивающего момента на выходе при неизменном моменте на вхоле. Обозначим через 1/р кривизну троса и. пренебрегая силами трения, составим уравнение равновесия лтя элемента троса длиной ~й (рис. 416). Реакции, действующие на элемент со стороны оплетки, нормальны к поверхности й54 Решение задач 1! ОтВеты нл ВОПРОсы ПФ троса и момента относительно осн х не дают. Поэтому, приравнивая нулю сумму моментов относительно оси х, получим: Следовательно, при отсутствии сил трения момент Л4„ меняется вдоль оси постольку, поскольку существует момент д4г, т.
е. изгибающий момент в плоскости, перпендикулярной плоскости кривизны троса. Рассмотрим в сечении троса точку А с полярными координатами г и ф (рис. 4!У). Нормаль-' мое напряжение в этой точке можно представить в виде двух слагае,т мых. Первое представляет собой то напряжение, которое возникает в тросе при искривлении его по форме оплетки. т. е, о =Егз!Вф! — — — ), / /1 11 Р Ро) Рнс. 4!7.
где !/Ра — та кривизна троса, которую он имел до помещения в оплетку. Второе слагаемое представляет собой то напряжение, которое возникает в точке А после поворота троса в оплетке на угол ф. Сначала находим смещение точки А вдоль оси у (рис 4!7): г 5!п(ф+ф) — г 5!пф. Относительное удлинение по оси к будет: — [5!П(ф+ ф) — 5!П ф), Р а напряжение П" = Š— (51П (ф + ф) — 5! П ф). Р Суммарное напражемие и = О +о"='Ег~ — 5!П(ф+ф) — — 5!пф1. 1 Р Р ч.
влзньш вопвоеы и задачи 'Хеперь найдем нзгибаюшнй момент М;,; М =Г"'" Р нлп л яч М = ~ ~ Ег ~ — з)п(ф+ ф) — — з1пф~г соя(ф+ф)гЫфФг, г1 ( г= Р ре о о откуда М = — з1пф. еу Уравнение (1) примет внд лм„ и — "= — з1пф. Рре Интегрируем зто выражение по з, полагая, что все сечения повернулись ня один н тот же угол йп Мх=Е)з(пф ~ — +С.
ла Ррв о Если на одном конце троса (прн з= О) приложен момент М,, то уравновешивающий момент Мз прп з =1 будет следующим: 1 Мз= М~+Еуз1пф ~ —. 1 лз 3 рр. ' о Такнм образом, мы вялим, что уравновешивающая момент на конце троса получает дополнительное слагаемое, меняющееся пропорционально синусу угла поворота троса. Если же моменты М~ н Мз сделать равпымн, то прн повороте троса условия равновесия не будут соблюдаться и вращение на выходе не будет равномерным. Момент Мз не будет завксеть от угла ф, если ~ — "' =о.
е Достаточным условием нормальной работы троса спидометра является условие 1(рз=0, т. е. достаточна, чтобы трос до постановки в оплетку был бы ярямым. 856 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ ПТР 179. Частота колебаний струны в основном тоне определяется, как известно, формулой /т 2 У им где Т вЂ” сила натяжения струны, лт — ее масса, а 1 — длина. Рис. 418. В первом случае Закрепления по мере увеличения силы натяжения иаменяется масса колеблющейся струны при неизменной длине 1е, причем эта масса будет, очевидно, равна го *"е 1,+ АТ ' где же — масса ненатянутой струны. имеющей длину 7а. Таким обрааом, получаем: У.
РАЗНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 3Я гю! Во втором случае находим: 2 У то(го+А!) у 2та у' ше1е = 1-1-— д! В обоих случаях — задается как функция силы натяже- Го ния (рис. 163), поэтому зависимость и, и та от Т легко определяется. На рис. 418 показана искомая зависимость. Таким образом, мы видим, что прн первом способе натягивания частота колебаний нити с натяжением возрастает. Во втором случае при возрастаюшем усилии частота может уменьшиться. На опыте это явление хорошо наблюдается. Нужно только учесть, что не всякая резина обладает диаграммой растяжения того типа, что рассмотренная. ЩВ Положим, что вывернутый наизнанку цилиндр имеет прежнюю форму, т.
е. форму цилиндра радиуса )с. и определим напряжения, которые возникнут в нем прн этом условии. Рнс. 4!9. Относительное удлинение в окружном направлении для слоев, расположенных на расстоянии я от серединной поверхности (рис. 309), будет определяться изменением кривизны 1 1 цилиндра с — на — —. Если длина этого волокна до лефор- Л !1' мации (рис, 419) была (Й -(- «) !!гр, 358 Ргшение аядлч и Ответы нА ВОНРОсы 1ма то для вывернутого цилинлра она будет (Й вЂ” г) йр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
