13.3 Задача Эйлера (947470)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

13.3. Задача Эйлера Теперь мы можем перейти непосредственно к некоторым задачам об устойчивости упругих систем. Начнем с простей. шей задачи о равновесии прямолинейного стержня, сжатогс силой Р, линия действия которой совпадает с осевой линией стержня (рис. 13.9, и). Впервые эта задача была поставлена я решена великим математиком Л. Эйлером в серешсне ХЧП! века. Поэтому часто, когда говорят об устойчивости сжатого стержня, употребляют выражения: "задача Эйлера" нлк ".устойчивость стержня по Эйлеру". Рис.

13.9 Положим, что по какои-то причине сжатый стержень не- :колько изогнулся. Рассмотрим условия, при которых возможю равновесие стержня с изогнутой осъю. На рис. 13.9, б пока>ана часть стержня и действующие на нее савы. Отсеченная састь стержня нахоцится в равновесии, поэтому сумма моменсов относительно точки О равна нулю: М+Ру=о, (13.4) сли Е.уу" + Ру = О. (13.5) изгиб стержня при потери устойчивости происходит в плосюсти минимальной жесткости, и поэтому под,! здесь сяедует сонкмать минимальный момент кнерпин сечения. Обозначим — =й, Р Е,! (13,6) > о>щюпелснм м>прюлое ~огни уравнение (13.5) примет вкп уи+ йзу = О, (13,7) ткуда и = С1 зшйя+ Сз соя йя.

(13.8) Постоянные С1 и С2 находим кэ граничных условий (я = О > з = !). В рассматриваемом случае имеем при я = О у = О; срнз=! 9=0. 1 результате получаем систему однородных алгебракческих равнений С1 О+С,.1=О; С1 з1пй!+ Сз совЫ. сак известно из линейной алгебры, чтобы система однородных <инейньсх уравнений имела нетривиальное решение, необходн- со, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е. Ю=аес . И И =О. 'асхрывзя определитель, находим ьйпЫ= О. (13.9) В данном простом примере уравнение (13.9) можно полу- сить и без выписывания определителя.

Из условия при з .= О ! = О следует, что С2 = О; а из условия при я = ! у = О посучаем Сс з1пИ = О. Произвольная постоянная С1 Р О. При .> = С2 = О получаем тривиальное у ы О, которое нас не снтересует, так как при новой форме равновесия стержня его >севзл линия не прямолинейна. Поэтому в1п И = О. Но в более :ложных задачах, требующих использования вычислительной сехнккн, для определения критических сил определитель необюдим. Из уравнения (13.9) следует, что Ы = >сп, где и — произюльное целое число. Учитывал выражение (13.6), получаем Р = тзпзЕХу!2.

Это Ьзначеет, что для того чтобы стержень :охранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила Р >14 принимала определенное значение. Наимекьшая сила Р, о. личная от нуля, будет прн и = 1: тзЕ.! Ряр !2 (13.1! Эта сила носит название эй>серовой или ирин>пиеской силы. При и = 1 имеем И = >г> и уравнение упругой линни (13.! принимает вид я'я 9= Ссзш Стержень изгибается по полукопне синусоиды с максз мзльным прогкбом С1. Прк любом целочисленном значении и япх у=С1з(п —, и упругая линия стержня изображается кривой в виде и полу волн (рис.

13.10). Рис. 13.10 Лннеаризованное уравнение (13.5), как н уравнение (13.2) является приближенным и верко лишь при сколь угодно малю прогибах. С его помощью мы опрадиднли Ряр и форму изогну той осн стержня при потере устойчивости, Но при этом кон станта Сс в выражении для упругой линии осталась неопре. деленной. Перемещения найдены, как говорят, с точностью дс постоянного множителя. ,Пля описания закритического поведения стержня прз больших прогибах следует использовать полное наяинейнос уравнение равновесия. Поскольку при больших прогибах М = = Е.у/р, где р — радиус кривизны изогнутой оси стержня, тс яз уравнения (13.4) находим ж2/' (1+ г2)зу2 7 313 При силе Р, большей критической, перемещения столь весики, что пренебрегать величинок 9> в знаменателе нельзя.

2 Наконец, из рассмотренного примера видно, что у сясатого ;тержня существуют высшие формы равновесия (и = 2, 3,...), юторым соответствуют и большие значения скл. Эти формы > чистом виде не реализуются. Они неустойчивы. Но если :тержень снабдить промеясуточиымн равноотстоюцими одна >т другой опорами, то соответств~сно числу пролетов и можно >пределить и критическую силу. .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги