7.6 Деформ.сост (947437)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

7.6. Лефорынраванное состоннне Изменение формы тела связано с перемещениями его точек. Расстоянке между положением некоторой точки А до и после изменении формы тела (рис. 7.26) называется ее нолным неремещением. Составляющие вектора полного перемещения цо осям х, у и х обозначаются соответственно через и, с и и>.

Рассмотрим элемент арньгй отрезах АВ, направление которого совпадает с направлением оси х (рис. 7.27, а). Расстояние между тачхами А и В обозначим через ах. Составляющие вектора перемещения в точке В отличаются от составляющих в точке А па величины, соответствующие изменению координаты х. Так, если точка А переминается вдоль оси х на ю, то точка В перемещается дю на ю+ — ~Ь и т.д.

дх Рнс. 2.3Е Рнс. 7.37 Приращение длины отрезка АВ составляет — Ых. Следоди дх вательно, относительное удлинение в точке А по оси х будет ди ди дю ;-» = —. Анэлогнчно еу — — —,' е» = —. дх у Угол поворота отрезка АВ в плоскости хОЕ равен отнонению разности перемещений точек В и А вдоль оси х х длине дю >трезка бх, т.е. 71 = —.

Угол поворота отрезка АС в плосдх ди юсти хОх (рис. 7.27, б) равен 72 = —, Сумма углов 7 и 7 дх 1 2 1редставляет собой юменение прямого угла ВАС, т.е. угол дю ди :дзига в плосхости хбх 7»» = — + —. Аналогично могут дх дх 5ыть написаны выраиитмя для углов сдвига в двух других координатных плоскостях. В итоге имеем сиедузащую связь меицгу перемещениями и кефармадиями в точхе: ди де дди> е»»» > еу= > дх' др дх де ди> дю ди ди д» 7у»= + — > 7»я= + > 7»у= — + —. дх ду' дх дх др дх Совокупность деформапий, возникающих по различным эсям и в различных шюскостях, пракааяцпнх через данную точку, носит название аефармироеаннаго состояния е точке, а 1» Еу Е» 7у»> 7»х Н 7*3 ИаэниаЮтСЯ тзииаигкииьии агфаРМи уоеанного сос»ваяния. Возникает естественный вопрос, достаточно лк этих шакти компонент> чтобы определить деформированное состояние, г.е.

можно лк по этим шести компонентам найти удлинение аа любсй осм и углы сдвига в любых плоскостях, проходивши через даниузэ тачку7 На этот вопрос можно отвеппь утвердительно. Рассмогрим некоторую ось н, проходя1дую через заданную точку ,'рис. 7.28, а). Нвправлякнпке косинусы прямой и будут 1, т, а. Выделим на этой прямой малый отрезок ОА = Ы к построим ка нем„как на диагонали, параллелепипед со староками Ах, бу, 4х (ркс.

7.28, б). Кслм параллелепипед получает удлкнеиме ех, точка А смезыется вжэль оси х нв ех ах, а диагональ ОА получает абсоКЮтиав УДЛИМЕНМЕ 1ИЬ с» Ех!ЙГ. ОтмаентЕЛЬНОЕ УДЛМПЕНИЕ циагаиаяи получим, разделив зто произведение иа Ы = Й~/1. 337 В итоге обнаруживаем, что удлинение е» вносит в удлинение е„слагаемое е»! . Аналогичные сявгаемые дают удлинения 2 еу и е». Теперь положим, что нижняя грань параллелепи- педа Ых бу остается на месте, а верхняя вследствие сдвига в плоскости хОх получает вдоль оси х перемещение 7»»ах. Это удлиняет диагональ АА на 7»» бх 1; делим это произведение на бХ = бх/н и видим, что сдвиг 7»» приводит к увеличению еэ иа 7,»н1. Остальные слагаемые можно написать па аналогии. Суммируя их, получаем е„= е»! + еут + е,и + 73»тн + 7»»н1 + 7»31т. (7,17) 2 2 2 Несколько сложнее определить угол сдвига в плоскости, определяемой двумя юаимно перпендикулярными прямыми и и 1» (см.

рис. 7.28, б). Лля этого надо найти перемеп1енке точ- ки А по направлению,н н разлепить его на АХ. Это лает угол поворота отрезка бХ в плоскости нр. Затем все то же самое проделываем для отрезка, расположенного по оси 1», Сумма найденных углов дает искомый угол сдвига в плоскости нОН. Но этих выкладок мы уже делать не будем. Главное ясно. де- формированное состояние в точке определяется шестью компо- иеп тамп. Теперь вернемся к выражению (7.17) и сравним его с най- денным ранее для напряженке а» выражением (7.4). Эти со- отношения имеют общую структуру, и все, 'что было получено ранее из выражения (7.4), можно получить и нз (7.17).

Йоста- гочно только во всех формулах замекить ах, ау, а» на е», еу, г», а 2ту»> 2т»»> 2г»у — на 73», 7»х, 7»у, Таким образом, анализ деформированного состояния поха- кывает, что оно обладает свойствами, совершенно аналогич- кыми свойствам нэлряжеиного состояния. Среди множества эсей, которые могут быть проведены через исследуемую точ- ку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформапим отсутствуют. Эти осп называ- ются главными осями дсформироеанного состояния, а линей- кые деформапии в эпй системе — глаены,ни дгформациями. Главные деформапии определпотся ю кубического урав- цепия е —,71е +Лзе —.72 = О> 3 2 $3а :озффипиентвмк которого являются инеариаиты деформиро>анного состоянмя: 71 = е» + еу+ е»> 1 72 = еуе»+ е*е»+е*еу 4 7у» 47»» 4 7»у> 1 7»х 2 1 7»у 2 1 7у» 2 (7.18) 1 7*у 2 1 7*» 2 1 7у» 2 Из сопоставления этих выражений с соотношениями (7.8) 1( 7.9) видно, что аналогом нормального напряжения здесь 1вляется лииейнел деформапия, а аналогом касательного пагряжения — 'половина угла сдвига в соответствующей плоско:ти.

Продолжал эту аналогию, можно, подобно кругам Мора в кзлряжениях, построить хругк Мора в деформапиях. Анализ деформированного состояния основан па чисто геометрических соотношениях, и поэтому все сказанное оста>тся справедливым для любого однородного тела, независимо этм еханических свойств материала. Наряду с линейной и угловой деформациями в содротивлеции материалов приходится рассматривать шюгда обьемную деформацию, т.е. относительное юменепке объема в точке. Линейные размеры элементарного параллелепипеда бх, бу и >Ьв результате деформации меняются и становятся равными >1х(1 + е»), бу(1+ еу) и Ых(1+ е,). Абсолютное приращение объема определяется, очевидно, разностью ЬР = бх бу бх (1 + е ) (1 + еу) (1 + е ) — бх Ыу ~Ь.

Раскрывал схабхи и пренебрегая произведениями линейных деформапий как величинамм, малыми по сравнению с их первыми степенями, получаем гзУ = гхауа (е» + еу+ е»). 339 Относительное изменение объема обозначается буююй е и равно сумме линейных деформаций по трем осям: ,йУ с = — = Е~+ Еу+Е». (7.18) С поворотом осей относительное изменение объема е в точке, очевидно, пе меняется.

Это — один ю мнвариантов деформированного состояния (см формулу 17.1811. .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги