7.3 (947431)
Текст из файла
7.3. Главные оси и главные напряжения Выразим через Х, У к И нормальное напряжение а„в наклонной площадке. Очевидно, >т„= Х1+ Уш+ Хи, ияи, согласно выражениям (Т.З), — + аутп + азп + 2тузши+ 2тзхв1+ 2тху1т. (7.4) г г 2 Рассмотрим множество секущих клоп~адах, проходящих через исследуемую точху.
По нормали к каждой длощашсе отложим отрезок т = Да„) (рнс. 7.7). Координаты конца этого вектора будут следующими: к= т1, у =тт, х= те. Рис. 7Л Исключая из выражения а,„направляющие косинусы 1, тп и и, получим геометрическое место точек концов вектора: а„т = ахя + ауу + азх + 2ту,ух+ 2гзххя+ 2тхуку. г г г Теперь решим, в какой зависимости от а„откладывать абсолютную величину отрезка т. Обычно такой вопрос решают из условий наглядности геометрического образа.
В данном ЯП7 же случае, не стремясь к наглядности, а исключительно в лелях простоты подученного выражения примем формально, что ,2 1 ъ!' где к — произвольная постоянная, отражающая масштаб построения. Тогда х = ахх + ауу + сгзх + 2тузух+ 2тзххх + 2тхуху. 2 г 2 Полученное соотношение мапо что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат это уравнение может быть преобразовано таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат, или, иначе говоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений, В данном случае зто означает, что е каждой точке напряженного шала существует такая сисгпема Ояух, в которой касагпельные напряжения т„,, тзх и тху равны нулю.
Такие оси называются елаеными 'осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, анормальные напряжения на них — плавными напряжениями В порядке возрастания эти напряжения обозначают через аз, аг и а>. Если в окрестности исследуемой точхи элементарный объем выделен главными площадками, то система сил, возникающих на гранях элемента, упрощается (рис.
7.8). Существенно упрощаются также выражения (7.3), они принимают вид Х =а11; У =агт; л =сгзп. Так как 12 + тп + п = 1, то Х2 У2 Иг — + — + — = 1. 02 с,2 аг 1 2 3 Этому соотношению можно дать не только простое, но на этот рэз и наглядное толкование. Величины Х, У, Я можно рассматривать ках координаты конца вектора полного напряжения р, возникающего на произвольно ориентированной 308 Рис.
7.9 Рис. 7.$ плошапке. Геометпричггское место концов еектпора полного напряжения образует злак«саид, полуосями ка>пораео являются главные напряжения аг, аг и аз (рис. 7.9). Полученный ылипсоид носит название 3 сан«саида напряжений. Из этого геометрического образа вытекает следствие, что наибольшее из трех главных напряжений является одновременно наибольшим нз возможных полных нелряжений на множестве площадок> проходящих через исследуемую точку.
Наименьшее же нз главных напряжений будет наименьшим среди множества возможных полных напряжений, В случае равенства двух главных иапужкеиий эллипсоид принимает форму теда врапгения. Тоуда. ииисдяя плоскость, проходящая через ось вращения, станови>гси главной, В случае, когда равны не два, а все три главных напряжения, элпипсоид принимает форму сферы и в исследуемой точке все плоскости являются главными. Перейдем теперь к определению главных нэлряжений по заданным шести компонентам напряженного состояния в произвольной системе Охух.
Возвратцвясь к ркс. 7.5 и соотношениям (7.3), положим, что наклонная площадка является главной. Тогда полное напряжение на этой площадке (оно же главное) будет направлено по нормали гг. Обозначим его через Я: Х=Я1> У=Ят, И=Яи. Соотношения (7.3) примут теперь вид Я1 ах1+ тухт + тзхв Ятп = тху1 + аутп + тзуп; Яп = 1хз1 + туз»в+ сгзи> зпе (а — Я) 1+ ту тв + т и = 0; тху1 + (ау — Я) ш + тзуп = О; 1+ т + (а — Я) п = О. Их кожно рассматривать кял систему уравнений относительно неизвестных 1, тв н п, опрепаиякицкх ориентацию главной пяопгадки в исходной системе Окуз. Подученная система является однородной.
Вместе с тем она жгкжла давать для 1, ш и и ненулевое решение, так как нацравяяюпгке косинусы не могут быть все одновременно равны нулю, поскольку: 12+ту+„'=1. (7.6) Б дя того чтобы система однородных уравнений (7.5) имела решение, отличное от куяевого, необтсоднмо, чтобы определитель этой системы быя ранен нулю: . а,— Я ту тх тку ау — Я гзу — — О. (Т.7) тхз туз аз — Я Постигается это надлежащим выбором величины Я. Если условие (7.7) выполнено, одно из трех уравкений (7.5) представляет собой линейную комбинацию двух других, которые совместно с условием (7.6) образуют новую скстему, достаточную дяя нахождения 1> ш и и, определягпгцих положение главных площадок.
Эту часть задачи мы оставим, однако, без рассмотрения и перейдим х определению главных напряжений Я из уравнения (Т.Т). Раскрыв определитель к расположив его члены цо степеням Я, получим сяепующее кубическое уравнение: Я вЂ” Я дъ + Я Тг 73 = 6. (7.8) в котором .Тт = а .т. сгу + сгх' 2 2 2. + азсгх + ахая туз тзх тху> .Тг = ауа. (7.9) ах 13 = т'ху гхз сгу туз ые Можно показать, что все три корня уравнения (7,8) явхя. ются вещественными. Они дают трн значения главных напряжений сг|, аг и аз.
Понятно, что главные нелряжения, т.е. корни уравнения (7.8), определяются характером напряженного состояния и не зависят от того, хакая система осей была принята в качестве исходной. Следовательно, при повороте системы осей Окуз коэффициенты,11, .Тг и .13 уравнения (7.8) должны оставаться неизменными. Они называтотся инеариан«и>ми наиряженноеа сосгполния. В некоторых случаях инварианты могут принимать нулевые значения Например, если дз = б, то один из корней уравнения (7.8) также релен нулю. В этом случае говорят, что напряженное состояние является двухосным, нли плоским. В частности, уже знакомое нам напряженное состояние 'чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого а1 = — аз и аг = 6.
Если одновременно равны нулю второй н третий,инварианты, т.е..12 = 13 = О, то уравнение (7.8) имеет два нулевых корня и тольхо одно из главных нхлряжений отлично от нуля. Напряженное состояние в этом случае называется одноосным. С ним мы уксе встречаянсь при изучении вопросов растяжения, сжатия и чистого изгиба. Рассмотрим некоторые примеры определения,главных на-; пряжений. П р х и е р 7.2. Определить главные ххпухпехиз в саучхе, если хсе комп»хзхты хапрхпехиот» сестозххх рахим иезсду собой (рхп 7.10, а). Рнс.
7.10 311 Сегхзсхо хпуахгхиххи (7.3) х (7.9), имзхн: Г> = зв; >з ='тз = 0> а> = Зх, хз = хз х> О. Сххххххтзлъио, запахи»х ихирхпхих»е о>стг>х вхе хр>хгстхххзхт собой одхоосхах растяп»хне. Получая хому результату нов хо дхзь простое объяснение, если учесть, что зззнехт нг>клт быть внпззхи из растянутого стерпит зпобын г>бравом.
Очсвхпхе> если трх секущие площадки рзхх»хаххг>хехм х сии рвстзхутого стерпи», в грххзх ззхихвтх хзх раз и хохяхкают разных схстзхххххихх иапрхпхииг>г» сост>>зххх (рхс. 7.1Ц. Песхпзьху хрх хзнхизихи орхххтвиих сея»щах хлапсхяхх иаира>хевхох состояние хе нехзетсх> похучххиох рхппиих нопзт быть ирепстзххех» х виях схнх»хичзсхг>г» рххехстха (си, рис. 7.10). Рис. 7дг П р х и е р 7.3.
Окреп»лить гхвххые иаирзпекхз в схучзх иапрз. жехнто ссктозыхз (рве. 7.12, х) (:) Рпс. 7.32 СОГЗЗСХГ> Внраилкихн (7.9)„ХОЗГЧХЕХ У»х О, УЗ = -Зт~> УЗ >х гт>. Т»гдз У> — зт Б — 2тз = Е. Подбором апре>пален ги>хх хз хариех. Эт» будет у = -т. Разпзххв левую часть ураххеххз их Э + т, сводим Грвхиеххе х квадратному х»прхдзхзхн остхзьхих яха хоухз. В итоге пехучаен а> = 2>', хз ю аз — т.
Схедавхтхзьхг>, хвпрзпхихох састозиие зххзхгсх тг>зхосхин (ркс. 7.12, 6). Итак, исследуя напряженное состояние, мы обнаружили существование трех взакмно перпендикулярных площадок, 312 обладающих тем замечатеяьиым свойством, что касательные напрюкения в них равны нулю, к нвзвалн эти плсхпадки главными. Но существуют и другие площадки, также обладающие важными и интереснымн особенностями, знакомство с которыми понадобится нам в дальнейшем.
Рис. 7,13 Положим, что оси я, у и х — главные и ах = а1, ау — аг, тз = гтг (рис. 7.13). Тогда выражения (7.3) примут вид Х = а111 У = агЖ л = ази Найдем касательное напряжение тх в этой площадке: (7.10) где р — полное, а сг„— нормальное напряжения в той же пло:цацке, Очевидно, что р = Х + уг + В~ = а21 + >ггшг + агиг; 1 2 3 ах = Х1 + Ут + Ив = а 11 + агт + азв . Подставляя рг и а„в выражение (7.10) и учитывая, что 12 + 1-т + пг = 1, получим т;, = (а1 — аг) 1 т + +(аг — аз) 1 в + (аг — аз) ш вг (ТЛ1) Как видим, тг — ведичика существенно положительная н са главных ддощадках, как и положено, обращается в нуль.
333 Пействитеяьно, если нормаль ы совпадает с одной из главных осей, то один из направляющих хосинусов принимает значекне, равное единице, а два других равны нулю, и тогда тг = О. Лля дальнейшего нам потребуются выражения дяя напряжений в так называемых октаэдркческих площадках, т.е. в площадках разнонаклоненных к главным. Лая таких площадок 12 = >и = иг = 1/З,и тогда мы получим 1 тах = — (а1 — аг)'+ (а| — аз)'+ (аг — аэ)' 3 1 ао т --, . (а1 + аг + аз) (7.13) Таким абр~, норм~кое октаздрнчжкое напряжение равно средину ариф~вескому т~ гя~ напряжений. Особый ин~~ предст~~ ~о~~, в к~рык возникают н~ьшие куцые напряжен~.
Положение этих пяток можно ~~~и~, о~~~ы экстремум выражения (7.11) при услов~, что 12 + тг+ иг — 1. Но этих выкладок мы деяать не бу~, ~ о ~уэьтате ма~но догадаться сразу. Заметим, что а1 — аз — (а1 — аг) + (аг — аз) н, поскольку хвадрат с~ не м~~ суммы квадратов, (а1 — аг) > (а1 — аг) + (аг — аЗ) .
Значит, при ~с~ 12 = шг = иг в~~ ~чаемое в выражении (?.11) будет не меньше с~ы двух остьи~. Еслк мы хотим, ч~ы ~ичина тг ~тягла н~~ьшего значения, ~, по~~~ 12, шг к иг, ~ ~жны> очевидн, максимаяъно у~и~~ п~~~~ние 12вг за ~~ шг. Но это будет достигнуто при шг = 9, и тогда п~~не ~ичин 12 и пг при у~овин, что кх с~а равна е~е, бу~ к~больш~, если 12 = иг = 1/2. Т~им обем> 1 ~ты~~ — — (аà — аз). 2 Так как т — О, а 1 — в = ~212, то максимакьное каса~ьное напряжете возник~ в пи~~~, р~онаклоненных к главным пи~~, на вторых деиствуют максимакьн~ и минымаяьное из гл~~ н~~~. (7.14) .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
