Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Поскольку множества [и Е К с а > !) и [о Е И с и < 1) не пересекаются, то интегралы 1г и 1э не могут одновременно абсолютно сходиться ни при каких общих значениях о Е И. Поэтому интеграл 1 абсолютно расходится. М + 103. 1= [) э!сов[о")с1х. о м Пола! ая в интеграле е" = г, получаем К 1пгг 1 = ! — сов!с!!. ! из которого, согласно критерию Коши, следует расходимость интеграла 1г при а ( О, поскольку Ухо > ! 3ц Е И такое, что 2пя > хо. Следовательно, 1г сходится лишь при и > О.
Из проведенных выше рассуждений следует, что 1г сходится лишь при 2 — и > О, т. е, при сг < 2. Таким образом, интегралы 1г и 1э одновременно сходятся, если 0 < и < 2, ! э!ив Исследуем интеграл 1с с помощью признака Дирихле. Так как 0 « — — при всех х" х"е! х > 1, и + 1 > О, а Функция х с-! [ соэ!с!г, 1 < х < +со, ограничена, то 1с сходится при ! и+! > О, т, е. при и > — 1.
!'*ледовательно, 1! сходится при и < 3, а оба интеграла сходятся одновременно при — 1 < о < 8. так как ] - 1, 8[О]0, 2[=]0, 2[, то интеграл 1 сходится при 0 < а < 2. Исследуем интеграл 1г на абсолютную сходимость. Из неравенств 1 4. Несобственные интегралы 309 Применив второе правило Лопиталя, находим 1пг! . 1пт, 1 1нп — = 2 1пп — = 2 йш — = О. + ! с + ! с +т! 1пг! т 1 1 1и ! 1 11п ! 1! = / — созт !с1! = — / — с!г+ — / — соз2гс!! 2/ ! 2/ +"' т расходится, так как / '— ", ' с!! = 1ш! /1п !с!(1и!) = 1пп -1и х =+оо, а интеграл т .!.
о 1п г — соз 2! с!! ! сходится по признаку Дирнхле. И Найти следующие пределы: ! 104. 1!пс /'— ";,' л!. г +О ! ч Применив первую теорему о среднем к интегралу 1(х) = 1 '*',' с!1, получим сг 1(х) = сов 1 ( — — 1), х < р < 1. I! х Пусть !с Е] О, —,* ], где с > О -- произвольное наперед заданное. Тогда соя 1'(-' — 1) > ~~~, с следовательно, 1(х) +со при х +О. Применив второе правило Лопиталя, имеем 1пп — = 1сш, = !сш = 1. 1(х) , 1 (х) -ео х ' -+е (х ')' -+ю г / — ',' 1! 105, й 1и— .!. сг и При любом а > О интеграл / — ', с!г сходится согласно признаку Дирихле. Поэтому 'г,' =:,:= — с!! = Г,', С = сове!, и 1нп, = О. Следовательно, + / —' ,,!! Пш -ео 1п -' — и 1пп г«ег !и— сгт с Следовательно, —, ! О при ! +со. Поскольку Функции х с 1 сов!с!! = юп х — з!и 1, 1 < х < +ос, ограничена, то, согласно ! признаку Дирихле, интеграл 1 сходится.
гс с,тс т Из неравенства — ", (сов!~ > — ', соз г, справедливого для всех ! > 1, следует, что инте- грал Гл. 4. Определенный интеграл 310 г Из неравенства 1(х) = / — !!! ) е а(!по — 1пх) следует, что йп 1(х) = +со, поэтому, +о согласно второму правилу Лопиталл, получаем 1(х) . 1'(х) 1пп —, = 1гш,, = 1ш! —, = 1.
° -+о !л ! +о (! г)' зо Г з!! 106. Доказать, что при х ) О В!! х = ч. р. ) —. / !пг ~а го 4 При любых 0 < П < 1 и 0 < е < 1 существуют интегралы 1! = 1 —... 1г г ез г, '" При О < х < 2 справедливо разложение,— = —, + — + О(х — 1), поэтому ! ! ! !з-.
! !г-. ! з =аь (! 3 — а/ з-,~ за!! — !Э/,' 'з! ! — ц~ -~ ар! — )р/Г,)= з»+о ч, л г+ г+з з»+о = 1п(х — 1) + — + О((х — 1) ), 2 О < х < 2. Если х > 2, то получим г З! Г !!! Г З! Г Зг !! х = ч. р. — = ч, р, — + — = 1+ — + О(1). — — ) 1л о о г г 10'зг. Найти ч. р.
з!х х — Зх + а о М Квадратный трехчлеи у = х — Зх + 2 имеет действительные нули х! = 1 и хг — — 2, следовательно, — Бш «+о Упражненил длн самостоятельной работы Вычислить следугощие интегралы: ! 67. à — з 68 ! 69. Г э з+з' ' 3 ! О/!" з' ' 3 !гулаг! з ь 20. ) (Г' ь хз!х. 7 з!х ч.
р. хг — Зх о з- (Г,й Г Зг 1!х= 1пп — -1- ~ —, 1<к<2. ~/ !и! ) !вь/' ! -!- Зх )' Зх +2 1 хг — Зх+2 Г хг — Зх ! 2 =ч.р, + о з — — .р- ( 1+о 1+д ! . х — 2 1 = — 1л2+ Бш (!в — +!л — ) + 1ш! !и — =!и —. -+о ! — Е 1 — д) * Е х — 1 2 [ Ь. Функции ограниченной вариации 71, / е *сов624!х, а >О.
о + Зл 2 74. ) 1,+20,+О„, ас — Ь > 2 г 76. а) 11 = [ !пвгп хйх; б) Гг = [ !п сове ах. 'а о Исследовать на сходиыость следующие интегралы: 1 90 77. [,"* 2 . 78. [, *, *, . 79. [ ~ . 80. [ -" — (с+446х. 81. ! !пнпх06х. о о о о +00 400 о о о 86. [ уп (х+ -) —. о Доказать неравенства: 87. --, < ) 2Л04!х < 4' 88. 0 < ) с 46х < †,, о г ге 00 1 го 14 „го 20 1 89. — < ! — 46х < — + —. 90. — < ~ — бх < — + —. 19 1+ 40 19 39 ' ' 19 1+ 40 19 20' 1 о ею .1. 91. О < [ е * ах < †,а > 1, 92. 1 — — [ е ах < 1 + †, и ) 1.
1 а 1 1 93. Доказать, что !цп [ игх" '(1 — х)Их „"6) !пп и х" '(1 — х) ах. о ь 9 94. Доказать, что если интеграл [ у"(х) ах абсолютно сходится, то о !1щ [ г(х)[згпх[16х = — [ г(х)1гх. а о 95. Доказать равенство --о --о 2 2 — = [ ьс18х16х = д. 96. Доказать, что несобственный интеграл [ зш [т !х+ -~) Ых расходится.
а Найти: аю 2е 97. ч. р.) , О < а < Ь. 98. ч. р, [ †, , 99. ч. р.[, при а > 1. о о 0 ~ 5. Функции ограниченной вариации Определение 1. Пусть г" 1 [а, 6) й, П вЂ” ироизвольное разбиение сегмента [а, Ь], -1 М~ =.Г(х +1) Х(х ), Уп(7' а 6) = у [4ЬЛ[. Число Уп(Х; а, 6) называется вариацией фуихо ции 7' но разбиению П, а число У(у; а, Ь) = впр(Уп(1"; а, Ь)), где саочная верхняя грань бе!д! ргпгся ио всем возмомнылл разбиениям П сегмента [а, 6[, называется волной вариацией функции з иа сгсменоге [а, 6). Если У(г"; а, 6) < оо, то говорят, что 7 — функция ограниченной вариации. Гл. 4. Определенный интеграл 312 ' — ] Х'(!) ьд = — 1(х) + 28, з е — ] Х'(1) ь!1+ ] ('(!) ьд = )'(х)+ 28,. еслнО<х <1, о в ь — [ д'(!) ьд+ / ('(1) Й вЂ” [ )ч(!) й! = 30 — ь'(х), если 1 < .г < 2.
если — 2<х<0 )г(У; — 2, х) = [Х(1)]дд= — з Определение 2. Пусть д: [а, Ь] К, П вЂ” ььроизвольное разбиение сегмента [а, Ь], ч-ь Пдь = д(хьчь) — д(х,), Ъп(Г; а, Ь) = 'г ]сьХ,], гдв ] [ — — евклидова норма в пространсьпвг. Кы. ь=в Число $г(д; а, 6) = вььр(1гп(К; а, Ь)), гдг пьочная вгрхня» грань берепься по всем воззьожнььм !п! разбиениям сегменпьа [а, Ь], нозьюагтс» полнои вариаььией вгкьчор- функции ь на свгмгньпе [а, 6]. Если 1г(д; а, 6) < оо, то говорят, что вектор — функция Х вЂ” . функция ограниченной вариа- ции. Теорема 1. Пусть д: [а, 6] Б!"'. Для того чтобы вектор-функция д были функцией ограниченной оариьщии на [а. 6], необходимо и доспьапьочно, чтобы козгдая вв компоненпьо, уз, ! = 1, пь, имело ограиичеььную вариацию на эпьом гегзьеьпиг..
Теорема д. Егли Т: [а, Ь] К, д: [а, 6] М вЂ” функции ограни ьепной вариации ни [а, 6], то ь" + д и ьд пьоклгв функььои огрьньичгннои оариации на [а, Ь]. Следствие. Егли функции ~' и д монопьонно возратиаюпь на [и, 6], ьао ( — д гсьпь функция ограниченной вариации на [а,' 6]ь ь Теорема д. Пусьнь д: [и, Ь] — ь Н ' -- вгкпьор-функция ограниченной вариации. Тогда: 1) Ьг(д; а, у) = Ъ(Г; о, г) ч- Ъ(д; х, у), если а < х < у < Ь; 2) функиия 11: х ь- Ъг(д; а, х) непрерывна но [а, Ь], если д б С[а, Ь].
Теорема 4. Путно з': [а, Ь] Ьс — функция ограни ьгнной вариации на [и, 6]. Тогда сущеспьоуюпь пьокие неубывающие функции р: [а, 6] К, ьд: [а, Ь] Н, чпьо р(а) = д(а) = О и Чх б [а, 6) вьтолняюпься равенства У( ) — П ) =р( ) — г!(х) (1) Ьг(У; о., х) = р(х) + д(х). (2) Функции р и д соответственно называют функциями поломипьельной и отрицаьпгльной вариации функции Х. 108. На примере функцььи Х ь [О, 2] К, где Л х ып —, если 0 < х < 2, О, еслнх=О, убедиться в том, что непрерывная па се~менте функция не обязательно имеет ограниченную вариацию. т Функция Т непрерывна в области определения.
Пусть П = [О„ †,, †,, ..., =, †, 2] — разбиение сегмента [О, 2]. Тогда полная вариз з ация )гп((; О, 2) = —, + [ —, 4- — ) +... + (2 + г ) > 1-1- —, + ь + ... -1- — = С+ 1ьь и+ е„, е 0 прн ьь оо, С -- постоянная Зььььера. !!ледовательно, Ъп(1; О, 2) +оо при и оо и множество (1гп(1"; О, 2)) не ограничено сверху. В 109. Найти функции положительной, отрицательной и полной вариаций фуьькцьььь (: хгьЗх — 2х', -2<с<2. з з Л Найдем сначала функцию х ь-ь 1г(у; — 2, х), -2 < х < 2, приняв во внимание, что ,ь" б С!'! [-2, 2]. Пусть П вЂ” произволь,ное разбиение сегмента [ — 2, х], -2 < х < 2. Тогда 1гп(Х; — 2, х) = ~ ~[((хь>ь) — ((хь)[= ~~ ]('(бь)]ь1х„х, < б, < х,чь =о ,=о (по формуле конечных прираьцеиий Паграижа).
Следовательно, 1п ((; -2, х) = .'зп (]('[), где Яп (] ь" [) - — некоторая интегральная сумма функции ть [1~(!)[, — 2 < ! < х, в силу чего получаем т б. Функции ограниченной вариации 313 Согласно формулам (1) и (2), имеем 110. Пусть т': [и, 6] 66 — функция ограниченной вариации на [а, Ь], р н д — функции положительной и отрицательной вариаций функции У, а р~ и дд — возрастающие на сегменте [и, 6] функции и Х = р1 — д1 Доказать, что Ъ'(р; а, 6) ( И(ры а, Ь), 1'"(д; а, Ь) < 1'(ды а, 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
