Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 63
Текст из файла (страница 63)
т = ((х, д) Е Рг: х = а(з1з 1 — 1), у = а(с61 — Ц, О < Г < Т]. Гл. 1. Определенный интеграл 320 где — лл — Сла — аС А Таким образом, имеем — а — т — Сга — В С хг = ь ь л- — ' С,/л-сла-аслс,=""с а (,т*:,*с,= г 4~г р ~г = — с~ЛС' — В' / сова 1 с(1 = — 1/АС.' — В' = А / А о и положим Р = 1нп Р(х) = / е ~вшх(с1х. а Представляя Р в виде суммы 1ь+Цл (сесул Р лл ~~ / е *(вш х(с(х лл 1пп ~ ~ е (агс х(с2х ь=а с=о н заменяя вкаждолс интеграле переменную по формуле х — йт = 1,получаем о т -с с -с ..
т -сл с агг1+ сов! Р= йгп ду г 1 е вш1с11= !пп ~ е е 2 ь=о с — о 1+е ' . ч-~ йпс хг е 1 Вопрос вычисления площади фигуры свелся к вычислению суммы убывающей геометрической прогрессии. Таким образом, исаеем л 1+с 1 ег 2(1 — г ) 2 +г г 1 л = — с1(с —. 122. х = а(сов!+1 в1гс 1), у = а(ап à — 1 сов1), 0 < 1 < 2т, и отрезком луча х = а, у < О.
м Рассмотрим плоскую сригуру М КВКР, ограниченную разверткой круга и отрезком луча х = а,, у < 0 (рис. 04). Искомая площадь Р равна сумме площадей треугольника МОР и фигуры МКХоРОМ. Очевидно, Рамон = га, так как ОМ = а, (МР~ = 2та. Переходя к полярным координатам р и ср, получим г г г г ап1 — 1 совг р =х +у =а, (1+1), гдса= сов! -1-1 апг Рис. 04 (в интеграле произведена замена юсап -"„= 1). 1ь 121.
у = е '! ав х~, у = О, х > О. а График функции у: х с е '(в!и х(, 0 < х < +ос, не имеет точек пересечения с осью Ох, являющейся его асимптотой при х +оо. Позтому множество точек плоскости хОу, ограниченное графиком функции у и положительной полуосью 1й~, не является квадрируемоьс фигурой в обычном понимании. рассмотрим множество площадей Гл. 4. Определенный интеграл 322 Применив формулу (6), п.
6.2, получим 3 Р=- (! — 4! +41)61= — — — ! +-! 1 ! «з з 1 ! «4 з 8 2) о Найти площади плоских фигур Ф, ограниченных кривыми, заданными в полярных координатах: р т я 125. р=, ~о= —, «р= —. 1 — созз«' 4' 2 я Применив формулу (3), и. 6.2, получим Ч(""'"'-') '('"-') = '2 ( с!д —, + — с18' — ) = — (ч2+ т((ч2+1) — 1)) = — (юг+ 3), и х 1 зр1 «1«' з р 232)243 6 з «!Зо (1 — соз Зо) 128. р = ", О < з < ! (эллипс). 1 + е соз !о я Согласно формуле (3), п. 6.2, и решению примера 131, гл.
3, имеем р )' «(!о р !' яп х — е + 2 / (! + с соз«р)з 2(! — сз) ! ! + з соз х о ,т-.-"™(Я" 2),з-., ~ —., тр' . 3 О (1 — ез) з 1 ! я 127. р=-, р= —, О< р < —. ь«' з!пз«' 2' я Множество точек ((Ф, р) Е Йз: — ( р ( —,, О < !о < -~ не является плоской квадриэ г руемой фигурой в обычном понимании, поэтому Р = Бш Р(з), где +О Р(з) = — з — — з «(!о ж — (зобе — — + — ) = — + — (ссдз — -) -2./ ),з!пзр,г) =2~, —. -„) =.
2~ Е ( з а з!и Оз соз р ( р яв Зз < а(соз !о+ ял Зо) яп Ф, О ( !о ( — )«С К . 2) Поскольку йш (с!Оз — -) = йпз Яя-'- = !!ш --з- = О, то Р = !пп Р(е) = —. И 1« «+О « +О З « +О «+О а! 128. р = а соз !о, р = а(соз «р+ зш я), М (О, -) Е Ф. ' 2 я Точки окружности (р = а соз Зо, )Зо) < ~ ) симметричны относительно полярной оси, а радиус этой окружности равен — '. Иэ неравенства а соз О«яд!« < а(соз !о+ яв р) яп р, спра- 2 ведливого при О < з«< —, следует, что полуокружиость (р = асоз !о, О < !о < -) целиком приз надлежит той части круга, ограниченного окружностью (р = а(соз !о+ яп Оз), — — < Зо < — ), которая лежит иад полярной осью, поэтому точка М, лежащая иа полярной оси и принадлежащая по условию фигуре Ф, ие может принадлежать множеству точек 1 б.
Приложение определенного интеграла ЗЗЗ е а ! . 2 а ! г ! 2 !' а ( сов 212 2 Рв, = — / (сов 12+ зглгг) а1«р = —, / (1+ гйп2р)«(22 = — «Эг — — ) 2 / — / 2 ( 2 Таким образом, Р = — + — (- — -) = — (т — 1). вг1121 129. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лепестком кривой (22 = вгл яр, О ( р ( 1). 1 м При возрастании р от О до — угол р возрастает от О до 1, а при г 1 возрастании р ог — до 1 угол э«убывает от 1 до 'О (рнс. 65), поэтому выражение 1 а 1 1 1 г 1 Г г 1 Г г —,, / р (р)бр+ —,/ Р (р)а1 = — у Р р(р)ЗР 2 у' 2 / о 1 е б !гу ! Р Рнс. 66 определяет искомую площадь, взятую со знаком "-", так как первое слагаемое в левой части написанного равенства равно площади сег- мента ОпгВ, а второе слагаемое равно площади сектора ОАВ, взятой со знаком '-".
Следовательно, 2 11 1 2 т 2 21П '«ГР / Р сов ггр«1р = — — р в 1 соляр «о = Р ~ + — соляр«(р = — + — вщггр Л 11 Л/ гг ггг е 1Г а 130. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой г 2а1 «1 З=((Э«,Р)ЕК «Р=,, Эг= — ~. М Из условия р > О следует, что Г > О. Поскольку р = О при 1 = О и р «О при 1 -«+ао, то О < 1 < +со.
Следовательно, Р = — / р (г)р (г) «й = 2«а / (1 + Гг) (1 + 1)2 ' Интегрируя с помощью метода Остроградского, получим г +«« 2)' 1+1+2 1 ЭГ 2 р1 «1 Р= 2«а — — агсгЗГ =2ха (- — — ) =ха 111 — — ). 4(1+ Р)(1+ 1) 4 ) (,2 3) 1 4) ' 131. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей листа Декарта х + у = Заху. з з м Параметризуем лист Декарта, полагая у = гх. Тогда параметрические уравнения петли листа Декарта примут вид Заг ЗаР х=, у=, О(!<+со.
1+12' 1+12' Для вычисления площади воспользуемся формулой (6), п. 6.2, приняв во внимание, что (х(1) у'(1) — у(1).'(1)) 41 = х'(Г) З вЂ” = Зй 12 у(1) 1 Оа 1 ), х(!) ) (1+1 ) Следовательно, фигура Ф является объединением полукруга (р ( асов «р, О < гг ( «1, плоЭ«1 щадь которого — ', и части Фг, круга (р < а(сов 12+ вгп«р), — —, < 22 < — ), лежащей под полярной осью, площадь которой Ре, вычисляется по формуле Гл. 4.
Определенный интеграл 324 Следовательно, 4 о ь сО Оа / Г ~й 3а / Ы(1+Го) 3 г 1 )~ 3 / (1+12)2 2 / (1+22)г 2 1+22! 132. Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой, заданной уравнеииемх +у =а (х +у). м Перейдем к полярным координатам по формулам х = р соз ог, у = р мл у. Поскольку кривая симметрична относительно осей координат, то О ( 22 ( 2х. Уравнение г ог кривой, ограничивающей плоскую фигуру, принимает вид р Фа Применяя формулы (3), п.
6.2, и принимая во внимание решение примера 23, получаем Р= —, = —.2ъ22х=х222а . 2/ 1пгз+ . ° р 2' о 133. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением х +у г 4 г ах у. м Параметризуем кривую, полагая у = гх. Тогда Переменные х и у обращаются в нуль при 1 = О и стремятся к нулю при 2 — ~ оо, а множество точек кривой 1 Р— (х,у) ЕИ:х =а, у=а,гбао 1+22 1+12 симметрично относительно оси Оу.
Следовательно, плоская фигура ограничена двумя симметричными относительно оси Оу петлями, лежащими в верхней полуплоскости плоскости хОу, и поэтому искомая площадь равна удвоенной площади фигуры, ограниченной одной петлей: 12,Д2 Р = г~(Х(1)у (1) — у(Г)х'(Г)) 31 = // х (2)2( — = а ™ 2 С помощью подстановки у = - легко убедиться в справедливости равенства 2 ао о 2 / ду, 22)1, т)О, в силу которого имеем / ' ы,/„( ) ~ + / (1+«)г,/ (1+«)г 4/' 11+2 / 4(1+1)1 +4/ 1+«4/1+«' о о о о о зО Поскольку — / —,,„= — / —...
(согласно равенству (1)), то 1 х=а —, 1+2'' гг у=а, у) О. 1 + 22 1 б. Приложение определенного интеграла 32$ где г (г) = Уэ. шсгб —,Д-+ -~~ эба1 пРн 1 36 0 и Г(0) = 0 (см. пРнмеР 20, гл. 3). Окончателъно получаем Прежде чем решать примеры иа вычисление объемов тел с помощью формул (1) и (2), п. 6.3, рассмотрим два примера на доказательство. При этом получим полезные формулы длл вычисления объемов тел. 134. Доказать, что обьем У тела Т, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции Ф = ((х, у) Е Ьс~: а » <х»< 6, 0 » (В » <1(х)), где у": [а, 6] П вЂ” непрерывная на сегменте функция, равен ь У = гх ху(х) зх.
° Пусть П = (хо = э, хп, х« = 6) — произвольное разбиение сегмента [а, Ь). На каждом сегменте [хо х,э~], 6 = О, в — 1, рассмотрим два прямоугольника, в основании каждого нз которых лежит сегмент [х„х«ы], а боковые стороны равны ин и М;, где ш; = шш (у(х)), М; = шах (у(х)). «, с«с«,.~~ .ц ц«см Объединения всех однотипных прямоугольников образуют две ступенчатые фигуры, одна нз которых вписана в фигуру Ф, а другая описана вокруг иее. При вращении этих ступенчатых фигур вокруг оси Оу получим два кубируемых тела Т~ и Тэ, составленные из кольцевых цилиндров.
Объемы тел Т~ и Тэ соответственно равны «-1 «-з «-1 =э а э Рассмотрим функцию х: х «гхху(х), а < х < 6. Так как 1э Е Я[а, 6), то Уз ) 0 «-1 -1 БП: Яп(х) — Ял(р) < '-, где Ял(р) = [, 2хМгш+з гх;, Зл(р) = ') 2э пня, Ьх'. ~«0 ««э Из очевидных равенств — 1 «-1 «-1 Уг, = ~ 2т«пх; ьхг 6~~~ хлп 11х, = Ял(у)+~ элп Ах~, «! 1'г, = ~ ~2хМ,х;+э ~3х; — ~ хМ; 21х~ = Яп(1э) — ~ хМ; э3х] э «-1 следует, что Ут, — Ут, = ол(~о) — Ял(бэ) — т, где у« = г ' х(М<+ им)23х;. Оценивая у«, ша получаем /т«! < 2хМ(Ь вЂ” о)Н(П), где М = шах (у(х)), Н(П) = шах Ьх;. «ц«<Ь э<4<«-1 Принимая во внимание неравенство Яп(1э) — Яг(1э) < -' и выбирая разбиение П таким, чтобы выполнялось неравенство 2хМ(6 — а) й(П) <, получим неравенство Ут, — Ут, < х, из которого следует, что тело Т кубнруемо (в силу включений Ть С Т С Тэ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
